Two-dimensional non-autonomous hyperbolic equation of the second order with power-law nonlinearities.pdf Одним из важнейших направлений современной математической физики является получение точных решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, развитие известных и создание новых методов их нахождения. При этом большое внимание уделяется исследованию уравнений со степенными нелинейностями [1-7]. Большинство известных результатов для этого класса задач уравнений получены для автономных уравнений. В то же время, потребности развития теории, а также практических приложений требуют исследования неавтономных уравнений, прежде всего для изучения неоднородных и нестационарных физических процессов. Целью настоящей работы является исследование неавтономного гиперболического уравнения второго порядка, содержащего степенные функции первых производных. При этом использован метод функционального разделения переменных [1, 2, 8, 9], известный как один из наиболее эффективных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. (1) В уравнении (1) P12 е R - заданные параметры, g(u), f (х, у) - заданные функции. Частный случай f (х, у) = 1, когда уравнение (1) является автономным, рассмотрен в [3]. В данной работе будем искать решения уравнения (1) методом функционального разделения переменных [1, 2, 8]. Возможность разделения переменных в уравнении (1) и общий вид решения определяется следующей теоремой. 1. Постановка задачи. Теорема о функциональном разделении переменных Рассмотрим следующее нелинейное уравнение в частных производных второго порядка относительно неизвестной функции u(х, у): Теорема 1. Для того чтобы уравнение (1) допускало функциональное разделение переменных вида u(x,y) = U (z), z = X(x) + Y(y), (2) необходимо и достаточно, чтобы функцию f (x, y) можно было представить как f (x, y) = [X'(x)]1-P1 [Y'(y)]1-в2 Ф(z), (3) причем X(x), Y(y) - произвольно заданные, дважды дифференцируемые функции, Ф(z) - произвольная функция; а функция U (z) должна удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ): U"(z) - g (U(z)) [U'(z)] Ф(z) = 0, pz = pi + p2. (4) Доказательство. 1. Необходимость. Пусть уравнение (1) имеет решение вида (2). Подставив это решение в уравнение (1), получаем f (x, y) [X'(x)f1 -1 [Y'(y)]2-1 = Ф(z), (5) где Ф(z) определяется выражением Ф(z) = U''(z) lB , Pe=P: +P2. (6) g (U (z) )[U'(z) ] Из (5) и (6) следует, что функция f (x,y) должна быть представима в виде (3), а функция U (z) должна удовлетворять уравнению (4). Необходимость доказана. 2. Достаточность. Пусть функцию f (x, y) можно представить в виде (3) для произвольных дифференцируемых функций X(x), Y(y). Подставив функцию (2) в уравнение (1), получаем для функции U (z) уравнение (4). Достаточность доказана. 2. Решения типа бегущей волны В данном разделе рассмотрим некоторые частные решения уравнения (1) для случая, когда X(x) = с1 x, Y (y) = c2y. Тогда, согласно теореме 1, уравнение (1) имеет решение вида u(x,y) = U (z), если f (x,y) = с11-в1 с21-в2Ф(z), причем в данном случае z = с1 x + c2y. Пусть также g(u) = g0uY, Ф(z) = zя . (7) Для функций вида (7) уравнение (4) сводится к обобщенному уравнению Эмдена - Фаулера. В справочнике [10] приведены общие решения этого уравнения для ряда значений параметров, при которых уравнение разрешимо. В данной работе рассмотрим