On small variation formulas.pdf Пусть S есть множество всех голоморфных однолистных в круге E = Ez = {z е С : |z| < 1} отображений f: E ^ С , w = f (z), нормированных условиями f (0 ) = 0, f'(0) = 1. Какова бы ни была односвязная область D с С , 0 е D, с конформным радиусом относительно w = 0 равным единице, в классе S существует единственное отображение f такое, что f (E) = D . Одним из основных методов решения экстремальных задач в классе S является метод внутренних вариаций [1, 2]. В свою очередь, понятие вариационной формулы является базовым инструментом метода внутренних вариаций. Отображение f *: Ez х (0,е0) ^ С, w = f * (z,е) принято называть вариационной формулой в классе S для отображения f, f е S , если оно удовлетворяет условиям: 1. Vee(0, е0) сужение f * |Ex{e}e S (для каждого ее( 0, е0) отображение f * (z, е) как отображение от z принадлежит классу S.); 2. lim f * (z, е) = f (z) равномерно внутри E ; е^+0 3. Существует правосторонняя производная по е в точке е = 0, равномерная относительно z внутри Ez. Задание отображения f *: Ez х (0, е0) ^ С, w = f * (z, е) равносильно заданию семейства отображений f. : E ^ С, w = fE(z) = f * (z, е) от параметра ее(0, е0). При работе с вариационной формулой ее, как правило, раскладывают по формуле Тейлора по параметру е в полуокрестности точки е = 0 с нужной степенью точности. Классическая теорема Г.М. Голузина [1], обобщающая результат Шиффера, позволяет получать вариационные формулы достаточно общего вида (называемые формулами типа Голузина - Шиффера). П.П. Куфарев [3] предложил другой подход к получению таких вариационных формул. Многие математики занимались и занимаются совершенствованием метода внутренних вариаций и поиском приемов получения новых вариационных формул. В данной работе предлагается достаточно общий подход к получению так называемых малых вариаций с помощью вспомогательного семейства голоморфных однолистных отображений из круга в круг. Теорема 1. Пусть g : Ez х (0, е0) ^ E^, Z = g(z, е) удовлетворяет условиям: 1) Уее(0, е0) сужение g^^ есть голоморфное однолистное отображение; 2) lim g (z, е) = z равномерно внутри Ez; 3) g (z,е) и g'z (z,е) дифференцируемы по е в нуле справа равномерно внутри Ez . Тогда в классе S для отображения f е S имеют место вариационные формулы f (z,е) = f (z)+е( f'(z)gе(z,0)-f (z)f'(0)g'e(0,0)-f (z)g^(0,0)-gе(0,0)) + +o(z,е), е е (0,е0), (1) o(z, е) где lim-= 0 равномерно внутри Ez; е^+0 е f2 (z,е) = f (z)+е( f (z)(z2g"(M) + gе(z,0)-gе(0,0))- f (z)gz;(0,0)) + + o(z,е), е е (0,е0), (2) o(z, е) где lim-= 0 равномерно внутри Ez; е^+0 е f3 (z, е) = f (z ) + еРз (z) + o (z, е), ее( 0, е), (3) где Рз (z) = f' (z)(gе (z,0) + z2u - u + itz)-- f (z )(( (0)(gе(0,0)-u ) + gz^ (0,0)+ it)-gе(0,0)+ u , е = min[[ е0, -1- |, u , t - константы, u е С, t е К, и lim °(z е) = 0 равномерно ^ | u |) е^+0 е внутри Ez ; f4 (z,[) = f (z) + [( f' (z)( z 2 !ё(0;0)+gе(z,0)-gе(0,0)+itz)-f (z)((&(0,0) + it)) + +o(z,[), ее(0,е), (4) o(z е) где t - константа, t е К, и lim-!- = 0 равномерно внутри Ez. е^+0 е Доказательство. Из условия lim g(z, е) = z равномерно внутри Ez по теореме Вейерштрасса следует, что lim g'z (z, е) = 1 равномерно внутри Ez. Отсюда е^+0 следует равенство g'z (0,0) = 1. Пусть g (z,е) = z + еgе (z,0) + o (z,е). Тогда g'z (z,е) = 1 + еgZ'е (z,0) + o(z,е). Докажем первую вариационную формулу. Е f о f (g(z,е))-f (g(0,е)) f ( ) S Если f e S , то -^-7-, чч /-= f (z,е)е S . f' (g (0, е)) gz (0, е) JlK'> Записывая fj(z,e) относительно е по формуле Тейлора, получаем формулу (1). Докажем вторую вариационную формулу. = f- (^ е)е S . 