Modeling of teeth surfaces of contacting details of a hypoid gear.pdf Гипоидные передачи занимают важное место в большом многообразии зубчатых передаточных механизмов. Главная особенность гипоидной передачи - скрещивающиеся оси вращения базовых поверхностей - однополостных гиперболоидов вращения (аксоидов). Такое расположение осей позволяет обеспечить плавность хода, бесшумность работы и повышенную нагрузочную способность механизма (рис. 1). Рис. 1. Расположение шестерни (справа) и колеса (слева) гипоидной передачи Fig. 1. Position of the gear (right) and wheel (left) of the hypoid gear Авторами [1] для случая, когда вектора осей аксоидов перпендикулярны, получены условия касания таких гиперболоидов по прямолинейной образующей; доказано, что при заданных величинах смещения осей гиперболоидов и передаточного отношения параметры базовых поверхностей определяются однозначно. В данной статье приведены уравнения поверхностей зубьев входной и выходной деталей (шестерни и колеса соответственно) гипоидной передачи с перпендикулярными осями вращения этих деталей, причем поверхность зуба колеса получена как огибающая семейства поверхностей, образующегося при движении поверхности зуба шестерни во время работы механизма. Теория огибающих используется в теории механизмов и машин в основном при проектировании режущей части инструмента для обработки зубьев деталей [2]. Авторами [3] были получены уравнения поверхности зуба колеса как огибающей для гипоидной передачи с коническими аксоидами. Уравнения поверхности зуба шестерни Пусть ось колеса направлена по оси OZ, а ось шестерни параллельна оси OX и смещена в направлении оси OY на величину Sm. Тогда уравнение аксоида шестерни можно записать в виде (y + Sm )2 + z2 _ x2 = . 2 2 = ^ a c где а - радиус горловой линии этого гиперболоида. Как доказано в [1], если ак-соиды касаются по прямолинейной образующей, то а и с выражаются через Sm и передаточное отношение i: i Sm i^+i' iSm a = c = Для построения поверхности зуба шестерни запишем уравнение ее базового гиперболоида без смещения по оси OY: 2 2 2 у + z _ x2=1 2 2 =1 a c е = a, 2 и рассмотрим сечение этого гиперболоида сферой некоторого радиуса R с центром в начале координат. Это сечение есть окружность, радиус которой е, как показано в [1], равен R 2 + c2 a 2 + c 2 В [1] этот радиус обозначался r1, а через r2 был обозначен радиус окружности пересечения гиперболоида колеса со сферой. Отношение радиусов этих окружностей равно передаточному отношению i = е r Поверхность зуба шестерни будем строить как семейство окружностей уменьшающихся радиусов следующим образом. 1. Наибольшая окружность сечения зуба имеет радиус p и лежит на сфере радиуса R, а центр этой окружности проектируется из центра сферы в точку окружности радиуса е. Параметрические уравнения этой наибольшей окружности okr (a) можно поручить поворотом вокруг оси OY на угол arcsin^/R) окружности радиуса p с центром на оси OX: (1) VR2- R 0 е R 0 okr(a)= p cos a p sin a VR5 R _- 0 (здесь и далее параметрические уравнения кривых и поверхностей будем писать в виде вектор-функций одного или двух аргументов соответственно). 2. Поверхность зуба шестерни будем получать винтовым движением окружности okr (a) вокруг оси OXс одновременным уменьшением радиуса этой окружности, при этом центры окружностей семейства должны лежать на гиперболоиде (1), т.