Necessary optimality conditions in the one boundary control problem for Qoursat - Darboux systems.pdf 1. Введение Задачи оптимального управления, описываемые системами Гурса - Дарбу, с управляемыми граничными условиями начали изучаться еще с работ [1, 2] А.И. Егорова. Отметим работы [3-9], в которых получен ряд необходимых условий оптимальности и доказаны теоремы существования оптимальных граничных управлений. В предлагаемой работе исследуется одна граничная задача оптимального управления, описываемая системой Гурса - Дарбу, при предположении открытости области управления. Установлены необходимые условия оптимальности первого и второго порядков. 2. Постановка задачи Рассмотрим задачу о минимуме функционала I (u ) = ф( a (tj )) + G ( z x )) (2.1) при ограничениях u (t) e U с Rr, t e T = [t0,t1 ]; (2.2) ztx = B (t, x) zt + f (t, x, z, zx), (t, x) e D = [t0, t1 ]x[ x0, x1 ]; (2.3) z(t,x,) = a(t), t e T =[tQ,t1 ], z (tQ, x) = b (x), x e X = [xQ, x1 ]; a (tQ ) = b (xQ ) = «о, a = g (t, a,u), t e T; (2.5) a (t, ) = a,. (2.6) Здесь f (t, x, z, zx) - заданная n-мерная вектор-функция непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по z, zx до второго порядка включительно; B(t, x) - заданная измеримая и ограниченная (n x n) матричная функция; b (x) - заданная n -мерная абсолютно непрерывная вектор-функция; tQ, t1, xQ, x1 (tQ < t1; xQ < x1) - заданы; aQ - заданный постоянный вектор; g (t, a, u) - заданная n-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по (a,u) до второго порядка включительно; ф(a) и G(z) - заданные дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции; U - заданное непустое ограниченное и открытое множество; u(t) - измеримая и ограниченная r-мерная управляющая вектор-функция. Каждую управляющую функцию u(t) с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением. Предполагается, что при заданном допустимом управлении u(t) задача Коши (2.5), (2.6) и задача Гурса (2.3), (2.4) имеют единственное абсолютно непрерывное решение (в смысле [10 - 13]) a (t) и z (t, x) соответственно. Допустимое управление u (t), доставляющее минимум функционалу (2.1) при ограничениях (2.2) - (2.6), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс (u (t), a (t), z (t, x)) - оптимальным процессом. 3. Вариации функционала качества Считая (u (t), a (t), z (t, x)) фиксированным допустимым процессом, введем обозначения M (t, a, u, q) = q' g (t, a,u) , H (t, x ^ zx, y) = V f (K x z, zx ) , Ma (t, a (t) u (t), q (t)) = m« (t) , Maa (t, a (t), u (t) q (t))= m« (t) , Mua (t, a (t), u (t) q (t)) = Mua (t) , Muu (^ a (t), u (t), q (t))= Muu (t) , Hz (t, x, z (t, x), zx (t, x), v (t, x)) = Hz (t, x) , Hzz (t, x, z (t, x), zx (t, x), v (t, x)) = Hzz (t, x), HZZx (t, x, z (t, x), zx (t, x), v (t, x)) = HZZx (t, x) , ga (t, a (t^ u (t)) = ga (t) , fz (t, x, z (t, x), zx (t, x)) = fz (t, x), fzx (t, x, z (t, x), zx (t, x)) = fzx (t, x), где