Mathematical model of the stress-strain state of an elastic cylindrical body with a porous filler.pdf При добыче полезных ископаемых должно быть пройдено большое количество вертикальных и горизонтальных шахтных стволов, которые являются долговременными и дорогостоящими инженерными сооружениями, жизненно важными для функционирования шахты в целом. Состояние горных выработок в зависимости от их назначения должно удовлетворять различным требованиям, основным из которых является обеспечение безопасных условий для работающих людей. В связи с этим возникают требования по проведению укрепительных работ горных выработок и подземных сооружений, то есть создание крепежных конструкций - крепей. Крепи могут быть монолитными или многослойными. Разрушение крепи подземной конструкции может произойти в результате следующих двух ситуаций: 1) достижение напряженно-деформированным состоянием (далее НДС) критических значений, соответствующих разрушению материалов конструкции; 2) достижение напряженно-деформированным состоянием критических значений, соответствующих потере устойчивости (отказу) крепи. Решение первой задачи основано на сравнении найденного (в аналитическом или численном виде) НДС с предельными характеристиками, соответствующими разрушению материала конструкции. Во втором случае начальным этапом решения задачи устойчивости является нахождение в аналитическом виде основного НДС конструкции. В связи с этим получение аналитических соотношений, описывающих докритическое НДС в аналитической форме, является актуальной задачей. В настоящей работе решается задача определения НДС двухслойного цилиндрического тела, находящегося под действием сжимающих нагрузок интенсивно-стями qb и qa , равномерно распределенных по внешнему и внутреннему контурам тела соответственно (рис. 1). Материал внешнего слоя будем моделировать упругим сжимаемым телом с параметрами Ламе Х1, ц1. Деформирование материала внутреннего слоя, имеющего пористую структуру, разделим на два этапа [1, 2]. Первый этап - деформирование среды при наличии несжатых пор, второй -деформирование сжатого скелета. На первом этапе в качестве модели материала принимается модель упругого сжимаемого тела с параметрами Ламе Х2, д2, на втором - модель упругой несжимаемой среды с модулем сдвига 2 +д3. Согласно работе [3], в качестве условия полного сжатия пор в некоторой точке среды выбирается условие равенства объемной деформации в этой точке величине ео - начального раствора пор. Обозначим радиус внешней границы b, внутренней границы а, радиус границы контакта слоев - с. 1 ' - - f - - V1 I - Л - ~ I Рис. 1. Постановка задачи Fig. 1. Formulation of the problem На первом этапе деформирования НДС в рамках плоской деформации (е z = о) в цилиндрической системе координат (r, 9, z) будем использовать следующие соотношения геометрически линейной теории. Уравнение равновесия: Г^ + К - О9 ) = о. (1) dr Соотношения Коши: u du dr (2) e r - ее =r Закон Гука для внешнего слоя : ^ = (X! + ^ + ^, = ^ +(Л1+М1) = X1(e ^ + e^). (3) Связь между напряжениями и деформациями для внутреннего слоя : „(5 = (X2+2Д2)e((2)+ X2e^2), „i2)= X2e[2)+(X2+д2)e^,„(г2) - X2(e(2)+ e^). (4) Условие наличия несхлопнутых пор для внутреннего слоя: (!) „(1)= X (e0) + c(!) -(e(2)+ 42)) (5) < e 0 Граничные условия на внешнем и внутреннем контурах запишем соответственно в виде = -qa. ,(2) (6) = -Чъ Здесь в (1) - (6) и далее сг, се, cz, er, ee, ez - главные компоненты тензоров напряжений и деформаций соответственно, u - радиальная составляющая вектора перемещений, индекс (1) вверху компонент напряжений, деформаций и перемещений обозначает их принадлежность к внешнему слою, индекс (2) - к внутреннему слою, отсутствие верхних индексов у указанных величин обозначает их принадлежность как к внутреннему, так и к внешнему слоям сферического тела. Из решения системы (1) - (6) получим следующие НДС: - для внутреннего слоя e(2) = C -£± r C3 2 ^ Ci r Ci ee ) = C3 + 4 (2) ■ л / - - C3r + 2 ^ , = r - 2X2 C3; (7) с C2 - для внешнего слоя u(!) = C C - C,r e^ - Cj -22, e^ - C +22, r r r „(r1) = 2C1 (X1 +Ml) - 2ц1 %, o0) - 2C1 (X1 +Ml) + %, „(/) - 2X1C1, (8) rr где константы интегрирования C1, C2,C3, C4 находятся из следующей системы граничных условий и условий совместности: C4 2 (X2 +Н- 2 )C3 - 2^2~Г - -q C2 2(X1+^1)C1 - 2^-2 - -qb, ъ ,0)1 C C 2(X1 )C1 - 2^1 -2 - 2 (X2 +Ц2) C3 - 2 -2, c c C C C1c + - C3c + Ci. ,(2)| - -Ча r= а с(1)| I „0)1 - -Чъ, (2)1 -„г [ (2)1 - U '\ 1 (^ 2 ц (c2 -b2 ) 2(^1+^1) 2(12+ц2 ) с=b2 c 2(- qa)+bc4„ 2ц (c2 - b2 ) 4 b c (-qb + qa )A + qbс +_ -Qac C4 = (BA - P) Решая систему (9), получим C3 --1-(-qa + 2ц2 C4 I, C --1-\-qh + 2ц % ), (10) 3 2(12+ц2) 4a H2 a2 у 1 2(11+^1)l Чь * b2)' ' } A = Цс + 1 B = ц2^ (c2 - a2 ) P = 1 Ь2(11+ц1) c' ц"2 (c2 -b2)' a2 (12+ц2) c' Объемная деформация на этом этапе для внутреннего слоя согласно (7) определится в форме 8Г + £q - 2C3 . Тогда условие наличия в теле не полностью сжатых пор запишется в виде 1 ( , C Х2 ~Т I < с0 . (И^С" +2Ц204 I

Скачать электронную версию публикации