Rank of formal matrix. System of formal linear equations. Zero divisors.pdf Везде далее R - коммутативное кольцо с единицей; Rm - R-модуль всех вектор-столбцов длины m; M(nxm, R) - множество матриц размера nxm с элементами из кольца R; Col,- (A) и Row,- (A) - i-й столбец и j-я строка матрицы А соответственно; K = M(n, R, Е) - кольцо формальных матриц порядка n над кольцом R, с системой множителей Е = {sijk| i, j, k = 1,..,,n}. Подробно познакомиться с формальными матрицами и кольцами формальных матриц можно в [1-4]. 1. Ранг формальной матрицы Напомним сначала определение ранга матрицы над произвольным коммутативным кольцом с единицей (см.[3]). Пусть A е M(n х m, R). Определение 1. Для всякого t = 1,.. .,r = min{m,n} через It (A) будем обозначать идеал в R, порожденный всеми (tx ^-минорами матрицы A. Таким образом, для нахождения It (A) необходимо вычислить определители всех (tx^-подматриц в матрице А и затем взять идеал, порожденный ими. По теореме Лапласа всякий ^+1)х^+1)-минор матрицы А лежит в It(A). Поэтому имеет место следующая цепочка вложений идеалов в R: Ir (A) с Ir_ (A) с... с 12 (A) с I^A) с R. Кажется логичным продолжить определение идеала It (A) на все целые числа следующим образом: (0), если t > min{m, n}; R, если t < 0. Тогда 0 = Ir+1 (A) с Ir (A) с Ir_ (A) с... с 12 (A) с Ix (A) с I0(A) = R . MSC: 15B9, 15A06, 15A24, 16S50 Определение 2. Аннулятором непустого множества S в кольце R называется множество AnnR (S) = {r е R | s ■ r = 0, Vs е S} . Найдя аннуляторы идеалов It (A), получим вложения: (0) = AnnR (R) = AnnR (I0 (A)) с AnnR (I1 (A)) с AnnR (I2 (A)) с ... ... с AnnR (Ir (A)) с AnnR (Ir+1 (A)) = AnnR ((0)) = R. Заметим, что если AnnR(It (A)) Ф (0), то AnnR(Ik (A)) Ф (0) для всех к > t. Определение 3. Рангом матрицы A е M(n х m, R), обозначаемым через rk(A), назовем следующее число: rk(A) = max{t е Z | AnnR (It (A)) = (0)}. Теперь определим ранг формальной матрицы в кольце K = M(n, R, Е), введённом выше. Далее увидим, что на самом деле можно определить n рангов. Пусть A е K . Зафиксируем число l е{1,...,n} . Существует гомоморфизм ко e E (см. [1]). Другими словами, где t1J = s„ лец ц,: K^M(n, R), (au) ^ (tu ■ au), ~V ' ' y'V "V ' ''] ijl П, (aij) = (spi ■ ay). Определение 4. Назовем Е-рангом, l-рангом или просто рангом r, (A) матрицы A е K ранг матрицы n, (A) е M(n,R). То есть r, (A) = rk(n, (A)). Подробнее -r (A) = max{t е Z | AnnR (It (n, (A))) = (0)}. Итак, имеем n рангов - r1 (A), r2 (A), r3 (A),., rn (A) матрицы A е K . Замечание 1. Эти ранги у одной и той же матрицы могут не совпадать для разных lе {1,...,n}. Пусть теперь A е M(m х n, R), то есть A - прямоугольная матрица размера mxn. Определим ранг матрицы А относительно кольца формальных матриц K = M(n, R, Е). Пусть mn. Также «дополним» матрицу А до матрицы порядка n, дописав к А справа (m-n) нулевых столбцов. Полученную матрицу будем обозначать через (A | 0): (Al°) = Полагаем r, (A) = r, (A | 0). 0 ^ 0 aln 0 12 amn 0 (" ml m2 Приведем далее несколько простых фактов, непосредственно вытекающих из определения ранга формальной матрицы. Лемма 1. Пусть A е M(m х n, R), K = M(n, R, Е) - кольцо формальных матриц. Имеют место следующие соотношения и импликации для любого фиксированного lе {l,...,n}: 1) 0 < rl (A) < min{m, n}; 2) r (A) = r (PAQ), VP, Q е U(M(n,R, £)); 3) r (A) = 0 » AnnR (Ii (ni (A))) ф (0); 4) Если m = n, то rl (A) < n » d(A) е Z(R), где d(A) - определитель формальной матрицы А, Z(R) - множество делителей нуля кольца R. Доказательство. Пункты 1), 3) и 4) прямо следуют из определения Е-ранга формальной матрицы и леммы 4.11 в [3]. 