Calculation of a power-law fluid flow in a single-screw extruder.pdf При формовании изделий из высоковязких полимерных композиций одним из важнейших элементов технологической оснастки является экструдер, с помощью которого осуществляется транспорт перерабатываемой массы в пресс-форму. Кроме этого, экструдер выполняет роль шнекового смесителя. Экструзионной переработке полимеров посвящена обширная литература. Наиболее полными можно считать работы [1-4]. Помимо этого постоянно появляются исследования более частного характера [5-8]. Внимательный анализ состояния исследований показывает, что в настоящее время нет устоявшейся методики расчета процесса экструзии. Используются либо подходы со значительными, иногда неоправданными упрощениями, либо исследования носят общетеоретический характер и используют трудно воспроизводимые методы. В настоящей работе используется подход, основанный на применении многократно проверенных физических предположений 0 характере сложного движения экструдируемого материала и в то же время учитывающий максимальное количество факторов, определяющих процесс. Такой подход представляется наиболее перспективным для создания модели процесса экструзии, адекватно описывающей поля давлений, напряжений, вязкости и температур и позволяющей создать эффективные прикладные программы, работоспособные в максимально широком диапазоне определяющих параметров. Математическая постановка задачи Рассматривается течение полимерной среды в канале шнека экструдера. Предполагается, что корпус материального цилиндра выполнен с гладкими стенками. При математической формулировке задачи считается применимым приближение ползущего течения, что основывается на малости характерных чисел Рейнольдса для данного типа течений [1]. Полимерную среду будем считать неньютоновской жидкостью, подчиняющуюся степенному реологическому закону. Учтем, что наряду с продольным течением реализуется циркуляционное поперечное движение экструдируемой массы. Будем рассматривать обращенное движение: шнек считается неподвижным, а движется корпус экструдера. Данное предположение часто используется при моделировании течения в экструдере [4]. Систему координат расположим как на рис. 1. Здесь: S - ширина канала шнека; Н- его глубина; х - координата, направленная вдоль канала, у - поперек канала; z -по высоте канала. Все остальные обозначения (для составляющих скорости, давления, напряжений и т.д.) являются общепринятыми. Предполагается, что боковые стенки не оказывают влияния на течение (S/Н > 3 [9]) и нет утечек через гребни шнека. По направлениям х и у действуют градиенты dp!dx и dp/dy. Тогда: v, =0, vy=vy{z), vx=vx(z), p=p(x,y). Уравнения движения при этих предположениях приобретают форму Рис. 1. Область решения Fig. 1. Solution region dx. d х. dp дх dp sv" (1) dz dz Уравнение неразрывности вырождается, так как dvr dv dv, -- = 0, -- = 0, -- = 0. dx dy dz Второй инвариант тензора скоростей деформаций запишется в виде \2 (2) Выражение для вязкости запишется следующим образом: и-1 (dv у fo'х dz = в ^= 2 h- 'SO 2 , & J I ,dz J и-1 2 С учетом вида компонент тензора напряжений V = rI" dz dz и уравнений (1) получаем n-1 2 dvr dvv _У_ dz d , dz dp dx' dp В + I dz dz n-1 2 dv^ dz dv,, _y_ dz В + I dz d_ d: dp dp Введем обозначения - = А1, - = А2. В результате интегрирования первого dx dy уравнения системы (1) имеем \diXz=\Adz> -с» (г) = (Zj) - Д Z!} + Дг. В соответствии с [1], постоянную txz(z1)-A1z1 выберем равной txz(z1)-A1z1 = где Сх = const, т.е. тxz(zl)=Al(zl-ClH). Преобразовав соответствующим образом второе уравнение (1), получим сис (3) тему т xz(z) = Al(z-ClH\ t(z)=A2(z-C2H). ■yz V- / 2 У1 w2 Введем следующие безразмерные переменные: е Z Vx УУ А2 dp/dy £ = - (0 < £ < 1), V, =-, v9 =-, a= - = ' , Н ' 1 VB 5 VB Д dp dx тогда n-_1 dz (dv, dv„ т„„ =B , + dz J ^ dz % Vv2 у 2 JVj н"- 1н UJ 1 dvx Л f dv2 n-1 BV" 2 ^ = d% 1 A,HK Здесь VB - скорость корпуса в обращенном движении. VB( В вув" Н"+1А} ,тогда а = - Следуя [1], введем обозначение а = Я ЯД dv j Y f dv2 rffj +wi~ ! ^ = S-c„ d% 1 Для второго уравнения (3) соответственно будем иметь п-1 ' dv, У ( dvn л2 1 1 + z 2 dv 2 d% а a (5) d%) \d% dv, dv7 Из (4) и (5) можно получить соотношения для -L и -- . Для этого поделим (4) dd на (5): d^J % - Cj Л с Здесь учтено, что а = -2- - и а = -- от t, т.