Analytical solution of the problem of small forced oscillations of the ideal fluid.pdf В настоящее время в практических целях возникает задача о движении жидкости в сосуде (например, колебание топлива в баке автомобиля или ракеты, движение жидкости в автомобильной или железнодорожной цистерне и т.д.). Во многих случаях жидкость можно считать идеальной. Решение задачи о движении идеальной жидкости в сосуде при наличии свободной поверхности является важной технической задачей. Задача о малых колебаниях идеальной жидкости в ограниченном объеме со свободной поверхностью под действием силы тяжести многократно рассматривалась в различных работах. Основные результаты аналитических решений этой задачи приведены в работах [1-8]. Есть и иностранные работы по этой теме, например [9-11]. Следует, однако, отметить, что во всех перечисленных работах рассматриваются только свободные колебания жидкости; кроме того, практически во всех перечисленных работах ограничиваются только определением частот колебаний и не приводят динамику изменения формы свободной поверхности. Появление современных компьютеров позволило снять этот недостаток. Сейчас можно аналитически решать задачи на определение формы свободной поверхности и пользоваться вычислительными средствами для реализации полученных результатов. Также кроме свободных колебаний оказалось возможным рассматривать вынужденные колебания идеальной жидкости. В данной работе рассматривается один из возможных случаев движения идеальной жидкости - колебательное движение под действием переменного наружного давления и силы тяжести. Задача решается аналитически в линейном приближении. Математическая постановка задачи Рассмотрим происходящее под действием сил тяжести и переменного наружного давления волновое движение однородной несжимаемой идеальной жидкости, ограниченной снизу и с боков некоторыми неподвижными поверхностями, а сверху свободной поверхностью. Целью работы является определение формы свободной поверхности жидкости в любой момент времени. Движение жидкости начинается тогда, когда имеет место некоторое возмущение жидкости. Пусть возмущение жидкости обусловливается причинами, действующими исключительно на ее свободную поверхность. Движение идеальной несжимаемой жидкости в плоском случае описывается уравнениями Эйлера (см. [12]): 1 dP р ox ' dvx ■ = X dt dv = 7 -1-, it р dy V. + ^ = o, dx dy где vy - проекции вектора скорости жидкости на оси декартовой системы координат; X и 7 - проекции внешних сил на оси Ох, Оу соответственно; Р - давление, р - плотность, t - время. В силу потенциальности движения идеальной жидкости можно ввести потенциал скорости жидкости u, для которого v = Vu . Тогда вместо уравнений Эйлера для описания движения жидкости можно использовать уравнение Лапласа для потенциала u: d 2u S Oi Гз O Г2 Рис. 1. Расчетная область задачи Fig. 1. Computational domain of the problem д 2u Au =-+-= 0. ax2 dy Граничными условиями для него являются: - на твердой стенке - условие непротекания: - = 0 (п - направление нормали к границе); дп - на свободной поверхности - интеграл Коши - Лагранжа: du vx2 +v;2 p _ -+--+-+П = f (t), dt 2 р где П - потенциал внешних сил, действующих на жидкость, f(t) - произвольная функция времени. Рассмотрим движение идеальной жидкости в прямоугольном сосуде шириной a и высотой h (см. рис. 1) Движение жидкости будет определяться путем решения уравнение Лапласа (1) для потенциала скорости в области, занятой жидкостью внутри сосуда. Граничными условиями для него являются: - на твердых границах Г1 и ГЗ du условия непротекания - = 0 ; dx - на твердой границе Г2 - условие du непротекания - = 0 . (1) На свободной поверхности в качестве граничного условия ставится интеграл Коши - Лагранжа со следующими дополнениями. Единственной массовой силой, действующей на жидкость, является сила тяжести. Если ввести величину z - отклонение точки свободной поверхности от равновесного положения (соответствующая координата представлена на рис. 1), то потенциал силы тяжести, действующей на единицу массы, определяется формулой П = gz. При решении поставленной задачи предполагается, что отклонение свободной поверхности жидкости от положения равновесия настолько мало, что область, занятая жидкостью, сохраняет прямоугольную форму. Из-за этого в формуле можно пренебречь квадратами скоростей. Считается, что давление над поверхностью жидкости P является некоторой функцией времени t и координаты х. Произвольную функцию f (t) можно сделать равной 0. Поэтому граничное условие на свободной поверхности примет следующий вид: du P( x, t) - + + gz = 0. (2) dt p В качестве начальных условий задачи задаются начальная форма свободной поверхности и начальная скорость точек свободной поверхности. Начальная форма свободной поверхности в рассматриваемой задаче считается равновесной, т.е. z(0,x) = 0. Начальная скорость точек свободной поверхности жидкости считается равной нулю, т.