On an algorithm for calculating optimal strategies on an infinite time interval.pdf К любому техническому устройству мы вынуждены предъявлять некоторые требования, необходимые для успешного функционирования этого устройства, такие, как безотказность, ремонтопригодность, долговечность и другие. Все эти характеристики часто объединяют в одно свойство - надежность устройства. В роли показателей надежности могут выступать вероятность безотказной работы системы, среднее время ее работы, интенсивность отказов и т.д. Для улучшения показателей надежности системы на практике часто применяют резервирование. Это может быть как резервирование всей системы, так и отдельных ее частей. Задачами оптимального резервирования занимались многие математики как в России, так и за рубежом. Пример задачи оптимального резервирования можно найти в [1]. Модели систем с управляемым резервом впервые рассматривались в работах И.Б. Герцбаха [2] и А.Л.Райкина [3]. Далее модели динамического резервирования изучались в работах [4-10], в которых показателем надежности системы преимущественно выступает вероятность безотказной работы системы на конечном промежутке. В данной работе в роли показателя надежности системы выбрано среднее время ее безотказной работы. Постановка задачи Пусть имеется система, состоящая из конечного числа параллельно включенных (в смысле надежности) идентичных элементов и функционирующая на бесконечном промежутке времени. Контроль за исправностью элементов, включенных в работу, осуществляется лишь в моменты времени t = А, 2А, 3А, ... (А > 0), когда можно подключить дополнительно исправные блоки из числа резервных или же наоборот перевести часть включенных блоков в резерв. Время на проверку и включение новых элементов из резерва считается пренебрежимо малым и в дальнейшем не учитывается. К моменту начала функционирования системы всего в наличии имеется r исправных элементов. Элементы, не включенные в работу, находятся в холодном резерве, то есть своего ресурса не расходуют. Отказ элемента, включенного в работу, не влияет на исправность остальных элементов. Введем обозначения: Sm - система, состоящая из конечного числа параллельно включенных элементов, которая работает исправно, если в работу включено не менее m исправных элементов; q - вероятность отказа одного элемента на интервале длиной A; р = 1 - q - вероятность безотказной работы одного элемента на этом же интервале длиной A. Функцию K(r), принимающую целые значения и такую, что для каждого натурального r выполнено неравенство m < K (r) < r, назовём стратегией резервирования системы. Стратегия резервирования показывает, сколько элементов необходимо включить в работу при наличии r исправных. Функционал T, заданный на множестве пар (r, K(r)) и принимающий неотрицательные значения, назовём критерием резервирования. В данной работе ограничимся случаем, когда критерием резервирования служит среднее время работы системы на бесконечном промежутке [0, +да). Стратегию, которая обращает в максимум среднее время безотказной работы системы на бесконечном промежутке, будем называть оптимальной и обозначать Ko(r). Задача состоит в нахождении такой стратегии, которая максимизирует функционал среднего времени безотказной работы системы на бесконечном промежутке времени и на основе вычисленной стратегии определить соответствующее значение среднего времени исправной работы системы. Рассмотрим следующее управление резервом: в момент начала работы системы включается в нагруженный режим к (m < к < r) исправных элементов, а после первой проверки используется стратегия, оптимальная по критерию среднего времени работы системы на бесконечном промежутке. Введем вспомогательные обозначения: T(k,r) - математическое ожидание времени работы системы, если на первом шаге включено в работу к исправных элементов, а в дальнейшем используется стратегия, оптимальная по критерию среднего времени безотказной работы системы на промежутке [0, да); T(r) - математическое ожидание времени работы системы при стратегии, оптимальной по критерию среднего времени работы системы на бесконечном промежутке, если в начальный момент имеется ровно r исправных элементов. Тогда по формуле полного математического ожидания [11] получаем к-m T(k,r) =Х Скрк-'q'T(r -i) +1. (1) i=0 Для нахождения оптимальной стратегии будем использовать уравнение (1). Кроме того, чтобы найти оптимальную стратегию с помощью вычислений более экономично, докажем некоторые свойства оптимальных стратегий. Свойства оптимальных стратегий Естественно предположить, что функции T(r) и T(k,r) являются возрастающими по переменной r. В работе [12] была выделена область выпуклости функции T(k,r) по переменной k, а именно, была доказана m +1 Теорема 1. При p >- функция T(k,r) для системы Sm имеет не более двух m+3 максимумов при фиксированном r, причем она выпукла вверх по k в области m < k < K0 (r) +1 и не возрастает при K0(r) < k < r . Следствие 1. Для любого r > 0, если T(k, r) > T(k -1, r), то k < K0 (r); если же T (k, r) < T (k -1, r), то k > K0(r). Из теоремы 1 следует, что функция T(k,r) возрастает по k до значения K0(r)+1, а затем убывает. Теорема 2. Для оптимальных стратегий при любом r > 1 выполнено Ko(r +1) < Ko(r) +1. В [13] было доказано следующее свойство оптимальных стратегий. Теорема 3. Функция K0(r) возрастает (не строго) с ростом r. Таким образом, с увеличением резерва на единицу функция K0(r) может только возрасти, но не более чем на единицу. Перейдем к задаче об экономном расходе элементов, которая была рассмотрена для случая m = 1 в [14]. Эта задача состоит в поиске для системы Sm условий оптимальности включения в работу (m+1) элементов. По определению системы Sm для любого r > m имеем K0(r) > m . Как было показано в [15], K0(m +1) > m +1. Таким образом, возникает задача, с какого момента следует экономно расходовать оставшийся резерв, а именно, при каком количестве имеющихся в наличии исправных элементов оптимальной стратегией при каждой последующей проверке будет включение (m+1) исправных элементов. Следовательно, задача сводится к поиску правой границы промежутка [m+1, r0], на котором K0(r) = m+1, причем r 0 = r0(p,m). Так как для всех r е [m +1, r0 (p, m)] выполнено K0(r) = m+1, то 1 T(r) = T(m +1, r) = £ C'm+j pm+1-'q' T(r - i) +1 = pm+2T(r) + (m +1)pmqT(r -1) +1. i=0 Отсюда для всех r е [m +1, r0 (p, m)] получаем рекуррентное соотношение для нахождения T(r): T (r) =

Скачать электронную версию публикации