On the inverse problem of finding the right-hand side of wave equation with nonlocal condition.pdf В последнее время обратные задачи для дифференциальных уравнений интенсивно изучаются. Отметим, что такие задачи возникают в самых разнообразных областях математики, геофизики, сейсмологии, астрономии, экологии и т.д. [1]. В данной работе рассматривается подход к решению одной обратной задачи для волнового уравнения. Поиск неизвестной правой части уравнения сводится к задаче минимизации функционала, построенного с помощью дополнительной информации. В результате получаем градиент функционала и условие оптимальности. 1. Постановка задачи Для цилиндра QT = Qx (0, T) рассматривается краевая задача d2u --Au =-Э(x, t), (x, t) 6 QT ; (1) dt du( x, 0) u(x,0) = ф0 (x),-= ф1(x), x 6Q ; (2) dt = IK(x, y)u(y,t)dy , (x,t) 6 St . (3) du dv S Q Здесь Q6Rn - ограниченная область с гладкой границей dQ; ST = dQx(0,T) -боковая поверхность цилиндра QT; v - внешняя нормаль к границе dQ; ф0 (x) 6 W (Q), ф1 (x) 6 L2 (Q); K(x, y) 6 L2 (Q x Q) - заданная функции, а $(x,t) 6 L2(Qt) - неизвестная функция. Для того чтобы определить $(x,t), воспользуемся дополнительной информацией u(x, T) = g(x), x 6 Q , (4) где g (x) 6 L2(Q) - заданная функция. Приводим эту задачу к задаче оптимального управления, т.е. на решениях задачи (1) - (3) минимизируем функционал 1 2 JоО) =-Н«(X,T;Q) - g(x) fdx , (5) 2 Q где u(x,T;Q) является решением задачи (1) - (3), которое соответствует функции x,t). Функцию x,t) назовем управлением. Если мы найдем управление x, t), которое доставляет функционалу (5) нулевое значение, тогда дополнительное условие (4) выполняется. Отметим, что при каждом фиксированном управлении x, t) е L2 (QT) краевая задача (1) - (3) имеет единственное обобщенное решение из W (QT) [2]. 2. О разрешимости задачи (1) - (3), (5) Теперь рассмотрим следующую задачу: при каких условиях inf J0(Q) = 0? (6) »eL2(Qt) Пусть у0 (x) - заданная функция из L2 (Q), такая, что fy0(x)u(x,T;Q)dx = 0, VQe L2(QT). (7) Q Мы хотим выяснить, будет ли отсюда следовать у 0 (x) = 0 ? Введем функцию W(x, t) как решение задачи: d2W --AW = f K(5, x)W(5,t)ds , (x,t) е QT ; (8) dt2 3Q W(x,T) = 0, 9W(X,T) =y0(x), xeQ ; (9) dt = 0, (x, t) e ST . (10) dW dv S T Как и в работе [2], можно показать, что (8) - (10) имеет единственное обобщенное решение из класса W^ (QT) и это решение обладает свойствами W(x, t) е C([0, T], W2 (Q)), ^^t) е C([0, T], L2 (Q)). В силу определения обобщенного решения задачи (1) - (3) имеем: при t = 0 выполняется условие u(x,0) = ф0(x) и интегральное тождество: t f du dn ^ t f fl---- + VuVn I dxdt -f f n(x, t )f K (x, y)u (y, t) dydsdt - 0 QV dt dt ) 0 3Q Q T - f ф^^^, 0)dx =f f Q(x,t)n(x,t)dxdt (11) Q 0 Q f du du du ^ Vdx1 'dx2 " " 'dx« ) для любой функций n e W^ (QT), n(x, T) = 0 , где Vu = В силу определения обобщенного решения задачи (8) - (10) имеем: при t = T выполняется условие W (x, T) = 0 и интегральное тождество: т f dW дФ ^ т f f l---+ VWVФ I dxdt -f f Ф(x, t)f K (x, y)W(y,t) dydsdt - 0 QV dt dt ) 0 3Q Q -f dW(x,0) Ф(x,0)dx = f уо(x)ф(x,т)dxdt, (12) q dt q для любой функции Ф е W2, (Qt ). Теперь в (11) за функцию n возьмем W, а в (12) за функцию Ф возьмем u, из (11) вычтем (12), тогда имеем dW(x 0) f-!