The fourth double-layer potential for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation.pdf 1. Введение Многочисленные приложения теории потенциала можно найти в механике жидкости, эластодинамике, электромагнитизме и акустике. С помощью теории потенциала краевые задачи удаётся свести к решению интегральных уравнений. Потенциал двойного слоя играет важную роль при решении краевых задач для эллиптических уравнений. При этом решение ищется в виде потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью, для определения которой применяется теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода [1-3]. В свою очередь, такой потенциал выписывается через фундаментальное решение данного эллиптического уравнения. Фундаментальные решения следующего обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца: ТТх / \ 2а 2R 2 ~ Яа,р(М ) = Uxx + Uyy + Ux +- Uy -X U = 0 x y здесь а, p и X - постоянные, причем 0 < 2а,2р< 1, приведены в [4]. Оказывается, когда Х = 0, все четыре фундаментальные решения q (x, y; x0, y0) (i = 1,2,3,4) уравнения ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика № 50 2017 (1.1) „0 / ч 2a 2p Ha,p (u ) = uxx + uyy +-Ux +-Uy = 0 X y можно выразить с помощью гипергеометрической функции Аппеля от двух переменных второго рода F2 (a,bj,b2;c1,c2;x,y), определенной по формуле [5-7] F2 (; bi, b2, ci, c2, x, у ) = £ (()m+n ((b )m (^ xmyn, m~о (Ci ) (C2) m\n\ m,n=0 V 1 /m V 2 /n где (a)n - символ Похгаммера: (a)0 = 1, (a)n = a■ (a +1)• (a + 2)•...• (a + n-1), n = 1,2,3,... Теория потенциала для простейшего вырождающегося эллиптического уравнения (т.е. при a = 0 и Х = 0) изложена автором [8, 9]. Следуя его теории, в работе [10] для первого фундаментального решения q1 (x,у;x0,у0) уравнения (1.1) построена теория потенциала двойного слоя в области Qc R+ = {(x, у): x > 0, у > 0} . В данной работе исследуется потенциал двойного слоя, соответствующий четвертому фундаментальному решению уравнения (1.1): / \ 7 t 2\a+p 2 1-2a 1-23 1-2a 1q4 (x,y; x0, y0 )= k4 (r ) x y x0 y0 xF2 (2-a-P;1 -a,1 -P;2-2a,2-2P;§,n), 24-2a-2P г(1 -a)r(1 -р)Г(2-a-p) „2\a+P-2 _1-2a. 1-23.J-2a. ,1-2р , (1.2) k4 =где 4n Г (2 - 2a)r (2 - 2P) 2 f - V r 2 2 r - r 2 2 r - r2 1 = (1.3) У - У0 + n = x + xn 2 2 r r r2 Нетрудно проверить, что функция q4 (x, у; x0, у0) по переменным (x0, у0) является решением уравнения (1.1) и обладает следующими свойствами: (1.4) q4(x, у; ^ у0 ^x=0 =0, q4(x, у; xо, у0 ^ =0. Используя свойства гипергеометрической функции Аппеля от двух переменных, доказываем предельные теоремы и выводим интегральные уравнения, содержащие в ядре плотность потенциала двойного слоя. 2. Формула Грина Рассмотрим тождество x 2a у2р \инa,p(v)- vH a,p(M)] \x2aу2Р (vxu -vux)] +ду [x2aу2Р (и д_ dx )]. vu Интегрируя обе части последнего тождества по области Q , расположенной в первой четверти (x > 0, у > 0), и пользуясь формулой Остроградского, получим Яx2a у2р [uH a,P (v)- vHa,p(u)]dxd.