частные решения, которые существуют при произвольных значениях параметров, кроме специальных случаев, указанных ниже. 1) Степенное решение: u(x,y) = U0za . (8) Подставляя функцию (8) в уравнение (4) и учитывая (7), находим 1 PE-X-2 tt _[ (CT-1)CT1-Pe )Pe+T-1 -, U0 -^-\ . (9) Pi+Y-1 0 1 f Решение вида (8) приведено также в [10, с. 279]. На основании выражений (9) укажем некоторые значения параметров, при которых степенное решение не существует или вырождается в тривиальное. а) При PE + y = 1 решение не существует; б) при X = -y -1 (ст = 1) возможны две ситуации: - если pe + y -1 > 0, то решение вырождается в тривиальное; - если pe + y -1 ^ 0, то решение не существует; в) при X = PE - 2 (ст = 0) также возможны две ситуации: 1 -рЕ - если--- > 0 , то решение вырождается в тривиальное; pE+y- 1 1 -рЕ - если--- < 0 , то решение не существует. pE+y- 1 2) Логарифмическое решение: u(х,у) = U0ln|z\. (10) Будем предполагать, что y = 0 , т.е. g(u) = g0. Подставляя (10) в уравнение (4), находим, что это решение существует при выполнении условий X = PE - 2, PE Ф1, при этом U0 определяется выражением U0 = (-g0)1-PE . 3) Экспоненциальное решение: u (х, у) = U0 exp^z). (11) Для данного случая предполагаем, что g(u) = g0uY, Ф(z) = exp(Xz). (12) Подставляя (11) в уравнение (4) и учитывая (12), находим: - если PE + y -1Ф 0, X Ф 0, то 1 X (ст2-РЕ ^ (13) ст = -• U 0 = 1 -PE -Y - если PE + y -1 = 0, X = 0 , то U0, ст - произвольные, но при этом решение су- 2-ВЕ ществует только при выполнении условия g0 =ст РЕ ; - если PE + y -1 = 0, X Ф 0, то решение не существует. Рассмотрим решения типа бегущей волны при особых значениях параметров. При анализе решений (8), (11) было показано, что указанные решения не существуют в случае, если pe+y-1 = 0. (14) Рассмотрим решение для данного случая, предполагая, что Ф( z) - произвольная функция, а g(u) определяется первой из формул (7). С учетом (14), уравнение (4) можно переписать в виде ^ = g 0 Г Ш TV). (15) U'(z) 0 Г U(z) ) Для уравнения (15) можно понизить порядок с помощью замены переменной w( z) = UM. (16) U (z) Подставляя (16) в уравнение (15), получаем уравнение первого порядка w'(z) + [w(z)]2 = g^(z) [w(z)]1-Y . (17) Приведем решения уравнения (17) для некоторых значений Y. а) при y = -1 (17) сводится к уравнению с разделяющимися переменными, решение которого имеет вид w( z) =--L-. (18) z - zq + g0 J Ф(z)dz Из (16), (18) получаем решение уравнения (4): U(z) = Uq exp [-J--I, (19) I J z - zQ + gQ^(z) J где z) = |ф(z)dz ; UQ, zQ - произвольные постоянные. б) при y = 0 (17) сводится к уравнению Бернулли w'( z) = goФ (z )w( z) -[w( z )]2. (20) Решая уравнение (20) и учитывая соотношение (16), находим U (z) = U Q exp Qf(z)dz j. (21) [J C + |Q(z)dz J Здесь Q( z) = exp {gQ J Ф( z )dz}. Рассмотрим случай X = PE - 2, при этом предполагаем, что g (u) - произвольная функция, а Ф^) определяется второй формулой (7). Тогда уравнение (4) сводится к однородному уравнению z 2U" (z) - g (U (z) )[zU' (z )]fe = 0. (22) Выполнив в уравнении (22) замену переменной z = exp(q), преобразуем его к автономному уравнению: U" (q) - U' (q) - g (U (q) ) [U' (q)]Pl = 0. (23) Пусть PE = 1. Тогда решение уравнения (23) в неявном виде определяется формулой dU q-qQ = 1-. (24) 0 JU + G (U) + A Возвращаясь к переменной z , решение (24) можно привести к виду (с dU Л z = zQ exp I I-I. (25) 0 U + G(U) + A) произвольные постоянные. В формулах (24), (25) G(U) = J g (U )dU; qQ, zQ, A 3. Другие частные решения В данном разделе будем рассматривать решения более общего вида. Теорема 2. Пусть f (х, у) =Ф( х) у), (26) где ф(х), у) - некоторые заданные функции, g(u) определяется первой из формул (7). Тогда уравнение (1) имеет решения следующего вида: 1) при PE +y- 1Ф0 : u( х, у) = ^ст qq К х) П( у), (27) где [ [ф( х)]ст при P1 = 1, К/[ф( х)]^(1-Р1) ёх + С0} при P1 Ф1; К х) = (28а) [V у) ] при P2 = 1, при P2 Ф1; (28б) ст(1 P2) п( у)=• (((у)ёу + D0} 1 при P, = 1, ^ (1-P,) при P, Ф 1 1 -pe-y ст(1 -P,) D0 , С0 - произвольные постоянные; 2) при pe+y- 1 = 0: u(х,у) = u0 §(х)п(у), (30) где §(х) = exp(x1/(1-P1) {[ф(х)]^(1-?1) ёх}, (31а) П(у) = exp(X1/(1-P2)/[ч/(у)]1/(1-P2) ёу}. (31 б) Выражения (31а), (31б) справедливы при P1 Ф1, P2 Ф1 соответственно. При P1 = 1 х) - произвольная функция при условии ф(х) = const , в противном случае данное решение не существует. Аналогично, при P2 = 1 п(у) - произвольная функция при условии у(у) = const, в противном случае данное решение не существует. В выражениях (30),(31а,б) u0, X1, X2 - произвольные постоянные, причем X1, X2 связаны соотношением X1X 2 = g0 . (32) Доказательство. При условиях теоремы 2 решение уравнения (1) ищем в виде u( х, у) = u1( х) u2( у). (33) Подставляя выражение (33) в уравнение (1), с учетом (26) и первой из формул (7), приводим (1) к виду (29) Я, = u 0 2-Pe [u1(х)]1-* х)]-1^2 КС)]1-"2 Ыу)]-1^1 ф( х) V(у) Левая часть уравнения (34) представлена в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от x , а другой от y . Поэтому, используя известную схему разделения переменных, получаем уравнения для функций u1 (x), u2(y): (x)]1-e1 [u,(x)]-Y-P2 =X [u'2(y)]1-P2 [u2(y)]-Y-P1 (35) ф( x) 1 y) 2 где Xj, X 2 - некоторые постоянные, связанные соотношением (32). Для дальнейшего анализа уравнения (35) перепишем в виде (x)]1 x)]5-01 = Х1ф(x), [u2 (y)]02 [u2(y)]5-02 = X2y(y), (36) где 5 = 1 - Pi - y , 0* = 1 - Pi (i = 1,2). Рассмотрим возможные частные случаи для первого уравнения (36). Случай 1. 5 Ф 0 . а) 01 Ф 0 (Р1 Ф1). Решение первого уравнения (36) u1 (x) = Vj 1 {J [ф(x)]01 dx + Со} ; б) 01 = 0 (Р1 = 1). Тогда из (36) u1 (x) = [Х1ф(x)]a (здесь учтено, что ст = ^5). Случай 2. 5 = 0 . а) 01 ф 0 (Р1 ф 1). Решая первое уравнение (36), находим u1(x) = u10 exp {XV01 |[ф(x)]101 dx}; б) 01 = 0 (P1 = 1). Тогда первое уравнение (36) принимает вид Х1ф(x) = 1. Этому уравнению удовлетворяет произвольная функция u1 (x), при условии, что ф(x) = 1/X1 = const. Решение второго уравнения (36) полностью аналогично. Используя полученные выражения для u1 (x), u2 (x) и подставляя их в (26), после элементарных преобразований находим решения (27) - (30). Теорема доказана. Приведенная ниже теорема определяет условия существования обобщенных автомодельных решений уравнения (1). Теорема 3. Уравнение (1) имеет обобщенное автомодельное решение вида u(x, y) = Xq (x)U(z), z = yX(x), (37) только в том случае, если выполнены условия Xq(x) = ao [X(x)]X, f (x,y) = fo [X(x)]X°-Pl)+P1 -в2 [X'(x)]1-P1 Ф(z), (38) где aQ,X - некоторые постоянные, а Ф(z) - некоторая произвольная функция. При этом функция U(z) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению: + X+ zU^+ze1 ) = Q.

Скачать электронную версию публикации