-ф0(x)dx - f ф1(x)W(x,0)dx q dt q T -f f Q(x,t)W(x,t)dxdt + f у0(x)u(x,T;Q)dxdt = 0 . 0 Q Q Если учесть условия (7), то получим dW(x 0) т f-x)dx - f ф1(x)W(x,0)dx - f f Q(x,t)W(x,t)dxdt = 0 . (13) Q dt Q 0 Q Если соотношение (13) записать для произвольных Q1(x,t) и Q2(x,t), то из полученных двух равенств следует, что T f f (Q1 (x, t) -Q2 (x, t))W(x,t)dxdt = 0, VQ1, Q2 е L2 (QT). 0Q Отсюда, в свою очередь, следует, что W = 0 в QT . Значит, в силу (8) у0 (x) = 0 в Таким образом, в силу теоремы Хана - Банаха [3] получаем, что inf J0(Q) = 0. »EL2(Qt) Если образ L2(Qt) при отображении Q^u(x,T;Q) замкнут в L2(QT), то возможно существует такой элемент Q0 (x, t) е L2 (QT), что inf Jq(Q) = Jq(Qq) = 0. »eL2(Qт) 0 0 0 В задаче (1) - (3), (5) минимизирующий элемент Q(x,t) е L2(QT), вообще говоря, не единственный. Теперь рассмотрим задачу минимизации функционала Ja (Q) = Jq(Q) + -Tf f (Q(x, t) -ю(x, t))2dxdt (14) 2 0 Q в выпуклом замкнутом множестве Uad еL2(QT) при ограничениях (1) - (3), где ю(x,t) е L2(Qt) - заданная функция, a > 0 - заданное число. Тогда, в силу известных результатов [5], в задаче (1) - (3), (14) существует единственный минимизирующий элемент. 3. Вычисление дифференциала функционала (14) и необходимое условие оптимальности Теперь покажем, что функционал (14) дифференцируем в L2(QT). Берем два допустимых управления Q, Q + 5Qe Uad . Соответствующее решение задачи (1) -(3) обозначим через u(x, t; Q) и u(x, t; Q + 5Q). Пусть 5u(x, t) = u(x, t; Q + 5Q) - u(x, t; Q). Ясно что 5u(x, t) является обобщенным решением краевой задачи -ASu =SQ(x, t), (x, t) е QT ; (15) dt2 Su (x,0) = 0, dSudx,0) = о, x eQ ; (16) dSu d =f K(x, y)Su (y, t)dy, (x, t) e St , (17) dv т.е. для любой функций n e w2^(Qt ), n(x, T) = 0 выполняется интегральное тождество T т f dSu dn | т f f l---- + VSuVn I dxdt-f f n(x,t)f K(x,y)Su(y,t) dydsdt = 0 QV dt dt ) 0 dQ Q (18) T = f f SQ(x, t)n(x, t)dxdt. 0Q Пусть у - обобщенное решение из W^ (QT) сопряженной задачи d 2у -Ay = f K(5,x)y(5,t)ds , (x,t) e QT ; (19) dt2 dQ у (x, T) = 0, dy(x,T) = u (x, T; Q) - g (x), x eQ ; (20) dt = 0, (x, t) e ST . (21) dy dv S T То есть для любой функции Ф е W\ (QT) выполняется интегральное тождество т f dУ dФ ^ т f f l ---+ VyVФ I dxdt - f f Ф^, t) f K (x, y) у (y, t) dydsdt - 0 QV dt dt ) 0 dQ Q -f x,0) Ф(x,o)dx- f (u(x,T;Q) -g(x)^(x,T)dx = 0. (22) q dt q Поскольку смешанная задача (19) - (21) является линейной относительно у (x, t), то эта задача в пространстве W^ (QT) имеет единственное решение[2]. Теперь вычислим приращение