2) Для всяких матриц B е M(m х p, R) и C е M(p х n, R) справедлив следующий факт [5]: It (BC) с It (B) n It (C), Vt е Z . Теперь можем заключить: It(ni(PA))сIt(ni(A)) = It(ni(P-\PA)))сIt(ni(PA)), то есть It(Ц[(PA)) = It(щ(A)), Vt е Z , Vi е {1,...,n}. Аналогично можем проверить равенство: It (ni (PAQ)) = It (ni (PA)), Vt е Z , Vi е{1,..., n}. Откуда прямо следует: Г (A) = r (PAQ), VP, Q е U(M(n, R, £)). □ Следствие 1. Так как определитель формальной матрицы не зависит от выбора номера i е {1,..., n} , то из пункта 4) леммы 1 вытекает, что если ri (A) < n хотя бы для одного i, то он не равен n ни для какого другого номера к е {1,...,n} . 2. Системы формальных линейных уравнений Пусть A е M(m х n,R) и mn, то, аналогично, системой формальных матричных уравнений назовем матричное уравнение: (A | 0) о Xi = Bi, 0 ... 0 xn 0 ... 0 где Xl - квадратная матрица порядка m с элементами х1 ,Х2,...,Хп,0,...,0 в l-м столбце и нулями на всех остальных местах, Bl - квадратная матрица порядка m с элементами b\,b2,...,bm в l-м столбце и нулями на всех остальных местах. В частности, при m = п, то есть, если A - квадратная матрица, имеем систему 0 ^ Г 0 0 ^ 0 0 0 b1 0 b2 0) V0 0 bn 0 A о Xl = Bl, или Г 0 0 V ап1 ап2 ... апп) V0 '•• " Лп " ' ") V" ••• " "п " ' ") Далее везде будем писать A о Xl = Bl. Если матрица А прямоугольная, то дописывая в систему формальных линейных уравнений нулевые строки или столбцы всегда можем получить систему с квадратной матрицей. Перемножая матрицы A и Xl, имеем равенство 0 хп 0 ( Л X к=1 п 0 X 0 0 0 0 Г 0 0 0 ^ 0 0 b1 0 b2 (*) к=1 0 bn 0 0 X ' 0 0 0 к=1 Замечание 4. В зависимости от выбора lе {1,...,п} получим п различных СФЛУ, не обязательно эквивалентных между собой. Предложение 1. Система формальных линейных уравнений A о Xl = Bl эквивалента обычной системе линейных уравнений n (A) • X = B над кольцом R, где X и B - вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец (b1,b2,.,bn)T длины п соответственно. Доказательство. Действительно, отбросив в равенстве (*) нулевые столбцы, получим п линейных уравнений над R, которые можно объединить в систему 511га11х1 + S121"i2 Х2 + ... + S1 п1 а1 п Хп = b1 s21la21x1 + s22la22 Х2 + ." + 52п!а2пХп = b2 V* пИип1 п21 п2 15пЫигт ) является образом матрицы A относительно гомоморфизма п. Очевидно, что решение этой системы е Rп будет решением и для СФЛУ A о Xl = B{, если записать его в виде матрицы с нулями везде, кроме l-го столбца, в который нужно вписать вектор е Rп. □ ^лАп^ + 'п 2!ап 2 Х2 + ... + 'пп! апп Хп = Ьп Матрица Г 'ша11 S12lа12 ... '^п!"! ^ S21l а21 S22l а22 ... s2Ша2 Если Bl = 0, то система A о Xt = 0 называется однородной. У такой системы всегда имеется, по крайней мере, одно решение, а именно Xi = 0, называемое тривиальным или нулевым. Следующий результат, являющийся аналогом теоремы Маккоя [7], дает необходимые и достаточные условия для существования нетривиального решения однородной системы формальных линейных уравнений. Теорема 1. Пусть A е M(m х n, R). Однородная СФЛУ A ° Xi = 0 имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда rl (A) < min{m,n}. Доказательство. Согласно предложению 1, однородная система A о Xl = 0 имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда имеет нетривиальное решение однородная система n (A) • X = 0. Тогда по теореме Маккоя (см. [5], теорема 5.3) последнее эквивалентно неравенству rk(n (A)) < min{m,n}. Осталось заметить, что rl (A) = гк(ц1 (A)) по определению ранга rl (A). □ Следствие 2. Однородная СФЛУ имеет нетривиальное решение, если количество уравнений в ней меньше числа неизвестных. Доказательство. Действительно, пусть A о Xl = 0 - система, в которой количество уравнений меньше числа неизвестных, то есть m < n. По пункту 1) леммы 1 rl(A) < min{m,n} = m < n. Тогда по теореме 1 система A оXl = 0 имеет нетривиальное решение. □ Далее будем говорить о неоднородных системах, то