Application of the nonline-ar theory of elasticity and similarity method for assessment of the metallic jersey deformati.pdf Металлотрикотажные сетеполотна (металлотрикотаж - трикотаж из микропроволок) в настоящее время широко используются в качестве отражающей поверхности (ОП) трансформируемых космических антенн [1]. Для создания высокого коэффициента отражения электромагнитных волн размер ячеек в сетеполот-не должен быть в 15-20 раз меньше длины волны. С увеличением частоты электромагнитной волны уменьшается длина волны и соответственно необходимо использовать сетеполотна со все меньшим размером ячеек. Естественно ожидать, что с уменьшением размера ячеек при том же диаметре микропроволоки и том же ее материале должны увеличиваться жесткость сетеполотна и усилия, необходимые для его растяжения. Уменьшить усилия можно, уменьшая жесткость полотна, которая зависит от диаметра и материала проводников. Однако как количественно влияет на жесткость сетеполотна изменение этих параметров, неясно. Знание таких количественных зависимостей в виде формулы значительно облегчило бы подбор материала микропроволоки и ее диаметра для создания ОП с заданными свойствами. Получить эти зависимости можно было бы, используя для расчета деформации сетеполотен нелинейную теорию упругости, как это было нами сделано для некоторых сравнительно несложных структур [2-6], но для более сложных структур применить эту теорию пока не удается. Кроме того, имеется еще один недостаток использования этой теории - она не позволяет получить напрямую формулу зависимости деформационных свойств ме-таллотрикотажа от вышеуказанных параметров и их сочетания. Для получения указанных зависимостей необходимо провести очень большое количество расчетов при всевозможных сочетаниях этих параметров, а затем обобщить результаты. Этот процесс трудоемок и потому малоэффективен. В настоящей работе предлагается более простой метод. Коэффициент отражения (по мощности) электромагнитной волны с длиной волны X от тканевой сетчатой структуры с размером стороны ячейки а и диаметром проводника d определяется по формуле [7] Эта формула показывает, что коэффициент отражения в структурах типа ткани зависит от отношения длины стороны ячейки к длине волны и от отношения длины стороны ячейки к диаметру проводника. В металлотрикотаже в отличие от тканевой структуры имеется набор ячеек с разными длинами сторон ячеек, поэтому данная формула не годится для расчета коэффициента отражения электромагнитных волн от него, однако и для металлотрикотажа коэффициент отражения, очевидно, должен зависеть от указанных отношений. Пусть для длины волны X электромагнитных волн подобрана структура металлотрикотажа, обладающая нужным коэффициентом отражения. Известны материал микропроволоки, ее диаметр, удельное усилие и относительное удлинение металлотрикотажа при раскрытии ОП. Теперь необходимо уменьшить в п раз длину волны. Чтобы коэффициент отражения при том же относительном удлинении остался примерно прежним, вся структура сетеполотна (в том числе диаметр микропроволоки) должна быть также уменьшена в п раз, оставаясь подобной предыдущей. Если при этом диаметр проводника уменьшим более чем в п раз, то в соответствии с формулой (1) коэффициент отражения уменьшится, при уменьшении диаметра проводника менее чем в п раз, коэффициент отражения увеличится. Используя нелинейную теорию упругости и вышеупомянутый метод подобия, получили формулу, связывающую удельную нагрузку в исходном образце с удельной нагрузкой в образце с такой же, но уменьшенной структурой, с другим диаметром микропроволоки, изготовленной, к тому же, из другого металла. К сожалению, получить точное подобие исходной структуры при уменьшении ее размеров, диаметра микропроволоки и ее материала, как правило, не удается из-за изменения деформации микропроволоки при взаимодействии с вязальными органами трикотажных машин (иглы, платины, ушковины) [8]. Перейдем теперь к более подробному изложению метода. В трикотаже, а также и во многих других текстильных материалах, можно выделить сравнительно простой повторяющийся элемент, относительная деформация которого соответствует относительной деформации всего образца. Например, на рис. 1, а показана микрофотография металлического трикотажа, повторяющимся элементом в котором является элемент ABCD. Его аналогами будут элементы DCEF, FEKL и т.