функционал (14). Ясно, что SJa (Q) = Ja (Q + SQ) - Ja (Q) = f (u( x, T; Q) - g (x))Su( x, T )dx + Q T 1 T +af f (Q(x,t)-ra(x,t))SQ(x,t)dxdt + - f (Su(x,T))2dx + -f f (SQ)2dxdt. (23) 0 Q 2 Q 2 0 Q Если в (18) положить n(x,t) = у(x,t), а в (22) Ф(x,t) = Su(x,t) и вычесть полученные соотношения, то имеем T f (u(x, T;Q) - g(x))Su(x, T)dx =f f SQ(x, t)у(x, t)dxdt. Q 0 Q Тогда, учитывая это равенство в (23), получим т т SJa(Q) = af f (Q(x,t)-ю(x,t))SQ(x,t)dxdt- f f SQ(x,0у(x,t)dxdt + R , (24) 0 Q 0 Q T где R = - f (Su(x, T))2 dx + a f f (SQ)2 dxdt. 2 Q 2 0 Q Теперь оценим остаточный член R, входящий в (24). Покажем, что T2 |R| < сf f (SQ)2dxdt. (25) 0Q Для этого покажем, что IMIW'Q) < с1 К2(6т). (26) Здесь и в дальнейшем через с будем обозначать различные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин и от допустимых управлений. Применяя метод Галеркина, из (15) - (17) получим f d2SuN (x, t) dSuN (x, t) >« dSuN (x,t) d2SuN (x,t) I dx + I 2. dx q dt2 dt q i=1 dx dx dt - f f K(x,y)SuN(y,t)dyds = fSQdSuN dx. dQ dt Q Q dt N Здесь Su (x,t) - приближения Галеркина, т.е. Su (x,t) = 2 C^ (t)фк (x), ф^ (x) k=1 базис в W-J(Q). Интегрируя по t от 0 до t, получаем f/d2S - ^ ^ d Su . f + VSu dx = Q dt ) ) / = 2f f dSuN(xt) f K(x,y)SuN(y,t)dydsdt + 2f fSQdSuN(^t) dxdt. (27) 0 dQ dt Q 0 Q dt Преобразуем интеграл по боковой поверхности ST следующим образом: dSuN (x, t) f f-^-^-f K(x, y)Su (y, t)dydsdt = i1 + i2 + i3 0 dQ dt Q f^ ^^ ч dSuN(y,t) , , , где i1 =-J JSu (x, t) J K (x, y)---1 dydtds , dQ 0 Q dt i2 = f SuN (x, t) f K(x, y)SuN (y, t)dyds, dQ Q i3 = - f SuN(x,0) f K(x, y) SuN(y, 0)dyds = 0 . Q dQ Пользуясь неравенством f |w|ds < с f (|W| + |VW|)dx [4] и затем неравенством dQ Коши - Буняковского, получаем dSN (y, t) f f Su (x, t) f K (x, y) 0 dQ Q dt dydt; (28) dt < сf f ((SuN(x,t))2 +|VSuN(x,t)| )dxdt + cf f 0 Q ' ' 0 Q dydsdt { f dSuN (y, t) ^ f SuN (x, t) f K(x, y)SuN (y, t)dyds Q dQ < сVf f(SuN(x,t))2 +|VSuN(x,t)|2jdxj2 ff (SuN(x,t))2dxj . (29) Введем обозначение fdSuN j V dt , V ) ZN (t) = f ((SuN )2 + Q + VSuN )dx. Ясно, что f (SuN (x, t))2 dx < 2tf yN (t)dt, Q 0 f dSuN (x, t) j2 dt '(x, t )|2 yN (t) = f Q + VSu dx. где Из (29) следует i2 < c(ZN (t))21 2tf ZN (t)dt I . При условиях на данные задачи и учитывая (28) и (30), из (27) имеем ZN (t) < cf ZN (t) dt + 2tf ZN (t)dt + c(ZN (t))2 f 2tf ZN (t)dt 12 + cf f (SQ)2 dxdt. о о V о ) о Q -N Обозначим max ZN (5) = Z (t), тогда o 0 (43) 0Q при всех Q e Uad . Доказательство. Согласно доказанным утверждениям, функционал Ja (Q) непрерывно дифференцируем по Фреще на L2(QT) и его дифференциал в точке Q(x,t) е Uad определяется равенством (33). В силу теоремы [6, с.28] на элементе Q. е Uad необходимо и достаточно выполнение неравенства Ja(Q),Q-Q.)> о при всех Q е Uad . Отсюда и из (34) следует справедливость равенства (43). Теорема доказана.

Скачать электронную версию публикации