е. образовывать винтовую линию на этом гиперболоиде. Запишем параметрические уравнения гиперболоида (1): С c sh u Л a chu cosи a ch u sin и Hb(u, и) = (2) Пусть размер шестерни по оси OXравен lr. Тогда, обозначая г с \ f VR2lr z +-и 2п Arsh - Arsh 4r2 -82 f (и) = Arsh где и = 0,..2n/z (z - число зубьев шестерни), lr - длина зуба шестерни (по оси OX), отрезок винтовой линии на поверхности (2) с длиной lr по оси OX можно записать в виде ( c sh( f (и)) I Wnt (u) = a ch( f (и)) cos и I. (3) v a ch( f (u)) sin и, 3. Из (3) видно, что при изменении параметра u = 0,...,2n/z точки винтовой линии будут лежать на окружностях уменьшающихся радиусов: eu(u) = a ch( f (u)), (4) а эти окружности - на концентрических сферах, радиусы Ru(u) которых должны удовлетворять соотношению с sh( f (u)) =4Ru(u)2 - eu(u)2 , из которого с учетом (4) получаем зависимость уменьшения радиуса сферы от изменения параметра u: Ru(u) = 4c2sh2 (f (u)) + a2ch2 (f (u)) . (5) Наконец, уменьшение окружности сечения зуба шестерни при изменении параметра u запишем в виде Sub(u, а) = СС-у/Ru(u)2 -eu(u)2 Ru(u) 0 eu(u) Ru(u) pu(u) =- eu(u). e Теперь можно записать уравнения поверхности зуба шестерни: С10 0 Л 0 cos u - sin u ,0 sin u cos u , eu(u) Ru(u) 0 x ^Ru(u)2 -. eu(u) Ru(u) Л Л С 4 Ru(u)2 -pu(u)2 Л pu(u)cos а pu(u)sina (6) (7) Уравнения поверхности зуба колеса Поверхность зуба колеса будем искать как огибающую семейства поверхностей (7). Это семейство образовано вращением поверхности (7) вокруг оси OX с одновременным поворотом вокруг оси OZ (после сдвига вдоль оси OY на величину Sm). Причем, если первый поворот происходит на угол т, то второй - на угол -т/i, где i - передаточное отношение. Параметрические уравнения описанного семейства поверхностей запишем в виде cos(T/i) -sin( т/i) Л 0 ^ 0 1 Г1 0 0 0 ^ Го ^ Sm 0 0 cos т -sin т Sem(T, и, а) = sin (т/i) 0 Sub(u, а) - (8) sin т cos т / cos (т/i) 0 Согласно теории огибающих, требование наличия огибающей у семейства поверхностей приводит к условию понижения ранга матрицы якобиана функции, определяющей это семейство [4]. Для функции (8) это условие можно записать в виде обращения в нуль смешанного произведения частных производных вектор-функции (8) по всем трем параметрам: (Sem 'т, Sem ;, Sem 'а) = 0 . (9) Обозначим через Ws двойное векторное произведение Ws = [[Sub а х Sub и ] X Sub] а через Ns - вектор нормали к поверхности зуба шестерни: Ns = Sub'v x Sub'a . Тогда уравнение (9) можно переписать в виде Ws2 cosт-Ws1 sinT-(i Ws0 +SmNs0) = 0 , (10) где нижний индекс у вектор-функций означает соответствующую координату этой вектор-функции, т. е. коэффициенты этого уравнения являются скалярными функциями от параметров и и а. Уравнение (10) является стандартным тригонометрическим уравнением, которое при условии i Ws0 + Sm Ns0 Iws 2 +Ws 2 V 2 имеет решение относительно т, т.е. при этом условии из уравнения (10) можно выразить параметр т через и и а: т = /(и, а) (явный вид /и, а) получается обычным образом с помощью введения вспомогательного угла ф = arctg(-Ws1/Ws2)). Подставляя /(и, а) в (8) вместо т, получаем уравнение огибающей, т.е. уравнение поверхности зуба колеса. Уравнение характеристики [4], т.е. линии, по которой огибающая касается некоторой поверхности семейства Sem(C, и, а), получится, если в уравнение огибающей подставить выражение и через а из условия / (и, а) = С. Эта задача решена численно для С = 0, в результате получена линия, по которой касаются поверхности зубьев деталей, изображенная на рис. 2. Рис. 2. Поверхности зубьев шестерни и колеса (огибающая) гипоидной передачи в контакте. Показана линия контакта (характеристика) Fig. 2. Surfaces of gear and wheel teeth (envelope) of the hypoid gear in the contact. The curve is the line of contact (characteristic)

Скачать электронную версию публикации