Coefficient inverse problem of control type for elliptic equations with additional integral condition.pdf В работе А.Н.Тихонова [1] предложена идея использования методов оптимального управления для решения обратных задач. Дело в том, что обратные задачи для уравнений с частными производными могут быть поставлены в вариационной форме, т.е. как задачи оптимального управления соответствующими системами. При этом роль причинных характеристик выполняют управляющие воздействия, вследствии изменения которых реализуется тот или иной эффект управления. Эффект управления обычно определяется критериями качества составленными на основе дополнительной информации для состояния системы. Управляющие воздействия должны быть определены таким образом, чтобы получить наилучшую эффект управления. Определение управляющих воздействий по состоянию системы можно трактовать как обратную задачу типа управления. Если управляющие воздействия входят в коэффициенты уравнений состояния, то такие обратные задачи называют коэффициентными обратными задачами типа управления. В работах [2-9] и др. исследовались коэффициентные обратные задачи типа управления для уравнений с частными производными. Во многих из них дополнительные условия для состояния системы являются локальными. Коэффициентные обратные задачи типа управления с дополнительными нелокальными условиями мало изучены [9]. В данной работе рассматривается коэффициентная обратная задача типа управления для эллиптического уравнения с критерием качества, соответствующим дополнительному интегральному условию. Исследованы вопросы корректности постановки обратной задачи типа управления. Доказана дифференцируемость по Фреше критерия качества и найдено выражение для его градиента. Установлено необходимое условие оптимальности в виде вариационного неравенства. 1. Постановка задачи Пусть требуется минимизировать функционал dx. 2 0 0 (1) на решениях u)x) = и)x ; и) = и)x1, x2; и) краевой задачи -I ^|u)x2 )-ди- ]+q )x)u = f )x), x еП; (2) .■=1 dxi \ dx1) -u)x2 )-du = g )x), x еГ-1; (3) dx1 и) x; u)= 0, x еГ\Г-1, (4) соответствующих всем допустимым управлениям и = и) x2) из множества V = {и = u)x2) е W1 (0,1) :0 < v < u(x2) < ц,|u')x2)| < ц п.в. на (0,1)}. (5) Здесь Q = {x = (xl, x2) :0 < x. < 1, i = 1,2} - квадрат в R2 с границей Г , Г-1 ={x = (0, x2) :0 < x2 < 1} - левая вертикальная сторона квадрата Q , H (x) = H (x1, x2), q (x), f (x), g (x) = g (0, x2 ) = g (x2) - заданные функции, удовлетворяющие условиям H (x) е W^0,1 (Q), q (x)e Lx (Q), f (x) е L2 (Q), g (x2 )е^ (0,1); |H(x)| < dj,|5H(x)/dx2 \ < d2 п.в. на Q ,0 < q1 < q(x) < q2 , d1,d2,q1,q2 = const > 0 . Обозначения используемых в работе функциональных пространств соответствуют принятым в [10, с. 27]. Ниже положительные постоянные, не зависящие от оцениваемых величии и допустимых управлений, обозначим через М. Под решением краевой задачи (2) - (4), соответствующим управлению ие V, будем понимать обобщенное решение из W2,0 (Q), т.е. функцию и (x) = и (x; и) из W2,0 (Q), удовлетворяющую интегральному тождеству " 2 ди дп " 1 I Iu(x2 ) -- + q (x)u4 dx =| f (x)ndx +| g (x2 )п(0, x2 ) dx2 (6) qL i=1 dxi cxi J Q 0 для всех V^ = n(x)е W2,0 (Q). Здесь W2,0 (Q) - подпространство пространства W\ (Q), плотным множеством в котором является множество всех функций из C1 (Q), равных нулю вблизи Г \Г-1. При сделанных предположениях краевая задача (2) - (4) однозначно разрешима при каждом заданном uеV [10, с. 200]. Кроме того, можно показать, что обобщенное решение из w2,0 (Q) краевой задачи (2) - (4) принадлежит также пространству W220 (Q) = W22 (Q)n W2,0 (Q), удовлетворяет уравнению (2) при почти всех xеП и справедлива оценка ll42Q< m [|| f |2,Q+I g| £Г-1 J. (7) Отсюда и из ограниченности вложений W220 (Q)^W2 (Г-1), W2,0 (Q)^ L4 (Q) [11, с.78] следует, что также верна оценка И 12!Г-1 +i UxI Lq< m Lii f\ l,q+ l|g| 121Г-1J. (8) Из условия |H (x)| < d1 п.в. на Q и из оценок (7), (8) следует, что функционал (1) определен на V и принимает конечные значения. Задача (1) - (5) тесно связана с коэффициентной обратной задачей, заключающейся в определении функций {и(х2), u (х)}, удовлетворяющих условиям (2) -(5) и дополнительному интегральному условию 1 u (0, х2) = | H (х1, х2 )u (х1, х2) dx1,0 < х2 < 1. (9) 0 Целевой функционал (1) является функционалом невязки в L2 (0,1), соответствующей условию (9). Если в задаче (1) - (5) окажется, что сушествует управление и» е V, такое, что J(и») = J» = inf {J(и): и е V} = 0, то это управление решает обратную задачу (2) - (5), (9). Задача (1) - (5) является задачей оптимального управления для эллиптического уравнения с управлениями в коэффициентах. Такие задачи в других постановках исследованы в работах [12-14] и др. 2. Корректность постановки задачи Следующая теорема показывает, что задача (1) - (5) корректно поставлена в слабой топологии пространства W^ (0,1). Теорема 1. Пусть выполнены условия, принятые в п.1. Тогда множество оптимальных управлений задачи (1) - (5) V» = {и» е V : J (и») = J»} не пусто, слабо компактно в W^ (0,1) и любая минимизирующая последовательность {un}с V функционала (1) слабо в W^ (0,1) сходится к множеству V». Доказательство. Покажем, что функционал (1) слабо в W^ (0,1) непрерывен на множестве V . Пусть ие V - некоторый элемент, {un}сV - произвольная последовательность, такая, что un (х2) ^ и(х2) слабо в W2 (0,1). (10) Из (10) и компактности вложения W^ (0,1) ^ C [0,1] [11, с. 78] следует, что un (х2х2) сильно в C[0,1]. (11) Кроме того, в силу однозначной разрешимости краевой задачи (2) - (4), каждому управлению un eV соответствует единственное решение un (х) = u (х; un) из W220 (Q) задачи (2) - (4) и справедлива оценка Kll^ M, n = 1,2,..., (12) т.е. последовательность {un} равномерно ограничена в пространстве W220 (Q). Тогда из (12) и компактности вложений W220 (Q)^w20(Q), W220 (Q)^W^(Г-1) следует, что из последовательности {un} можно извлечь подпоследовательность {un }, такую, что un (х) ^ u (х) слабо в W220 (Q), сильно в W 0 (Q) и в W (r_j), где u (х) - некоторый элемент из W220 (Q). Покажем, что u (х) = u (х; и), х eQ , т.е. u (х) является решением задачи (2) -(4), соответствующим управлению ue V . Ясно, что справедливы тождества (13) 2 dun dn Vunm (х2+q(х)unmп .i =1 ёх =| f (х )пёх + f (х2 )п(0, х2 )dr2 сЦ дх{ Уп = п(х) e W2,o (Q). Используя ограничение 0

Скачать электронную версию публикации