Calculation of asian options for the Black - Scholes model.pdf 1. Введение Основным вопросом математической экономики является вопрос потребления и инвестирования. В современной финансовой индустрии такие проблемы представляют наибольший интерес для инвесторов, продающих финансовые активы своим клиентам, которые имеют право на определенную оплату в течение срока инвестиционного контракта и ожидают получить максимальную отдачу в момент его погашения. Исторически первой работой в теории финансов в направлении условий неопределенности стала диссертация Л. Башелье «Теория спекуляций» [1], которая была опубликована в 1900 году. В диссертации броуновское движение было использовано для расчета цен опционов. Эта работа стала первой публикацией, посвященной использованию математической техники в финансовой науке. В современной теории и практике опционов знаменательную роль играют работы Ф. Блэка и М. Шоулса «Расчет цены опционов и обязательства корпораций» [2] и Р. Мертона «Теория расчета рациональной цены опциона» [3]. В этих статьях авторы предложили формулы для вычисления стоимости опционов и других производных инструментов, которые оказали огромное влияние на развитие теории и практики финансов. Доказательство формулы Блэка - Шоулса привело к повышенному интересу к производным инструментам и взрывному росту опционной торговли. 1 Работать в этом направлении продолжили Кокс, Росс и Рубинштейн. В [4] авторы предложили рассмотреть простую модель для ценообразования опционов в дискретном времени. Эта модель в предельном случае содержит полученную ранее модель Блэка - Шоулса, но в отличие от нее получена гораздо более простыми методами. Модель Кокса - Росса - Рубинштейна дает эффективный численный метод оценивания опционов. Подробно обсуждаются опционы на обыкновенные акции в [5]. 2018 № 51 Математика и механика MSC 60H10, 60G44, 60J65 УДК 519.81, 519.21 DOI 10.17223/19988621/51/5 Со временем передовые вероятностные методы оказали значительное влияние на область финансов. И наоборот, финансовые вопросы стимулировали новые направления исследований в области теории вероятностей. К таким работам можно отнести статью Фоллмера [6], в которой рассмотрены основы теории арбитражного ценообразования с акцентом на неполные рынки и на различные роли, которые играют вероятностная мера «в реальном времени» и ее эквивалентные мартин-гальные меры. «Мартингальную» теорию расчета справедливой стоимости опционов, хеджирующих стратегий, рациональных моментов исполнения опционов привели в своих работах А.Н. Ширяев и Ю.М. Кабанов [7, 8]. Здесь авторы изложили основные понятия, постановки задач и результаты финансовой математики, которые относятся к расчетам опционов американского и европейского типов, предполагая, что контракты заключаются на дискретном и непрерывном (B,S) -рынках. Во второй работе предполагается, что безрисковый банковский счет эволюционирует по формуле «сложных процентов», а цена рисковой акции управляется геометрическим броуновским движением. Широкое распространение в финансовой математике получила «диффузионная» модель (В^)-рынка с постоянной волатильностью. Именно с этой моделью связаны известные результаты Блэка - Шоулса, Мертона, Харрисона и Крепса [9], Харрисона и Плиски [10], Карат-цаса и Шрива [ll]. С.М. Пергаменщиков [12] в своей работе также использовал (В^)-модель финансового рынка с постоянной волатильностью в задаче ценообразования опционов при наличии транзакционных издержек. Было установлено, что предельное распределение терминального значения портфеля для стратегии Леланда является смешанным гауссовским распределением. Позже Пергаменщиков и Берджан [13] исследовали задачу оптимального инвестирования и потребления для финансового рынка Блэка - Шоулса со стохастической волатильностью. Используя представление Фейнмана - Каца, авторы доказывают единственность и гладкость решения уравнения Гамильтона - Якоби -Беллмана, которое представляет собой нелинейное уравнение в частных производных второго порядка. Кроме того, показано, что оптимальная скорость сходимости итерационных числовых схем как для функции стоимости, так и для оптимального портфеля является супергеометрической, то есть более быстрой, чем любая геометрическая. На основании вышесказанного стоит отметить, что задача ценообразования опционов и построения хеджирующих стратегий является хорошо изученной для опционов американского и европейского стилей. К сожалению, эта техника не развита для так называемых «экзотических» опционов, в том числе для опционов азиатского типа. В данной работе рассматривается задача построения хеджирующей стратегии для азиатского опциона. При решении этой задачи исследован метод построения представления квадратично интегрируемых мартингалов по вине-ровским процессам и найдены квадратические представления для мартингалов, порожденных функциями от интегралов по геометрическим броуновским движениям (п. 3). Основным результатом работы являются полученные в п. 3 формулы для вычисления стоимости опциона и хеджирующей стратегии. В п. 4 найдена плотность экспоненциальной случайной величины с использованием специального процесса - броуновского моста. Доказано, что полученная плотность является непрерывно дифференцируемой по первой переменной функцией. В п. 6 приведены результаты численного моделирования Монте-Карло для конкретной финансовой модели. 2. Постановка задачи При построении математических моделей динамики финансовых показателей оказываются полезными различные классы случайных процессов с дискретным и непрерывным временем. При описании случайных процессов, как правило, отправляются от их разложения Дуба или Дуба - Мейера на предсказуемую и мар-тингальную составляющие [14]. Это объясняет, почему теория мартингалов является естественным и полезным математическим аппаратом в финансовой математике и инженерии. Пусть (q, F, (FtW ) , P) - стохастический базис с естественной фильтрацией FtW =ct{Ws ,s < t}, порожденной винеровским процессом. Предположим, что на финансовом рынке динамика цен безрискового актива B = (Bt )0

Скачать электронную версию публикации