есть Bl - не обязательно нулевая матрица. Комбинируя предложение 1 и теорему 5.17 из [5], несложно убедиться в том, что правило Крамера остается справедливым для СФЛУ. Теорема 2 (Правило Крамера). Пусть A е K и d(A) е U(R), другими словами, пусть А - обратимая формальная матрица. Тогда для любой матрицы Bl с l-м столбом Coll (Bl) = (b\,b2,...,bn)T е Rn и нулями на всех остальных местах уравнение A о Xl = Bl имеет единственное решение - матрицу Л1 е K с l-м столбцом Coll(Л,) = (У\,у2,...,Уп)T еRn , где (вщац ... s1,y_1,la1 J- b1 s\,j+i,laij+1 ••• s1nla1n ^ s2\la2\ ••• s2, J-1 ,l a2 J_1 b2 s2, J+1,la2 j+1 ••• s2nla2n Vj = 1,...,n, уj = d(A)_1 • det sn\lan\ ••• sn, j-\,lanJ-\ bn sn, j+\,lanj+\ ••• snnlann, и нулями на всех остальных местах. Итак, если А - обратимая формальная матрица, то СФЛУ A ° Xl = Bl имеет единственное решение для любой Bl е K. Следующая теорема дает необходимые условия, при которых уравнение A о Xl = Bl имеет решение для любой A е M(m х n, R) и любой Bl е K. Теорема 3. Пусть A е M(m х n, R). Допустим, что СФЛУ A ° Xl = Bl имеет решение. Тогда It (n (A)) = It (n (A) | Col,- (Bl)), для любого t е {1,..., n}, где (П (A) | Col,- (Bl)) - матрица n (A) с приписанным справа l-м столбцом матрицы Bl. Доказательство этой теоремы следует из предложения 1 и теоремы 5.21 в [5]. Замечание 5. В теореме 3 мы могли сразу считать, что m < n. Доказательство. Действительно, пусть A е M(m х n,К) и m>n. Легко видеть, что It(A) = It(A | 0), где A | 0 - матрица А с дописанными справа (m-n) нулевыми столбцами. Матрица A | 0 имеет размерность nxn. Смысл вышесказанного в том, что, переходя от А к A | 0, можем, без потери общности, считать, что m < n. □ В общем случае выполнение равенства It(п (A)) = It(п (A) | Col,- (Bl)) не гарантирует существование решения для системы A о Хг = B{. Следующий результат, аналогичный теореме Камиона - Леви - Манна [6] для систем линейных уравнений над кольцом К, дает достаточные условия для разрешимости СФЛУ A о Хг = Bl. Можем полагать Bl Ф 0 и m < n. Через Im (пг (A) | B)* будем обозначать идеал в К, порождаемый всеми (mxm)-минорами матрицы(пг (A) | Col,- (Bj)), которые включают элементы последнего столбца. Другими словами, Im (пг (A) | B)* порождается множеством {Щ,..., m ; jl,..., J'm-U n + 1)|1 ^ h < ... < Jm-1 ^ n}. Теорема 4. Пусть A е M(m х n,R), m < n и гг (A) = 0. Допустим, что в К существует идеал W и неделитель нуля z е R такие, что WIm (пг (A) | B)* с Rz с WIm (п (A)). Тогда СФЛУ A ° Хг = Bt имеет решение. Доказательство этой теоремы следует из предложения 1 и теоремы 5.25 в [3]. Следствие 3. Пусть матрица A е M(m х n,R) такая, что Im (пг (A)) = К для некоторого фиксированного l е {1,..., n} . Тогда для любой Bl е K СФЛУ A ° Xt = Bl имеет решение. 3. Делители нуля в кольце формальных матриц Формальная матрица A из кольца K = M(n, К, Е) формальных матриц порядка n над кольцом К с системой множителей Е = {sijk е C(К) | i, j,k = 1,...,n} называется левым делителем нуля, если A о B = 0 для некоторой ненулевой формальной матрицы B из K. Аналогично, A е K - правый делитель нуля, если B о A = 0 для какой-то ненулевой B е K. Следующая теорема характеризует делители нуля в K. Теорема 5. Пусть A е K. Эквивалентны следующие утверждения: 1) A - левый делитель нуля в K; 2) A - правый делитель нуля в K; 3) d(A) е Z(К); 4) тг(A) 1) AT - также левый делитель нуля в KT. Значит, найдется ненулевая матрица C е K, для которой AT*C = 0. Возвращаясь в кольцо K, получаем равенство CT о A = 0 . То есть A - правый делитель нуля в K. □ Таким образом, правые и левые делители нуля в кольцах формальных матриц со значениями в данном коммутативном кольце R совпадают и их определители -делители нуля в R.

Скачать электронную версию публикации