Non-isothermal steady flow of power-law fluid in a planar/axismetric channel.pdf Ламинарные течения неньютоновской жидкости в плоских каналах и в круглых трубах реализуются во многих технических приложениях. В частности, при переработке полимерных материалов в текучем состоянии осуществляются течения между параллельными плоскостями и в трубах кругового сечения в элементах технологической оснастки. В общем случае течения вязкой жидкости являются неизотермическими, что обуславливается диссипацией механической энергии, возможными химическими источниками тепла, различными условиями теплообмена на границах области, физические характеристики среды при этом зависят от температуры. Решение задач о неизотермических течениях неньютоновских жидкостей с учетом диссипации механической энергии и зависимости реологических характеристик от температуры связано со значительными трудностями. Поэтому в большинстве случаев теоретические исследования течения и теплообмена при переменных физических характеристиках жидкости выполнены приближенными или численными методами при использовании ряда упрощающих допущений. Математические постановки задач о стационарных неизотермических течениях вязкой среды в одномерном приближении допускают получение решений в аналитической форме. Первые работы, в которых представлены аналитические решения таких задач, появились в середине прошлого столетия [1-4]. Устойчивость получаемых стационарных решений и связанное с этим явление гидродинамического теплового взрыва обсуждаются в работах [5, 6]. Результаты исследований подобных течений описываются также в соответствующих монографиях, например [7-9]. Математические аспекты устойчивости получаемых стационарных решений рассматриваются в книге [10]. Следует отметить, что обсуждаемые одномерные задачи до сих пор привлекают внимание исследователей и появляются публикации, содержащие решения для течений с более сложной реологией, различными условиями теплообмена на границах с применением технологий аналитического либо численного анализа [11, 12]. Аналитические решения описывают течения в определенных условиях. Кроме того они используются для тестирования численных решений, а также в качестве начальных и граничных условий для задач в более общей постановке, возникающих, например, при моделировании транспорта жидкости в каналах сложной геометрии, процессов экструзии и литья под давлением, реализуемых в технологии переработки полимеров [13-16]. Форма аналитических решений рассматриваемых задач зависит от типа граничных условий и вида функциональной зависимости реологических характеристик от температуры. В этой связи в случае использования распределений скорости и температуры для одномерного стационарного течения в качестве граничных условий для полной постановки задачи, например на входной границе области решения, часто требуется модификация существующих либо получение новых аналитических решений, соответствующих условиям общей задачи. С другой стороны несложно получить численное решение одномерной задачи и, можно численную процедуру нахождения граничных значений искомых функций в одномерном приближении включать в общий вычислительный алгоритм. В большей степени именно с этой целью в работе рассматриваются одномерные неизотермические стационарные течения степенной жидкости и предлагается численный алгоритм их исследования. Постановка задачи Рассматривается установившееся течение неньютоновской несжимаемой жидкости в плоском/осесимметричном канале под действием заданного перепада давления с учетом вязкой диссипации. Реология жидкости описывается степенным законом Оствальда - де Виля с экспоненциальной зависимостью консистенции от температуры. Течение предполагается ламинарным и одномерным. Используемые системы координат представлены на рис. 1. 4 y/r > x Рис. 1. Система координат Fig. 1. Coordinate system Течение описывается уравнениями движения и теплопереноса, которые с учетом сделанных допущений запишутся следующим образом: Af dv1=dp х- + fdv.л2 dy l^dy) сХ' cy5 1 df r dv.l=dp ^AfrдГ)+ fdvl2=0 (2) r dr v dr ) cX' r dr v dr ) v dr) Уравнения (1) записаны для плоского канала, (2) - для круглой трубы. Здесь v - скорость, T - температура, y и r - поперечная и радиальная координаты декартовой и цилиндрической систем координат соответственно, dp / dx - продольная составляющая градиента давления, X - коэффициент теплопроводности. Система (1) или (2) замыкается реологическим законом, согласно которому эффективная вязкость п определяется выражением n(T, у) = k0 e-e(T-T )у|n-1. где у - скорость сдвига, k0 - консистенция при температуре T0, в - константа, n -степень нелинейности жидкости. Граничные условия записываются следующим образом: dv dT y = 0: - = 0, - = 0; y = H : v = 0, T = T1; dy dy r = 0: - = 0, - = 0; r = R : v = 0, T = T1. dr dr 1 Запишем системы уравнений (1), (2) в безразмерных переменных 1=8, Za3Zr 4) (3) -LdZfZa^l+I2 = 0, Za5ZT szJ 'UZ) где Z - безразмерная координата (Z = y/H для плоского канала, Z = r/R для цилиндрической трубы), u, 6 - безразмерные скорость и температура соответственно, PkU^ 8 L dp f L 1n й ж =-, 8 =--1 - I - безразмерный перепад давления на единицу дли- XLn k1 dx v U ) ны, k1 = k0 exp [-p (T1 - T0)] - консистенция среды при температуре стенки. Параметр а определяет геометрию области течения: а = 0 соответствует плоскому каналу (L = H), а = 1 - цилиндрической трубе (L = R). В качестве масштаба обезраз-меривания скорости выбрана величина среднерасходной скорости U. Для безразмерной температуры используется выражение 6 = р (T - T1). Безразмерная эффективная вязкость определяется по формуле -|л-|=^, X- + n| -I = 0; (1) 1 n-1 du (4) П = e Граничные условия принимают вид = 0: d d Z Z = 1: u = 0, 6 = 0. Z = 0: ^ = 0, ^ = 0; dZ dZ (5) Величина 5 выбирается такой, чтобы объемный расход жидкости через единицу площади равнялся единице 2а J uZa d Z - 1. Таким образом, решение задачи сводится к отысканию профилей скорости и температуры, удовлетворяющих системе уравнений (3), (4), условиям (5), (6). Метод расчета Сформулированная задача решается численно. В области решения строится расчетная сетка, представленная на рис. 2. В узлах сетки с целыми индексами рассчитывается скорость, с дробными - вязкость и температура. (6) i i 4 2 2 |z ф-ф-О-1-О-1-о - i-1 i i+1 N-1 N h Рис. 2. Расчетная сетка Fig. 2. Computational grid Конечно-разностные аналоги системы (3) записываются в форме, используемой для реализации метода прогонки [17]: Zi+0.5ni+0.5ui+1 - (Za+0.5ni+0.5 + Zi-0.5ni-0.5 )ui + Zi-0.5ni-0.5ui-1 = 5h Z za+10

Скачать электронную версию публикации