д. Деформация повторяющегося элемента и будет определять деформацию трикотажа. Как показал анализ микрофотографий металлического трикотажа, многие элементы петель нерастянутого трикотажа можно аппроксимировать сочетанием частей окружностей различного радиуса и отрезками прямых линий. Такая форма элементов петли может быть получена как вследствие упругой, так и вследствие пластической деформации при изготовлении трикотажа. Чтобы выяснить, в каком состоянии находятся элементы петли металлического трикотажа после его изготовления, мы препарировали структуры металлического трикотажа (выделяли один из столбиков). В качестве примера такого препарирования на рис. 1, б приведена микрофотография микропроволоки, выделенной (препарированной) из сетеполотна, микрофотография которого при том же увеличении показана на рис. 1, а. Сравнение микрофотографий 1, а и 1,6 показывает, что форма и размер петель мало меняются при освобождении микропроволоки от взаимодействия с другими микропроволоками в структуре трикотажа. Это указывает на то, что микропроволока в металлическом трикотаже пластически деформирована. То же самое имеет место и в других металлических сетеполотнах. Поэтому в дальнейшем при расчетах мы полагали, что элементы петли в нерастянутом металлическом трикотаже пластически деформированы и форма этой петли соответствует ее форме в нерастянутом трикотаже. Рис. 1. Трико, закрытое одногребеночное (сталь 050 мкм): a - взаимодействие элементов петельной структуры; б - выделенный петельный столбик Fig. 1. One-bar closed jersey (steel of 050 a'hu: (a) interaction of the eyelet elements and (b) separated wale Анализ микрофотографий двумерно деформированного металлического трикотажа также показал, что точки приложения сил к повторяющимся элементам при симметричной двумерной нагрузке (удельная нагрузка по горизонтали и вертикали одинакова) практически не перемещаются вдоль элементов петель. Следовательно, можно полагать, что силы при такой нагрузке приложены к одним и тем же точкам рассматриваемого элемента. Рассчитав относительную деформацию повторяющегося элемента, получим относительную деформацию всего образца. Поскольку микропроволока при деформации образца практически не растягивается, деформация полотна осу ществляется, в основном, за счет изгиба микропроволоки. Рассмотрим один из повторяющихся элементов в нерастянутом образце. Разделим его на несколько участков так, чтобы рассматриваемый участок имел во всех точках одну и ту же кривизну и чтобы при деформации образца сосредоточенные силы /о и /i и внешние изгибающие моменты М0, М\ при деформации образца были приложены только по концам 0 и 1 (рис. 2) рассматриваемого участка (они взяты с учетом действия отрезанных частей микропроволоки на участок 0-1), т.е. на участке отсутствуют распределенные силы. В силу этого из условия равновесия участка имеем - 0 или f0 = -f\. т.е. силы /о и fx равны по величине и противоположны по направлению, абсолютную величину этой силы обозначим через / Также равны по величине и противоположны по направлению моменты сил М0 и М, Нетрудно показать, что на концы остальных участков повторяющегося элемента должны действовать такие же силы и моменты, которые действуют на концы рассматриваемого участка повторяющегося элемента, т.е. они одинаковы для всех участков, на которые разбит повторяющийся элемент. Введем угол 5, отсчитываемый против часовой стрелки от направления силы/0 к оси X. Он для всех участков один и тот же и зависит от отношения величины удельных нагрузок, растягивающих образец по вертикали и по горизонтали. Начальную кривизну микропроволоки будем считать переменной по длине s повторяющегося элемента, но постоянной в пределах одного участка (s - это расстояние по микропроволоке от начальной точки повторяющегося элемента до рассматриваемой точки С). Рис. 2. Схематическое изображение одного из участков повторяющегося элемента Fig. 2. Schematic illustration of one of the repeating element regions Будем считать структуру плоской, тогда для каждого участка можно записать следующее так называемое основное уравнение нелинейной теории упругости [9]: d2Q/ds2 - d\/ds2 = -(f/H)sin(9+5). (2) Здесь 6 и 60 - углы наклона касательной к упругой линии в произвольной точке С к оси ОХ в