е. от z не зависят, так как нУЩ) Л р = р(х,у). Обозначим расход на единицу ширины канала Q , следовательно, в безраз- Q 1 мерном виде qx = --- = I \\d\ . Тогда, используя (8), VBH 0 = 4 rv * Последнюю формулу можно упростить с помощью следующего соотношения: 1 Гх 1 1 Г1 1 1 J \f(y)dy dx = \ \f(y)dx dy = \f(y)(\-y)dy, тогда «^-Гч/й-соа-^. a i Аналогично для безразмерного расхода в поперечном (оси у) направлении q2 будем иметь rv * Выпишем полученную систему уравнений (9) ao i ГУ J if^-Q^O, ао 1 -|V(l-c2)^ = o, a J а о 1-й Ч/ = [й-С1)2+а2й-С2)2р. (П) (12) Здесь 1 1 Я (Я a _А2 Н (Н я 4" » 5 /Г-1 V У и _ /f 4 4 = ---А В А" V л\ У а 4 КД 5 а Зная неизвестные a, а, С], С2, можно найти . I,. А2. Метод решения Для решения системы нелинейных уравнений (9) - (12) используется метод Ньютона. Перепишем систему, введя новые, более удобные для последующего решения, обозначения неизвестных. Пусть = 1 /а . у2 = а/а , тогда а = у2/ух, у3 = С], у4 =С2 и система примет вид: у^^-УзШ-Ж-ч^о, 0 1 0 1 0 1 1-й In ц> = У{ В общем виде систему уравнений можно представить в форме МУ}) = 0, (f1(yl,y2,y,,y4) = Q),i,j = \ + 4. Приращения (дифференциалы) функций f] записываются в виде df, дУ] например: df df df df df =^dyx +-p-dy2 +^Ldy3 +^dy4. дух ду2 dy3 ду4 В конечно-разностном виде имеем \(k) ■да _ f-l (>Г'-УП Так как должно быть f^k+l) = 0, y\K+i> -yf> = Ay' j (я/- \(к) Ml ду, i,да1). „(к) _ Л1,да 1) то В результате решения полученной системы будет найдено значение Ау' ,(к+1) а j/J®1 > 6 (е - малое положи (к+1) _ (к) ,(к+1) = у[Г- ау следовательно, и у и т.д., пока тельное число). Вычисление производных осуществляется по формулам jik+\) _j-(k) yf+1)-yf ' \ J ] J Таким образом, алгоритм метода решения состоит из следующих действий: I. Задаются начальные значения: к = 0, ук (т.е. ук . ук • >'.'' • >4 )• II. Вычисляется матрица Якоби % aa = -, ',j = 1-4 следующим образом: 1. Вычисляется f^ = f^ (у?\у™ ,у*\у™),/=П. 1а. Если условие тах|_/^| < с выполняется, то решение найдено, иначе происходит переход к следующему пункту. Г я/- Л(к) 2. Вычисляется f(k) = J a ',7=1,4, где h - малое положительное число (h = 0.001). 3. Вычисляется матрица Якоби \{k) Ak) _ fk J ii J i Ml k^jj a(k) = v Kj = 1,4. III. Решается система . V. Переходим к пункту I. В результате решения системы уравнений получаются значения следующих величин: ух = 1/а , у2 = a/a , уъ=Сх, у4 =С2. Изложенная теория учитывает наличие циркуляционного течения в канале шнека экструдера и неньютоновские свойства перемещаемой среды. В литературе подходы такого типа характеризуются как «сложный сдвиг», в отличие от «простого сдвига», не учитывающего наличие течения поперек канала. Вычисление температуры расплава вдоль канала экструдера Предположения относительно гидродинамики прежние (сложный сдвиг): =0,vy= vy(z), vx = vx(z), p = p(x,y). Область решения для вычисления температуры и граничные условия показаны на рис. 2. Я Тн А Z . VB cos ф w О * Рис. 2. Область решения для расчета температуры Fig. 2. Solution region for the temperature calculation (13) В предположении пренебрежимо малой теплопроводности в направлении х (д6Т/дх2 =0) и того, что Т =T(x,z) (т.е. по у происходит выравнивание температуры за счет циркуляции), уравнение переноса тепла с учетом вязкой диссипации можно записать в виде: дТ „ д2Т ^ pcv - = Х - + Ф, дх dz л h J2 Ф = л-, - dz dz Эффективная вязкость тогда и-1 n-Bi^ Ф = г\- = В\ 2 12 И+1 2 n+1 2 W-1 ( dv, У dVX dz = в (14) + - ^ dz Функция Ф представляет собой количество тепла, выделяемого в потоке за счет вязкой диссипации. Условие на входе в канал шнека экструдера для уравнения (13): х = 0, 7\0,z) = TH, l< z < Н. Граничные условия на стенках канала имеют вид T(x,0) = Tw, T(x,H) = Tw. Выберем в качестве безразмерных переменных величины _ vx _ уу Уравнение (13) в безразмерных переменных с учетом (14) примет вид и+1 рCVB 8Т X d2T VB" -v, -=----- + d- L дг\ Н дН" ( dv7 dvl ~d\ + - I В результате умножения полученного уравнения на Н2/х будем иметь и+1 /П+1 dvj ~d\ ±2 п (15) рсУвН2 у дТ _ д'Т | в Ув XL 1 Sri дХН"-1 Введем следующие обозначения. Пусть Gr = pcVBH /XL - число Гретца, Br = BVB+l ГШП~1 AT - число Бринкмана ( AT = TW-TH ), тогда Щ =BVB+l/ХН"~1 (°С), т.