Finite element model of a pseudominimal surface.pdf 1. Постановка задачи Автор продолжает исследование о моделировании деформированного лепестка осесимметричного параболического рефлектора [1-7]. Если главные кривизны поверхности Z : Г = Г(u, v) e C2 упорядочены номерами (k1 и k2), то псевдосредней кривизной веса a называется величина Ha = kj + ak2 , a = const, a Ф 0 , а поверхность, для которой Ha = 0, (1.1) называется псевдоминимальной поверхностью веса a. В [7] приведено дифференциальное уравнение в частных производных, определяющее (локально) класс (1.1). При a = 1 получаем минимальную поверхность. Для приближенного задания минимальных поверхностей в [8] приведен исключительно удачный метод конечно-элементного моделирования. Существенная часть метода - метод натянутых сеток - позволяет свести задачу о минимизации суммы площадей элементарных ячеек конечно-элементной модели к задаче о минимизации суммы квадратов длин ребер. Естественной представляется задача о построении конечно-элементной модели для поверхности класса (1.1). 2. Ячейка со свободным центральным узлом. Параболическое приближение Основным элементом конечно-элементной модели будем полагать четырех-вершинник ABCP, «не слишком удаленный» от моделируемой поверхности и «не слишком отличающийся» от прямоугольника. При этом точки А, B составляют пару противоположных вершин, а C, Р - еще одну пару противоположных. Обозначим п плоскость, равноудаленную от отрезков [AB] и [CP]. Оси Ох, Оу помещаем в плоскость п таким образом, что точки - вершины - получают координаты A(-x0,0,h), B(x0,0,h), C(x1, y1,-h), P(x2, y2,-h). О взаимном расположении поверхности, плоскости и точек дает представление рис. 1. Рис. 1. Взаимное расположение поверхности, плоскости и вершин Fig. 1. Mutual arrangement of the surface, plane, and vertices Существенную роль играет аффинный центр четырехугольника (2.1) Соприкасающийся параболоид поверхности X : Г = Г (и, v) е C2 в декартовой системе координат (OXYZ), присоединенный к точке поверхности O так, что оси OX и OY касаются линий кривизны, описывается уравнением (2.2) Если нормальная плоскость а образует с осью OX угол ф, то кривизна соответствующего нормального сечения k (а) = k1 cos2 ф + k2 sin2 ф. Нормальное сечение параболоида (2.2) плоскостью а - парабола, кривизна которой в вершине равна к (а). Плоскость п - приближение касательной плоскости, Прямая n, проведенная через срединные точки отрезков [AB], [CP] - приближение нормали поверхности. Плоскости LAB, LCP, проведенные через (AB) и (CP) параллельно n - приближения нормальных плоскостей. Будем полагать, что в точке M0 поверхности, окрестность которой моделируется параболоидом (2.2), первое главное направление задано вектором w, не обязательно параллельным плоскости п. Его нормированная проекция на плоскость п в системе координат (OXYZ) пусть имеет вид v = {cost, sint,0}. (2.3) Плоскости Lab , LCP пересекают параболоид (2.2) по параболам GAB, GCP . Их кривизны в вершине, в отличие от кривизн нормальных сечений, считаем неориентированными, а значит, неотрицательными. Их значения равны соответственно kAB = \K\cos2 c + \к2\sin2 c, k = Ikl| (( - X2 )COs t + sin t (1 - У2 ))2 + kCP = 2 2 + (x1 - X2 ) + (У - У 2 ) +1 к Г1 ((X1 - X2 )COs t + sint (У1 - У2 ))2 Л (X - X2 )2 +(yi - У2 )2 Мы строим конечно-элементную модель псевдоминимальной поверхности, следовательно [1], полагаем, что |kj = a|k2|, a > 0, a = const. Пусть E - срединная точка для [AB], а D - для [CP]. Парабола GAB в плоскости Lab имеет вершину на прямой (ED) (проходящей через аффинный центр (2.1)), а отрезок [AB] служит для неё хордой. Аналогично, парабола GCP в плоскости LCP также имеет вершину в той же точке на той же прямой, а отрезок [CP] - её хорда. При этом кривизны парабол в их общей вершине W суть kAB и kCP . Точка W - вершина параболоида, моделирующего «истинный» параболоид (2.2). Точка W делит отрезок [ED] в отношении kAB : kCP . Записав параметрическое уравнение прямой ( ED) в виде R = M + Х(D - E), убеждаемся в том, что W = M +Х0 (D - E) (2.4) при ^ (1 ->"2)(-1 + а)(( ->"2)(l-2cos2 t) + 2( -X2)sintcost) 0 8(x1 -x2)(-1 + a)cost((x -x2)cost + sint(>1 ->2))+ ' _ + 4(>1 - >2 )2 a + 4(>1 - >2 )2 + 8(x1 - x2 )2 Тем самым положение точки W определено. 