деформированном и недеформированном состояниях рассматриваемого участка нити,/- величина силы, действующей на концы выделенного участка, Н - жесткость микропроволоки при изгибе. Производные dQ/ds и dQ0/ds определяют кривизну микропроволоки (величину, обратную радиусу кривизны) в данной точке в деформированном и в исходном состояниях. Производные d2Q/ds2 = d(dQ/ds)/ds и d2Q0/ds2 = d(dQ0lds)lds показывают, как быстро меняется первая производная (кривизна микропроволоки) по мере увеличения s. Так как в каждом рассматриваемом участке кривизна постоянна, то постоянна и величина dQ0/ds, вследствие чего производная d(dQ0/ds)/ds - 0 и уравнение (2) принимает вид d2Q/ds2 = -(/7//)sin(6+5). (3) Пронумеруем все участки в повторяющемся элементе и перейдем от s к безразмерной переменной х. Выберем ее так, чтобы на каждом участке она менялась бы в пределах от 0 до 1. В связи с этим для первого участка примем х = s/l| (в этом случае в начале участка s = 0 и х = 0, в конце участка s = l\, а х = 1), для второго -х = (s-/i)//2 (в начале участка .v - /,. х = 0, в конце участка s = l\+l2, т - 1). для третьего - х = (s - 1\ - /2)//;, (в начале участка .v - /, + /2. т - 0. в конце участка л' - li+l2+lз, т - I) и т.д. Здесь 5 - текущее значения величины 5 для каждого участка, /ь /2, /3,... - длина каждого участка. После небольших преобразований уравнение (3) для произвольного /-го участка повторяющегося элемента преобразуется к виду cfQJdx? = -А1$тф1+Ъ), (4) где At=f /,2//1, i - номер участка, /, - его длина. Далее записываются краевые условия для начала и конца каждого участка, на которые разбит повторяющийся элемент, и условие их стыковки (оно является краевым условием для конца предыдущего участка и начала последующего). Условия стыковки также зависят только от безразмерных величин т„ Rjl, и т.д. Здесь R,. /, - радиус кривизны и длина /'-го участка. Величина s определяет, на каком расстоянии от начала повторяющегося элемента находится рассматриваемая точка, а величина т, - на какой доле длины /-го участка находится эта точка. После решения записанных уравнений программа рассчитывает зависимость угла 6 от безразмерного параметра т. Если в исходной и в уменьшенной структурах величины А,и5 одинаковы, точки контактов не перемещаются и отношение удельных сил, растягивающих образцы по вертикали и горизонтали, одно и то же, то зависимости 6 от т для них будут полностью совпадать. В этом случае, как нетрудно показать, относительное удлинение для этих структур будет одинаково. Пусть имеем два одинаковых квадратных образца с размером сторон L - 1м, первый с исходной структурой, а второй - со структурой, уменьшенной в п раз. Начнем первый образец растягивать в двух взаимно-перпендикулярных направлениях силой F\b по вертикали и силой 1i3 1 2 * fx е2 „ъ 1 Для стальной микропроволоки И 1 1 d, d. = ----d = „ ' и 22 мкм < 25 мкм, 2 Ь123 1 Ш для вольфрамовой микропроволоки ELLd - А I 3 2 23 ~~ 2л/з В обоих случаях коэффициент отражения должен быть меньше, чем коэффициент отражения от первого образца, особенно во втором случае. Для него произведем оценку коэффициента отражения, использовав формулы (1). Для этого введем понятие эффективного размера стороны ячейки (аэфф)- Под д ,фф будем понимать размер стороны ячейки в тканой металлической сетке, при котором эта сетка имеет такой же коэффициент отражения, как у нашего исходного образца. Пусть исходный образец, изготовленный из микропроволоки диаметром 50 мкм, при длине волны 3 см имеет коэффициент отражения 90 %. Согласно формуле (1), это соответствует а,щ, = 2 мм. Уменьшим все элементы структуры образца, а следовательно, и эффективный размер стороны ячейки в 2 раза, и длину волны также уменьшим в 2 раза. При диаметре проводника 25 мкм коэффициент отражения согласно формуле (1) остается равным 90 %, а при диаметре проводника 19 мкм становится равным 88 %, т.е. хоть и уменьшился, но не существенно. В случае стальной микропроволоки он уменьшится еще слабее. Отсюда вывод - изменение диаметра проводника мало влияет в данных условиях на коэффициент отражения и формулу (6) можно использовать при подборе параметров микропроволок для получения металлотрикотажа с заданным удельным усилием растяжения, не учитывая в первом приближении изменения коэффициента отражения.

Скачать электронную версию публикации