е. Вгг=ВгД7\ С учетом введенных обозначений, уравнение (15) примет вид и+1 ^ дТ д1Т „ Grv, - =--ь Вгг 1 дг\ т ^ дТ dLT ^ Grv, - = -- + Ф. дг\ д -|(и+1)/2 Г 2 2 ~|( и пусть для сокращения записи Ф = Вгг \[dvl I d^) + (d\>2/ dt) .Тогда при ходим к уравнению г)Т г)2Т (16) Для решения уравнения теплопроводности (16) применяется маршевый метод, использующий алгоритм прогонки. Результаты Для расчета течения степенной жидкости в одношнековом экструдере были выбраны следующие геометрические, реологические и теплофизические параметры: длина экструдера L = 250мм, ширина канала шнека S = 30мм, глубина канала шнека Н = 10 мм, угол наклона нарезки ф = 17°, число заходов / = 1, коэффициент консистенции В = 1-Ю4 Па -с, коэффициент теплопроводности X = 0.1 Вт/(м • К), коэффициент теплоемкости с = 800 Дж/(кг • К), плотность материала р = 1000кг/м3. Начальная температура поступающего в экстру дер материала Тн = 20 °С . Температура стенок 7и = 100 °С. Скорость поверхности корпуса экструдера в обращенном движении принималась равной VB = 0.07 м/с. Производительность экструдера 30 кг/ч. Jdv2 [dS, \2 dvl ~dE, На рис. 3 показаны профили продольной, поперечной и осевой составляющих скорости при различных значениях показателя нелинейности п . При выбранной геометрии канала шнека профиль продольной составляющей скорости Vj (рис. 3, а) не имеет участка отрицательных значений и близок в данном случае к линейному. Наличие циркуляционного течения поперек канала шнека приводит к тому, что частицы расплава движутся по винтовым траекториям от входа в экструдер к его выходу. Этот факт следует из рис. 3, с. Во-первых видно, что транспортировка расплава осуществляется по всей глубине канала шнека в одном направлении: от входа к выходу. Во-вторых, нарастание нелинейности реологических характеристик расплава приводит к смещению профиля скорости к поверхности корпуса. Рис. 3. Профили продольной (а), поперечной v2 (Ъ) и осевой V/ (с) составляющих скорости для различных значений показателя нелинейности п. 1 - 1.0,2 - 0.6,3 - 0.4 Fig. 3. Profiles of the (a) longitudinal vb (b) transverse v2i and (c) axial vt velocity components at different power-law indices: n = {1) 1, (2) 0.6, and (3) 0.4 Распределение давления и средней температуры вдоль канала шнека экструде-ра при различных показателях нелинейности в степенном реологическом законе представлены на рис. 4. Рост аномалии вязкости приводит к уменьшению градиентов давления и температу ры и их абсолютных значений. Рис. 4. Изменение давления (а) и средней температуры (Ь) по длине канала шнека экструдера для различных значений показателя нелинейности, п. 1 - 1.0., 2 - 0.6,3 - 0.4 Fig. 4. Variation in (е.) pressure and (b) average temperature along the screw extruder channel at different power-law indices: n = (/) 1, (2) 0.6, and (3) 0.4 Заключение Разработана физико-математическая модель неизотермического течения реологически сложной среды в канале шнекового экструдера с учетом наличия циркуляционного движения. При этом используется геометрическая модель двух движущихся пластин и рассматривается обращенное движение: шнек считается неподвижным, а корпус вращающимся. В результате, в предположении заданного расхода, получены четыре нелинейных уравнения, описывающих течение. Для их решения предложено использовать метод Ньютона, для которого разработан алгоритм численной реализации. Уравнение теплопроводности, позволяющее рассчитывать изменение температуры вдоль канала шнека, используется с учетом тепловыделения за счет вязкого трения. Приводится пример расчета течения степенной жидкости для различных значений показателя нелинейности.

Скачать электронную версию публикации