3. Модификация метода натянутых сеток В работе [8] и в ряде других публикаций Е.В. Попов, решая задачу о конечно-элементном моделировании минимальных поверхностей, разработал алгоритм -метод натянутых сеток (МНС), заменяющий минимизацию суммы площадей элементарных треугольников сетки минимизацией суммы квадратов длин ребер сети. В нашем случае отыскание точки (2.4) также можно заменить аналогичной процедурой, приводящей к тому же самому результату, однако минимизируется не сумма квадратов длин отрезков, а сумма их с весовыми коэффициентами. Именно, пусть T - искомая точка. Она находится из условия достижения минимума выражения Ит|2 KCp +|BT\2 KCp + \CT\2 KAB + |PT|2 KAB . Прямым вычислением устанавливается, что T = W. Отметим, что система координат, в которой совершались построения и вычисления, внутренним образом присоединена к четырехугольнику ACBP , и потому результат носит инвариантный характер. Результат применения указанного метода для фиксированных точек А, В, С, Р и различных значений а показан на рис. 2 и 3. На них же нанесены параболы, лежащие в основе данного метода. Рис. 2. Кусок поверхности при а = 1/2 Fig. 2. Piece of the surface for a = 1/2 Рис. 3. Поверхность при a = 2 Fig. 3. Surface for a = 2 4. Прямоугольная сетка Пусть точки A, B, C, P таковы, что их проекции на некоторую плоскость суть узлы ортогональной сети. Система координат пусть выбрана так, что координаты указанных точек таковы: A(xo -hx,Уo,zA), B(xo + hx,Уo,zB), C(^Уо -hy,zc), P(^Уо + hy,zp). Первое главное направление пусть задано вектором (2.3). Переменный узел - точка M . Найдем положение этой точки, применив модифицированную процедуру метода натянутых сеток, описанную выше. Задача сводится к минимизации функции f (z) = a(|AM|2 + |BM|2 ) + |CM|2 + |PM|2 . В результате получаем точку a(zA + zB) + zc + zP + (zc + zP -zA -zB)(a-1)cos2 t^ M xo, yo, 2( a +1) Третью координату точки M представим в виде z = a(zp + Zc ) + Za + zb + (-zc - Zp + Za + zb )(a - 1)t2 + Q ( 4 ) 2( a +1) + 2(a +1) + ^ ' Для значений t, «не слишком уклоняющимся» от нуля, естественно считать слагаемое a ( z p + zc ) + z a + zb Z = -cj-a-b_ (4.1) o 2(a +1) главной частью третьей координаты, а слагаемое AZ = (4.2) 2(a+1) оценкой погрешности, привносимой за счет отклонения t от нуля. Третьей координата есть приближение псевдоминимальной поверхности Z = F(х, у). Полагаем Zo = F (^ Уо). Удерживая слагаемые до второго порядка малости включительно, принимаем следующие приближения: 1 2 Z4 (хо, Уо) * F(x0, Уо) - Fx (х0 , Уо )hx + 2 F хх (х0 , Уо )hx , ZB (хо, Уо) * 1 2 * F(х0, Уо) + Fx(хо, Уо )hx + -Fxx (хо, Уо )h2 , :F0( ^ Уо) + F(^ Уо)ЛУ + , ^'уу (хо, Уо)^2. 1 2 zc(хо, Уо) * F(xо, Уо) - ^ (х0 , Уо )ИУ + 2(х0, Уо h, ZP(хо, Уо) ! 1 2 -F..(х, У, )/- В итоге приводим оценку (4.2) к виду AZ J^(Xо,УоЖ2 -Fyy(^Уо^У2)(a- 1)t2 * 2 (а +1) . Отметим, что это - оценка абсолютной погрешности. Относительная же погрешность в виде f (4.4) Z0 имеет смысл лишь в том случае, когда в уравнении псевдоминимальной поверхности z = F (х, У) + C, C = const (4.5) допустимо (из тех или иных соображений) лишь значение C = 0, поскольку отношение (4.4) зависит от выбора С. Относительная (но не безразмерная) оценка, инвариантная относительно сдвигов (4.5), возможна в виде AZ (F хх(хо, Уо - FiV (хо,Уо h2) (а -1)12 А2 + h2y 2(а +1)7кх,2 + h 2 Перепишем оценку (4.3), применив её в произвольной точке области определения исследуемой функции. Тогда приходим к выражению -|'|т F (х, У ) К 2 + Г-дх2^ F (х, У) hx 2 1(а - 1)t (х, У)2 С(х, У) -1-i) J J-. (4.6) 2(а +1) Интегральным средним квадратичным значением погрешности, вносимой отклонением первого главного направления от оси абсцисс, служит величина fymax fxmax/^/ \\2 i 1 I I (G (x, y)) dxdy д ymn Xmin-. (4.7) 1 (xmax Xmin ) )Ушах - Уmin ) Формула (4.1) положена в основу алгоритма моделирования псевдоминимальной поверхности по массиву точек на границе и заданному числу a - в предположении, что первое главное направление «не слишком отличается» от направления локальной оси Oz . 5. Частный класс Класс пседоминимальных поверхностей вращения содержит исключительно просто устроенное 1-семейство алгебраических поверхностей четвертого порядка, а именно тех, для которых a = 2 . Вокруг оси Ox вращается линия x2 y = 0, z =-+ C (4.8) 4C (С - параметр семейства). Представление о семействе линий дает рис. 4. Рис. 4. Линии (4.8) при C е {0.2, 0.4,..., 1.4}. Наиболее тонкая линия при C = 0.2 , наиболее толстая - при С = 1.4 Fig. 4. Lines (4.1) for C е {0.2, 0.4,..., 1.4}. The line is thinnest for C = 0.2 , the thickest, for С = 1.4 При C = 1 некоторый кусок поверхности есть график функции f(x,y) = уX4 + 8X2 +16 -16y2 . (4.9) Изображение куска поверхности - на рис. 5. Рис. 5. Изображение куска поверхности Fig. 5. Image of a surface piece Следует отметить обстоятельство, благоприятное для конечно-элементного моделирования: проекции линий кривизны первого семейства на координатную плоскость xOy (рис. 6) имеют направления, «не слишком отличающиеся» от направления оси OX. Рис. 6. Проекции линий кривизны первого семейства на координатную плоскость xOy Fig.6. Projections of curvature lines of the first family onto the coordinate plane xOy Применен алгоритм, описанный в пункте 4. Построена прямоугольная сетка в плоскости xOy с делениями 40x40. граничные условия - точки на границе прямоугольной области (рис. 7). 1.61.41.21.0 0.8 0.64 V -1.5 -1.0 -0.5 -0.5 0.5 1.0 0.5 1.5 У Рис. 7. Массив точек на границе куска поверхности Fig. 7. Point array on the boundary of the surface piece На выходе - массив точек, приближающий истинную поверхность (рис. 8). Изображение получено с использованием графического пакета Surfer, ШЖкъ 0.5 5 -1.5 Рис. 8. Изображение массива точек, приближающего исследуемую поверхность Fig. 8. Image of point array approximating the studied surface 1.5 1.0 Относительное среднеквадратичное отклонение точечного массива (xi, yi, zi) (i = 1,..., N) от поверхности вычислено по формуле N £(/(Xi,У)-Zi)2 i=1 1 : 0.00545. N (xn - X1 Хуш - У1) Для подсчета погрешности по формулам (4.6), (4.7) заметим, что в данном случае х2 + 4 у]х4 + 8 х2 +16 + 4 х2 y2 Вычисления приводят к результату Д« 0.00001182. Вклад, вносимый отклонением первого главного направления от направления оси Ох, оказался невелик. Заключение Автор полагает, что предложенная работа (наряду с предшествующими) служит прояснению свойств псевдоминимальной поверхности и предлагает инструмент для моделирования поверхностей данного типа. Полученные при этом результаты предполагается применять для конечно-элементного моделирования тех поверхностей, форму которых стремится принять гибкий ортотропный материал (в частности, металлическое сетеполотно). Если иметь в виду цикл работ автора, посвященных геометрическому моделированию формы сетеполотна, входящего в конструкцию орбитальных рефлекторов, то данную статью следует считать (в относительном, конечно, смысле) завершающей.

Скачать электронную версию публикации