у= Q = I x2a у 2eu (^у - vydx)- x2a у2ev (( - u>!dx), (2.1) S где S = dQ - контур области Q . Формула Грина (2.1) выводится при следующих предположениях: функции и (х, y), v (х, у) и их частные производные первого порядка непрерывны в замкнутой области Q , частные производные второго порядка непрерывны внутри Q и интегралы по Q, содержащие Я(0р(и) и H,°p(v), имеют смысл. Если Ha в (и) и Hа р (v) не обладают непрерывностью вплоть до S, то это - несобственные интегралы, которые получаются как пределы по любой последовательности областей Qn, которые содержатся внутри Q , когда эти области Qn стремятся к Q , так что всякая точка, находящаяся внутри Q , попадает внутрь областей Qn, начиная с некоторого номера n . Если и и v суть решения уравнения (1.1), то из формулы (2.1) имеем f х2ау2pfи - - v - 1 ds = 0. (2.2) S v dn dn J Здесь (2.3) (2.4) d dy d dx d dy , . dx , . - =-----, - = cos (n, x), - = -cos (n, у) dn ds dx ds dy ds ds n - внешняя нормаль к кривой S . Полагая в формуле (2.1) v = 1 и заменяя и на и2, получим Я х-/в[и2 Q + и2у J dxdy = f х2ау2ри-ds, где и (х, у) - решение уравнения (1.1). Наконец, из формулы (2.2), полагая v = 1, будем иметь f х2ау2p^ds = 0, I dn т.е. интеграл от нормальной производной решения уравнения (1.1) с весом х 2а у 2р по контуру области равен нулю. 3. Потенциал двойного слоя w(4) (х0, j0) Пусть Q - область, ограниченная отрезками (0, a) и (0, b) осей х и у соответственно и кривой Г с концами в точках A (a,0) и B(0, b), лежащей в первой четверти х > 0, у > 0 . Параметрическое уравнение кривой Г пусть будет х = х (s), у = у(s), где s -длина дуги, отсчитываемая от точки B . Относительно кривой Г будем предполагать, что: 1) функции х = х (s) и у = у (s) имеют непрерывные производные х'( s) и у'(s) на отрезке [0, l], не обращающиеся одновременно в нуль; вторые производные x"(s) и у"(s) удовлетворяют условию Гельдера на [0, l], где l - длина кривой Г; 2) в окрестностях точек A (a,0) и B (0, b) на кривой Г выполняются условия dx ds dy ds < Cy1+S (s), < Cxl+Z (s), 0 0, (3.18) r(c - a)r(c -b) lim P11 = r(2-2a)r(2-2e) . Р^о 11 Г(3 -а-Р)Г(1 -Р)Г(1 -a) получим (3.19) -(2-a-P)&4xQ 2aуО 2Р lim J (xq,Уо) = -1. Р^о (3.20) (3.21) Таким образом, согласно (3.14), (3.17) и (3.19), окончательно получим -(2- Далее, учитывая, что lim р ln р = 0 . Р^0 имеем lim J2 (Xq,Уо) = lim J3 (Xq,Уо) = lim J4 (Xq,Уо) = lim J5 (Xq,Уо) = 0. (3.22) p^0 p^0 p^0 р^0 Наконец, рассмотрим интеграл J6 (x0, у0), который, согласно формуле (3.10), можно привести к виду (3.4), т.е. J6 (^,Уо) = k(xо,Уо). (3.23) Теперь, в силу (3.20) - (3.23) из (3.12) следует, что в точке (Xq,Уо)е^ имеет место тождество w1(4)(xо, Уо ) = k (x0, Уо) -1. Случай 2. Пусть теперь точка (x0,у0) совпадает с некоторой точкой M0, лежащей на кривой Г. Проведем окружность малого радиуса р с центром в точке (x0, у0). Эта окружность вырежет часть Гр кривой Г. Оставшуюся часть кривой обозначим через Г-Гр. Обозначим через Ср часть окружности Ср, лежащей внутри области Q, и рассмотрим область Qp, ограниченную кривыми Г-Гр, Ср и отрезками [0, a] и [0, b] осей x и у соответственно. Тогда имеем Wj(4) (x0, у0 ) = f Х2ау2в dq4 (у; ^ Уо ) ds = { dn 2a ,2P ^4 (Х, У’ Х0 , У0 ) lim f p^0 ■> (3.24) ds. x у dn p^0 г-гр Так как точка (x0, у0) лежит вне этой области, то в этой области функция q4 (x,у; x0, у0) является регулярным решением уравнения (1.1) и в силу (2.4) y2pдq4((УiWо)' dy . f x“у^ (x,у’x0,у0 > ds = fx“ j ' Яет J dx + dn 2a dq4 (x, у; xQ, у0 ) dx у=0 г-гр dy + f Х2ay2в-д{q4 (x,у;x0,у0)ds. (3.25) J dn +1у2в x=0 0 