v = v (t, x) и q = q (x) - пока неизвестные n-мерные вектор-функции. Через (u (t) = u (t) + Au (t), a (x) = a (x) + Aa (x), z (t, x) = z (t, x) + Az (t, x)) обозначим произвольный допустимый процесс и запишем приращение критерия качества AI(u) = I(u)-1(u) = ф(a (t1 ))-ф(a(t1)) + G(z (,x1))-G(z(,x1)) . (3.1) Далее ясно, что приращение (Aa (t), Az (t, x)) - состояния (a (t), z (t, x)) есть решение задачи Aa = g(t,a,м)-g(t,a,u) ; (3.2) Aa (tQ ) = 0; (3.3) Aztx = B (t, x) Azt + f (t, x, z, zx ) - f (t, x, z, zx ); (3.4) Az (^ xQ ) = Aa (t), t e T, (35) Az (tQ, x) = 0, x e X. Умножая обе части соотношения (3.2) ((3.4)) слева скалярно на q (t) (v(t, x)), а затем интегрируя обе части полученного соотношения по T (по D ) получим t1 t1 J q'(t) Aa (t) dt = J [M (t, a (t), и (t), q (t)) - M (t, a (t), u (t), q (t)) dt; (3.6) to t1 x1 t1 x1 J J V(t,x)Aztx (t,x)dxdt = JJ V'(t,x)B(t,x)Azt (t,x)dxdt + to x0 t0 x0 +JJ [ H (t, x, z (t, x), zx (t, x), V (t, x)) - H (t, x, z (t, x), zx (t, x), v (t, x)) dx dt. (3.7) to x0 Здесь и в дальнейшем штрих (') - операция транспонирования. С учетом тождеств (3.6) и (3.7) формула приращения (3.1) записывается в виде AI(u) = ф(a (t1)) - ф(a(t1)) + G(z (, x1)) - G(z (, x1)) + t, + t Jq'(t)Aa(t)dt- J[M(t,a (t),u (t),q(t))-M(t,a(t),u(t),q(t))dt + to t1 x1 t1 x1 +J J V'(t, x)Aztx (t, x)dxdt - J J V'(t, x)B (t, x)Azt (t, x)dxdt to x0 t0 x0 t1 x1 -J J [[H(t,x,z (t,x),~zx (t,x), v(t,x))-H(t,x,z(t,x),zx (t,x), v(t,x))dxdt. to x0 Отсюда, используя формулу Тейлора, будем иметь I (u) = ф« (a (t1)) Aa (t1) +1 Aa' (t1) ф«« (a (t1)) Aa (t1) + +Gz(z (tJ, x1))) (tJ, x1 )+ ^ Az (tJ, x1 )Gzz (z (^ x1 ))Az (tJ, x1 ) + to t1 x1 Ю x0 t, x, "1 "1 bJ q'(t) Aa (t) dt - J [M'a (t) Aa (t) + M'u (t) Au (t)] dt t0 t0 -2 j [Aa' (t)M«« (t) Aa (t) + 2 Au'(t)МИ« (t) Aa (t) + Au'(t)MUU (t) Au (t)] dt + 2 to t1 x1 t1 x1 - JJ V'(t, x) B (t, x) Azt (t, x) dxdt - JJ [ H'z (t, x) Az (t, x) + H'z (t, x) Azx (t, x) J dx dt t0 x0 t0 x0 1 t1 x1 - 2 JJ ['Az'(t, x) Hzz (t, x) Az (t, x) + Az'x (t, x) Hxz (t, x) Az (t, x) + tQ x0 +Az'(t,x)Hz^ (t,x) Azx (t,x) + Az'x (t,x)Hz^ (t,x)Azx (t,x)Jdxdt + 01 (||Aa (t1)|2 ) + c2 (||Az (, x )2 )-J 03 [[||Au (t )|| + ||a« (t)||] 2 ) dt t0 1 Ъ + 0, - J J o4 ^[|Az (t, x )|| + ||Azx (t, x )||] 2 "j dxdt, (3.8) где o (a2 ^)ja2 ^ 0 при a ^ 0 . Ясно, что Aa (t) = J A« (x)dт ; t0 t x Az(t,x) = Aa(t) +J J AzTs (т,s)dsdт ; t0 x0 x Azt (t, x) = A« (t) + J Azts (t, s) ds ; x0 t Azx (t, x ) = JAzTx (т, x )d т . (3.9) (3.10) (3.11) (3.12) Используя формулы (3.9) - (3.12) и применяя формулу Фубини (см., напр., [6, 10]), можно доказать, что JМ« (t)A« (t)dt = J JM«(T)dт (3.13) A« (t) dt; t1 x1 t1 x1 J J v'(t, x)B (t, x)Azt (t, x)dxdt = JJ V'(t, x)B (t, x)A« (t)dxdt- 1 Jv'(t, s )B (t, s )ds „1 -„1 ^ J Aztx (t, x)dxdt; (3.14) „1 -„1 „1 -„1 JJ H'z (t, x) Az (t, x )dxdt = JJ H'z (t, x) Aa (t) dx dt -t0 x0 t0 x0 t1 x1 t1 x1 +J J hz (t, x) JJAZтs (т, s )dsd т (3.15) dxdt; 1 ~1 1 ~1 JJ hz (t, x) A« (t )dxdt = JJ 1 Jhz (т,x)dт A« (t )dxdt + Ч "4 J J Hz (т,s)dsdт J tQ xQ Aztx (t, x) dx dt, Aztx (t, x) dx dt, J J H'^ (t, x) Azx (t, x) dxdt = JJ t0 x0 t0 x0 t1 ф« (« (t1)) A« (t1) = J ф« (« ft )) A« (t) dt, to t1 gz (z ((, x1 ))Az (, x1) = J gz (z ((, x1 ))A« (t)dt to t1 x1 +J J Gz (z ((, x1)) AAztx (t, x)dxdt. 1 JH^ (т,x)dт (3.16) С учетом доказанных тождеств (3.13) - (3.16) формула (3.9) для приращения функционала качества (2.1) представляется в виде „1 „1 A (u ) = -JA u (t )M (t )dt +J 1 ф« (« (t1 ))+q (t)+Gz (z (t1, x)) - JM« (т) dт - --1 "1 --1 - JJhz (т,x)dxdт- J B'(t,x)v(t,x)dx "1 --1 A«(t)dt + JJ[Gz (z(t1,x ))-v(t,x) tQ xQ xQ t Aztx (t, x )dxdt + '-1 "1 '-1 "1 - J B' (t, s) v (t, s) ds - J J HZ (т, s) dт ds - J H'x (т, x) dт +1 A«' (t1) ф«« (« (t1)) A« (t1) +1 Az' ( x1) Gzz (z ( x1)) Az (tJ, x1) - 1 \ - J [ A«' (t )M«« (t) A« (t) + 2 Au' (t )MB« (t) A« (t) + Au' (t )МИИ (t) Au (t )J dt - 0 1 h x1 "2 JJ[Az'(t,x)Hzz (t,x)Az(t,x)+Az'(t,x)Hzzx (t,x)AZx(t,x)+Azx (t,x^ (t,x)Az(t,x)+ 1 t1 x x)Hzxzx (t,x)AZx (t,x)]dxdt- JA«'(()Au(M«« (()A«(()dt+01 ((«((1 )2)+ +Az' t0 h x1 22 +02 ,, ч1- 1/м t0 tQ xQ 2 , (( ((1, *jf )+J03 ([||A« (()+Au (()dt - J Jo4 ([Az (t,x)|+|AZx (t ,x|2)dxdt. (3.17) Если предполагать, что (v (t, x), q (t)) является решением системы интегральных уравнений x1 h x1 h V(t,x) = -Gz (z(t1,x1))+ J B'(t,s) v(t,s)ds + J J Hz (т,s)dsdт + JHz (т,x)d^ (3.18) s t x t t1 q (t) = -ф« (« (t1 )) - Gz (z (, x1))+J M«« (т)d т t x1 t1 x1 - J J Hz (т, x) dx dт + J B' (t, x) V (t, x) dx, (3.19) x 0 t x0 то формула приращения (3.17) примет вид AI (u ) =1 A«' (t1 ) ф«« (« (t1)) A« (t1) + 1 2 Az (1, x ) Gzz (z (, x )) Az (t1, x1 )-J M'u (t) Au (t) dt to -2J[A«'(t)M«« (t)A«(t) + 2Au'(t)MB« (t)A«(t)+Au'(t)MUU (t)Au(t)\ dtto 111 x1 -2 JJ[Az'(t, x)Hzz (t, x) AZ (t, x) + Az'(t, x)Hz^ (t, x) Azx (t, x) + 'q x0 +Azx (t, x) Hzz (t, x) Az (t, x) + Azx (t, x) Hz^ (t, x) Azx (t, x)\ dx dt + + 01 (||A« (1)|2 ) + 02 (||Az (t1, x |2 ) - {03 f[||A« (t)|| + ||Au (t)||\2 | dt t, V У ^ x1 / 2 Л -J J 04 l[||Az(t,x) + Azx (t,x)||\ Idtdx. (3.20) t, xQ Пусть s - достаточно малое по абсолютной величине число, а 5u (t) e Rr, t e T, - произвольная кусочно-непрерывная и ограниченная r-мерная вектор-функция (вариация управления). В силу открытости области управления U специальное приращение управления u (t) можно определить по формуле Aus(t) = s5u (t) , t e T . (3.21) +2 11- Через (Aa (t;s), Az (t, x;s)) обозначим специальное приращение вектора состояния (a(t),z(t,x)), отвечающее приращению (3.21) управления u (t). Из оценок, приведенных, например, в работах [1, 2, 11-13] следует, что ||A«(t;s)||< Ls , (3.22) ||Az (t, x; s)||< L s, ||Azx (t, x; s)||< L s, (t, x)e D . Используя эти оценки и (3.21), при помощи (3.2), (3.3) и (3.4), (3.5) аналогично [14] доказывается Теорема 3.1. Для специального приращения (A« (t; s), Az (t, x; s)) состояния (a (t), z (t, x)) имеют место разложения Aa (t;s) = s5« (t) + 0 (s;t), Az(t,x;s) = s5z(t,x) + 0(s;t,x) , (3.23) Azx (t, x; s) = s 5zx (t, x) + 0 (s; t, x), где (5« (t), 5z (t, x)) (вариация состояния (a (t), z (t, x))) является решением уравнения в вариациях 5«(t) = ga (t)5«(t) + gu (t)5u (t); (3.24) 5« (tQ ) = 0; (3.25) 5ztx (t, x) = B (t, x) 5zt (t, x) + fz (t, x) 5z (t, x) + f^ (t, x) 5zx (t, x); (3.26) 5z (t, xQ) = 5« (t), 5z (tQ, x ) = 0. (3.27) С учетом разложений (3.23) из формулы приращения (3.20) получаем, что t1 AIs(u) = I(u +s5u)-1(u) = -s JM'u (t)5u(t)dt + to s2 + у {5«' (t1 ) ф«« (« (t1 )) 5« ( ) + 5z ( , x1 ) Gzz (Z ( , x1 )) 5z (t1, x1 ) t1 -J[5«'(t)M«« (t)5«(t) + 25u'(t)MB« (t)5«(t) + 5u'(t)MUU (t)5u(t)]dt + to t1 x1 +J J |[5z'(t, x) Hzz (t, x) 5z (t, x) + 5z' (t, x) HZZx (t, x) 5zx (t, x) + ^ xq +5zx (t, x)Hzz (t, x)5z(t,x) + 5zx (t, x)HZA (t, x)5zx (t, x)] dxdt} + 0(s2 ). (3.28) Из разложения (3.28) следует, что первая и вторая вариации (в классическом смысле) функционала I (u) имеют соответственно вид t1 S1/(u; 5u) = -JM'u(t)5u(t)dt; (3.29) 'о 521 (и; 5и) = 5a' ('1)фаа (я ())5a ('1) + 5z ('1, x1) Gzz (z (, x1))5z ((, x1)t1 - J [5a' (t )Mflfl (t) 5a (t) +2 5u' (t )MBa (t) 5a (t) + 5и' (t )MUU (t) 5и (t)] dt + 'o t1 x1 +JJ [5z' (t, x) Hzz (t, x) 5z (t, x) + 5z' (t, x) H^ (t, x) 5zx (t, x) + '0 x0 +5zx (t, x) Hzz (t, x) 5z (t, x) + 5zx (t, x) Hz^ (t, x) 5zx (t, x)] dx dt. (3.30) 4. Необходимые условия оптимальности Для оптимальности допустимого управления u(t) в рассматриваемой задаче необходимо, чтобы соотношения t1 J M'u(t )5м (t )dt = 0; (4.1) t0 5a' ('1 ) Фяя (a ('1)) 5я ('1) + 5z ('1, x1) Gzz (z ('1, x1))5z (^ x1)t1 - J [5a' (t )Maa (t) 5a (t) +2 5u' (t )Mua (t) 5a (t) + 5u' (t )Muu (t) 5u (t)] dt + t0 '1 x1 +JJ [5z' (t, x) Hzz (t, x) 5z (t, x) + 5z' (t, x) HZZx (t, x) 5zx (t, x) + '0 x0 +5zx (t,x)Hzz (t,x)5z(t,x) + 5zx (t,x)Hz^ (t,x)5zx (t,x)]dxdt > 0. (4.2) Соотношения (4.1), (4.2) являются неявными необходимыми условиями оптимальности первого и второго порядка соответственно. Из (4.1) по известной схеме (см., напр., [15, 16]) получается аналог уравнения Эйлера [15]. Теорема 4.1. Для оптимальности допустимого управления u(t) в рассматриваемой задаче необходимо, чтобы для всех Qe[t0, t1) выполнялось соотношение Mu (е) = о, (4.3) где 9e[t0, t1) - здесь и в дальнейшем произвольная точка Лебега (правильная точка) (см., напр., [16-18]) управления u(t). Необходимое условие оптимальности (4.3) есть аналог уравнения Эйлера и представляет собой необходимое условие оптимальности первого порядка. Определение 4.1. Каждое допустимое управление u(t), являющееся решением уравнения Эйлера, назовем классической экстремалью. Ясно, что оптимальное управление (если оно существует) находится среди классических экстремалей. Для сужения множества классических экстремалей надо иметь необходимые