1 -|g (0, е) J g (z, е)-g (0, е) Если f e S , то --j-f gz(0, е) 11 - g (0, е) (z, е) Формула (2) теперь следует из разложения f-(z,e) относительно е по формуле Тейлора. Докажем третью и четвертую вариационные формулы. Отображение n(z,е) = вг'е --^ при | u[ |< 1 переводит единичный круг в 1 - zu е единичный круг. Заметив, что отображение z,е) = g(n(z,е),е) удовлетворяет условиям теоремы, и используя формулу (1), получаем формулу (3), а используя формулу (2), получаем формулу (4). При дополнительных условиях на отображение g : Ez х(0, е0) ^ E^, Z = g(z,е) можно получить разложение вариационных формул fk (z, е), к = 1,2, по е с нужной степенью точности. Теорема 2. Пусть g : Ez х(0, е0 ) ^ E^, Z = g (z, е) удовлетворяет следующим условиям: 1) Уее(0, е0) сужение glEх{е} есть голоморфное однолистное отображение; 2) lim g (z, е) = z равномерно внутри Ez; е^+0 3) g (z,е) и g'z (z,е) дважды дифференцируемы по е в нуле справа равномерно внутри Ez . Тогда в классе S для отображения f e S имеют место вариационные формулы: f (z,е) = f (z)+е('(z)gе (z,0)-f (z) f "(0)gе (0,0)-f (z)g^ (0,0)^ (0,0)) + 2 +yQ (z)+o(z,е2), ее(0,е0), где Q1 (z) = f'(z)gf (z,0) + f '(z)(gе'е(z,0)-2f'(0^,0^(0,0)-2gе(z,0)gZ'е(0,0))-- f (z)(f' (0)gе2 (0,0)-2 f'2 (0)gе2 (0,0) + f' (0^(0,0)- 2 f '(0^(0,0^(0,0) + +g'^m-2 gz2 (0,0))+f '(o)gе2 (0,0)+gZе(o,o)gе(o,o)-g^o) o( z, е2) и lim-2- = 0 равномерно внутри Ez; е2 f2 (z,[)= f (z)+е(f (z)(z2gе(0,0) + gе(z,0)-gе(0,0))-f (z)gz;(0,0)) + +yQ2 (z)+o(z,е2) ее(0,е0), Q2 (z )=f "(z )(z2 йм+gе (z,o)-gе (o,o))2+ +f (z)(2z3gе2(0,0) + z2£ё(Щ-2z2gz; (0,0)iT(0^ + 4zgе(z,0)gё(0^- ^е (o, 2gZе (o, o) gе(o,o)- 2gZ'е(o, o) gе(z,o)+gе'е (z,o)- gе'е (o, o))+ +f (z )( (0,0)-2gе(0,0)iЙ0^)-gL^)) и lim o(z,-е ) = 0 равномерно внутри Ez. е^+о е2 Заметим, если отображение g : Ez х(0, е0) ^ E^, Z = g(z, е) удовлетворяет условию g (0, е) = 0, то f1 (z, е) = f2 (z, е). Выбирая отображение w = g (z, е) в конкретном виде, получим малые вариации, как известные, так и новые. 1. Пусть g : Ez х [0,1) ^ Ez, g (z, е) = ее'р+(1 -е)е'еz . Это отображение удовлетворяет условиям теорем 1 и 2. Следовательно, в классе S имеют место вариационные формулы Vf e S следующего вида: f (z,е) = f (z) + е(f (z)(e'e -(1 -i)z)-f (z)f'(0)eiP + f (z)(1 -i)-eiP) + +2е2^ (z) + o(z,е2), е e [0,1), где Q1 (z) = f"(z)(- z (1 - i))2 + f '(z)(-2 f "(0ye(- z (1 - i)) + 2(- z (1-i))-z (1-2i))-- f (z)(f"'(0)e2,e -2 f"2 (0)e2ie + 2f "(0)e!'p(1 -i)-1 + 2i) + f"(0)e2i'p -(1 -i)e!'p; f2 (z,е) = f (z) + е(zf'(z)(z-(1-i)) + f (z)(1 -i))++ o(z,[2^e^), где Q2 (z )= z2 f"(z )(-(1 - i ))2+ +f ' (z) (2z V2i'p + z2 (1 - i)( - 4e-p ) - z (1 + 2i)) - f (z)(1 - 2i); f3 (z,е) = f (z) + е( f (z)(z2u -z + z(1 +1)i + eiP -u)--f (z)(((0)(-u)-1 + (1 +1)i)-e!'p + u) + o(z,е), ее[0,1); f4 (z,е) = f (z) + е(f'(z)(zУe -z + z(1 +1)i) + f (z)(1 -(1 +1)i)) + o(z,е), е e[0,1). Отметим частные случаи этой формулы. 1а. Пусть g : Ez х[0,1)^ Ez, g(z,е) = еeгP+(1 -е) . Это отображение удовлетворяет условиям теорем 1 и 2. где Следовательно, в классе S имеют место вариационные формулы Vf e S следующего вида: f (z,е) = f (z) + е(f (z)(eip -z)-f (z)f'(0)e'e + f (z)-e'e) + +2е2Ql (z) + o(z,е2), еб[0,1), где Q (z) = f "(z)( -z)2 + f '(z)(-2f"(0)e

Скачать электронную версию публикации