Подставляя (3.25) в (3.24), с учетом (3.23) и (1.4), получим p^0 , cn W1(4) (x0,у0) = k(x0,у0) + lim f x2aу2р dq4 (^x°’у°) ds. (3.26) р^ю J dn Вводя снова полярные координаты (3.13) в интеграле (3.26) и переходя к пределу при р^ 0, получим lim f x2ay2tdq^^Ы;ХQ:УAds = -1. p^0dn 2 cp Таким образом, w(^4)(xо, у0 ) = к(xо, у0) - 2. Случай 3. Положим, наконец, что точка (x0, у0) лежит вне области Q . Тогда функция q4 (x, у; x0, у0) есть регулярное решение уравнения (1.1) внутри области Q с непрерывными производными всех порядков вплоть до контура г и в силу (2.4) м1(4) (^ у0) = f x2aу2Р dn {q4 (( у; xо, у0)} } = 2a у 2в dq4(x, у; xо, у0 ) dx + f у2в " x2a dq4 (Х, у; Х0, у0 )) Г dv J J ' y =0 0 _ dx J dy = = (x0^0). Лемма 1 полностью доказана. Теорема 1. Для любых точек (x, у) и (x0, у0 )е R+ при x Ф x0 и у Ф у0, спра ведливо неравенство: \q4 (x, у; xo,Уо) < С(xxo )1-2а (уу, )1-2Р (r2) ' ( ) ' In ( 2 2 2 2 Л r r r r ~ +~2 ~2 2 V r1 r2 r1 r2 (3.27) где С - постоянная, а а ив - действительные числа, причем 0 < 2а, 2в < 1, а r, r1 и r2 - выражения, определенные в (1.3). Доказательство. Из (3.16), с учетом неравенства ( 2 2 F < С,. а - в,1 - в + i;2- 2в + i;1 -- -а + в,1 - а + i;2- 2а + i;1 -- F получим q4 (x, у; xo, уо )|< ( xxo)1-2а (ууо)1-2в | - - V r2 2 - а - в,1 - а,1 - в; 2 - 2а,2- 2в; < C1k4 (3.28) - обобщенная гипергеометрическая 1-в 3 F2 (УГ &) где С1 > 0 - постоянная, а 3 F2 Ьу; функция Гаусса [6]. Теперь, согласно формуле [6, 7], r( )r( )r( ) ,-Z fra - z)k in (1 - z )+x d+ a - z)k Г(а1 )Г(а2 )Г(а3) l k=0 k ! k=0 F (, a2, a3; b1, b2; z) = Г(Й1)Г(Й2) где b1 + b2 - a1 - a2 - a3 = 0; |1 - z| < 1; |arg(1 - z)| 0; aj Ф 0,-1, -2,...; j = 1,2,3; ck и d+ известные постоянные, из (3.28) вытекает неравенство (3.27). Теорема 1 доказана. Таким образом, функция q4 (x, у; x0, у0) имеет логарифмическую особенность при r = 0. Теорема 2. Если кривая Г удовлетворяет перечисленным выше условиям, то dq4 (у у; x0, у0) J x2a у2Р ds < С x у дп где С1 - постоянная. Доказательство теоремы 2 следует из условий (3.1) и формулы (3.10). Формулы (3.3) показывают, что при ц4 (s) = 1 потенциал двойного слоя испытывает разрыв непрерывности, когда точка (x, у) пересекает кривую Г . В случае произвольной непрерывной плотности ц4 (s) имеет место Теорема 3. Потенциал двойного слоя w(4) (x0, у0) имеет пределы при стремлении точки (x0,у0) к точке (x(s),y(s)) кривой Г извне или изнутри. Если предел значений w(4) (s) изнутри обозначить через w(4) (x0,у0), а предел извне через w(f> (x0,у0), то для непрерывной плотности ц4 (s) имеют место формулы 1 1 W(4)(s) = -T Н4 (s)+f Н4 (t) K4 (s t) dt (3.29) 2 0 1 1 и wif)(s) = ~H4 (s)+ f Н4 (t) K4 (s, t )dt, (3.30) 2 0 где K4 (s, t) = [x(t)]2a [y(t)]2pd-{ [x(t),y (t); Xo (s),y, (s)]} , dn точки (x (s), y (s)) и (x0 (t), y0 (t)) лежат на кривой Г. Доказательство теоремы 3 следует из леммы 1 и теорем 1 и 2. Функция 1 w04) (s) = f Н4 (t)K4 (s, t) dt 0 непрерывна при 0 < s < 1, что следует из хода доказательства теоремы 3. Принимая во внимание формулы (3.29) - (3.30) и непрерывность функций w^(s) и H4(s) при 0 < s < 1, можем утверждать, что потенциал двойного слоя w(4) (^y0) есть функция, непрерывная внутри области Q вплоть до кривой Г.

Скачать электронную версию публикации