условия оптимальности второго порядка. С этой целью будем использовать неявное необходимое условие оптимальности второго порядка (4.2). Решение задачи (3.24), (3.25) допускает представление (см., напр., [10, 19]) t 5а (t) = J F (t, т)gu (т)5и (т)^т, (4.4) 'о где F (t, т) (n х n) - матричная функция - решение задачи Ft(', т) = F (t, т) gu (т) , F (t, t ) = E (E (n х n) - единичная матрица). Далее решение краевой задачи (3.26), (3.27) допускает представление [20] t 5z (t, x) = j R (t, x; Т, x0 )[5a (т)- fz (т, x0 )5a (т) dт , 'о где R (t, x; т, s) есть решение интегрального уравнения: t x R (t, x; т, s) = E + JJr(t,x;a,p) f2 (a,p)dadp + Т s t x +J R (t, x; a, s)fz (a, s)da + J R (t, x; т, p) (т, p)d p. Т s Принимая во внимание (4.4), из (4.5) имеем t 5z (t, x) = J R (t, x;Т, xo )[ga (т) 5а (т) + gu (т)5u (т)- fzx (т, xo )5u (т)] dт . (4.5) 'о Полагая L ( x, Т) = R ( x;Т, xo ) [ga (Т) - fzx ( x0 )] , представление (4.5) записывается в виде t t 5z (t, x) = J R (t, x;Т, x0 )gu (t)5u (T)dТ +J L (t, x,т)5а (c)dт . (4.6) J L (t, x, т) F (т, s) gu (s)5u (s) ds d т = 5z(t,x) = JR(t,x;Т,x0)gu (t)5u (T)dТ +J J J L (t, x, s) F (s, т) ds gu (t)5u (т) dт +JR (t, x;т, xo )gu (t)5u (T)dт. (4.7) Далее, с учетом представления (4.4) будем иметь Введя обозначения t Q (t, x, т) = J L (t, x, s )F (s, x)ds + R (t, x; Т, x), т представление (4.7) записывается в виде t 5z (t, x) = J Q (t, x, т) gu (т)5и (T)dт . 'о Из (4.9) следует, что t 5zx (', x) = J Qx (', x, Т) gu (Т) 5u (Т) dТ. 'о При помощи представления (4.4) доказывается, что 5а'('l )фаа (а ('1 ))5а ('1 ) = '1 '1 = JJ5u'(T)gu (t)F'('1,т)Фаа (а('1 ))F(т,s)gu (s)5u (s)dsdT ; 'о 'о J5u'(t)Mua (t)5а(t)dt = JJ[5u' (т^ (т)F(т,t) dт]gu (t)5u (t)dt; 'о 'о 'о t1 (4.8) (4.9) (4Ю) (4.11) (4.12) J5а'(t)Маа (t)5а(t)dt = dt = V 'о J J F(t,т)gu (т)5и(т)dТ Маа (t) JF(t,s)gu (s)5m(s)ds V 'о = JJ5u'(T)gu (t)J J F'(t, т)Маа (t)F (t, s)dtJ gu (s)5u (s)dsdT. (4.13) 'о 'о [max(т s) J Далее, используя (4.9), (4.1о), получаем, что 5z ('1, x1) Gzz (z ('1, x1 )) 5z ('1, x1) = '1 '1 = JJ 5м' (т) gu (т) Q' ('1, x, т) Gzz (z ('1, x1)) Q ('1, x, s) gu (s )g« (s) ds d т; (4.14) "1 '-1 JJ5z'(t,x)Hzz (t,x)5z(t,x)dxdt- Г '1 Г '1 Л dxdt = (4.15) = J J 5'u (T)gu (т)] J J Q'(t, x,%)Hzz (t, x)Q(t, x,s)dxdtJgu (s)5u (s)dsd т; 'о ^ lx0 max(T,s) J JJ Jq (t, x,T)gu (т)5и (T)dT Hzz (t, x) Jq (t, x, s)gu (s)5« (s)ds Ч ~1 JJ 5z '(t, x)Hz^ (t, x)5zx (t, x)dxdt~- Г '1 л dxdt = ,r '1 = JJ Jq(t,x,T)gu (т)5и(T)dT HZZx (t,x) JQx (t,x,s)gu (s)5u(s)ds = JJ5'w(T)gu (t)]J J Q'(t,x,x)Hz^ (t, x)Qx (t,x,s)dxdt\gu (s)5u(s)dsdv, (4.16) 'о x0 Jx0max (T,s) J '1 x1 J J 5zx (t, x)Hzz (t, x)5z (t, x)dxdt = '1 x r '1 1 r '1 = JJ JQx (t, x,T)gu (т)5и (T)dT HZxZ (t, x) Jq (t, x, s)gu (s)5u (s)ds л dxdt = = JJ5'M (T)gu (t)JJ J Qx (t, x,t)H zxz (t, x)Q(t, x, s^dxdt Jgu (s)8« (s)dsdT; (4.17) 'о x0 [x0max(T,s) J '1 x1 J J 5zx (t, x)Hzz (t, x)5zx (t, x)dxdt = '1 x1 r '1 