е. du du 0 ду y=h,t=0 dz z=0,t=0 Метод решения Уравнение Лапласа (1) решается методом разделения переменных (см. [13]), согласно которому потенциал вектора скорости представляется в виде следующего произведения: u = T (t) X (x)Y (у), где T(t) - функция, зависящая только от времени, X(x) - функция, зависящая только от координаты х, Y(y) - функция, зависящая только от координаты у. После подстановки этого произведения в уравнение (1) имеем TX Y + TXY " = 0. Деление этого уравнения на произведение TXY приводит его к следующему виду: XI = _ = _X 2 X Y ' где X2 - некоторое положительное число. Из данного равенства получаются дифференциальные уравнения для определения функций Х и Y. Уравнение для X - задача Штурма - Лиувилля - сводится к следующему: X " + X2 X = 0. Решение данного уравнения выглядит так: X = A cos (Хх) + B sin(Хх). Постоянные А и В определяются из граничных условий, которые заданы на границах Г1 и Г3. Согласно им, ди дх = X '(0) = 0; дх дх = X'(a) = 0 . х=0 Из первого условия следует В = 0; из второго условия Х. = ™ , a где п - целое число. Поэтому выражение для функции Х - собственная функция задачи Штурма - Лиувилля - выглядит так: Xn = C0S 1тх Уравнение для Y сводится к следующему: Y" - X2Y = 0 Решение данного уравнения имеет вид Y = A ch(Ху) + Bsh(Ху). Согласно граничному условию на границе Г2, ди ¥ = Y '(0) = 0. у=0 Из этого условия следует В = 0. Поэтому выражение для функции Y Yn = ch (Хпу) = ch [ППу j . Таким образом, для произвольно заданного натурального номера n решение уравнения Лапласа будет выглядеть так: (3) m , > , [ и j [ nn j Un = Тп (t )ch \-у Ic0s \-х I > а общее решение - так: = Z Тп (t)ch(ППу) cos [ППх|. n=0 Для поиска функций Т(0 необходимо использовать граничное условие на свободной поверхности, которое нужно продифференцировать по времени и учесть, дя ди что "д" = уу = "ду. Тогда выражение (2) после небольшого преобразования примет вид д2 и It2 ди "ду 1P р д( = Q (х, t). у=к Подстановка выражения для потенциала в это равенство и разложение в ряд Фурье правой части по собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля приводит к следующему выражению: ^ гг,„ , Г nn , А Г nn Л ^ „ nn , Г nn , Л Г nn А ^ ^ , ч Г nn А X t; ch I - h I cos I - х 1 + g X Tn- sh I - h I cos I - х I = X Qn (t )cos I - х I. n=0 V a J V a J n=0 a V a J V a J n=0 V a J После перенесения всех слагаемых в одну сторону, группировки и вынесения общих множителей имеем XT ch fc ™ sh (™h J-Q (t )}cos fc | = 0. n=Q I V a J a V a J ) V a J Данная сумма будет равна нулю, когда каждая фигурная скобка будет равна нулю. Это приводит к следующей системе уравнений для определения функций T : ± n- _ , Гnn , Л ^ nn , Гnn , Л ^ / Ч Tn ch I -h I + gTn- sh I -h j -- Qn (t) = 0 . V a J a v a J Небольшое преобразование и введение новых обозначений приводят систему к виду n = 0, t; = Q0 (t); n > 0, TT + ^Tn = Fn (t), 2 nn , Г nn , Л „ , ч Qn (t) где юп = g-thI -h|; Fn (t) = ТПУ Л a ^ a J chf™hI ch I - h V a Процедура решения уравнений проводится согласно методике, приведенной в работе [13]. Эта методика основана на том, что решение уравнения ищется в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения соответствует свободным колебаниям жидкости и рассматриваться не будет, так как начальное состояние жидкости - равновесие, поэтому свободные колебания отсутствуют. Частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям, определяется по формуле t Tn (tИ fn (t -т) Fn (т) dт , (4) 0 где fn(t) - решение соответствующего однородного уравнения при следующих начальных условиях: fn (0) = 0; fn(0) = 1. Для n = 0 выражение (4) приобретает вид t Tq (t) = j(t-T)Q0 (T)dт , 0 а для случая n > 0 выражение (4) Tn (t ) = - j sin (On (t-т)) (т) d т. Юп Q Вычисление полученных интегралов и подстановка их в формулу для потенциала (3) дает окончательный вид решения уравнения Лапласа. Опираясь на это решение, можно получить выражение для формы свободной поверхности жидкости через отклонение z от состояния равновесия. Это выражение вытекает из формулы для граничного условия (2): z = -1 + Р Т: nP0T j qnCn (sin(n (T _ tsin(c0nt)) cos f nnx g £ ((C0"T)2 _n2) По приведенным формулам был проведен расчет формы свободной поверхности идеальной жидкости с помощью программы Mathcad. Плотность жидкости было взята 1000 кг/м4. Размеры сосуда: ширина - 1 м, глубина - 0.5 м. Максимальное значение давления в импульсе 100 Па. Длительность импульса составляет 0.1 с. Границы действия импульса 0.44 и 0.56 м от левой границы сосуда. На рис. 3 приведена форма свободной поверхности жидкости в разные моменты времени: а - начало импульса, б - окончание действия импульса, в - формирование волны на поверхности, г - достижение волной границы сосуда. Расчеты показывают четкий момент отражения волн от стенок и последующее наложение колебаний с образованием сложной волновой поверхности. Таким образом, предложенная методика дает возможность построить форму свободной поверхности идеальной жидкости при ее вынужденных движениях в ограниченном сосуде под действием переменного давления на поверхности жидкости.

Скачать электронную версию публикации