1' Г '1 = JJ JQx (',x,T)gu (т)5«(T)dT Hzxzx (',x) JQx (',x,s)gu (s)5«(s)ds Л dxdt = = JJ 5'u (T)gu (т)] J J Q'x(t, x,t)H zxzx (t, x)Qx (t, x, s)dxdtJgu (s)5u (s)dsd т. (4.18) 'о x0 lx0 max(т,s) J Пусть K (т, s) (n х n) - матричная функция, определяемая формулой K (т, s) = -F'('1, т) Фаа (а ('1)) F ('1, s) + t1 + Q'(t1, x1, т) Gzz (z ('1, x1 ))Q ('1, x1, s)- J F'(t, т)Маа (t)F (t, s) dt + max (т, s) x1 '1 (4.19) + J J [Q'(t, x, т) Hzz (t, x)Q (t, x, s) + Q'(t, x, т) Hzzx (t, x)Qx (t, x, s) + x0 max(T, s) +Qx (t,x,т)Hzxz (t,x)Q(t,x,s) + qx (t,x,т)Hzxzx (t,x)Qx (t,x,s)]dxdt. Матричная функция K (т, s), определяемая формулой (4.19), является аналогом матричных функций, введенных в работах [21, 22], а также используемых для исследовании особых управлений и вывода необходимых условий оптимальности для различных классов задач оптимального управления (см., напр., [11]). С учетом (4.19) и тождеств (4.11) - (4.18) неравенство (4.2) записывается в виде h h JJS'u(x)g'u (t)K(t,s)gu (s)Su(s)dsdT + gu (t)Su (t)dt + js'u (t)Muu (t)Su(t)dt < 0. (4.20) |s'u (t)mu. (t)f(t,t)dt +J t, Сформулируем полученный результат. Теорема 4.2. Для оптимальности классической экстремали u (t) в рассматриваемой задаче необходимо, чтобы неравенство (4.20) выполнялось для всех 5u (t) е Rr, t e T . Неравенство (4.20) есть необходимое условие оптимальности второго порядка, выраженное непосредственно через параметры задачи (2.1) - (2.6), и носит довольно общий характер. Из него, используя произвольность вариации 5u (t) управления u (t), можно получить относительно легко проверяемые необходимые условия оптимальности, в частности аналог условия Лежандра - Клебша. Пусть 0 e[t0, tj) - произвольная точка Лебега управления u (t), v е Rr - произвольный вектор, а ц > 0 - произвольное достаточно малое число, такое, что 0 + ц< t1. Вариацию 5u (t) управления u (t) определим по формуле , , fv, t е[0,0 + ц), 8uu (t) = •! L r ' (4.21) ц W [0, t e T\[0,0 + ц). Принимая во внимания (4.21), в неравенстве (4.20) получим цv 'Muu (0)V + о(ц)< 0. Следовательно V 'Muu (0)V < 0. (4.22) Теорема 4.3. (Аналог условия Лежандра - Клебша) Для оптимальности классической экстремали u (t) в задаче (2.1) - (2.6) необходимо, чтобы неравенство (4.22) выполнялось для всех 0e[t0, t1), v е Rr. Как видно, проверка аналога условия Лежандра - Клебша относительно легче. Но «платой» за это является то, что условие оптимальности (4.22) может вырождаться. Определение 4.2. Классическую экстремаль u (t) назовем особым в классическом смысле управлением, если v 'Mm (0)v = 0, (4.23) для всех 0e[t0, t1), v e Rr. Считая u (t) особым в классическом смысле управлением, его специальную вариацию определим по формуле 5^ (t) = £5u (t, ц; 6г, li, v,.). i=1 Здесь m - произвольное натуральные число; 9. e[t0, t1), i = 1, m, произвольные правильные точки управления u(t), удовлетворяющие условию t0

Скачать электронную версию публикации