Mathematical modelling of the spherical particle motion along an inclined surface in the shear flow.pdf Математическая модель Изучение движения частиц аэрозоля, их осаждения и коагуляции составляет предмет весьма важного раздела учения об аэродисперсных системах, который можно назвать механикой аэрозолей [1, 2]. Сюда же целесообразно отнести тесно примыкающий к проблемам осаждения и сепарации [3, 4] вопрос о явлениях, происходящих при соприкосновении частиц друг с другом и с макроскопическими телами, а также весьма важный, мало изученный вопрос об обратных процессах -отрыве частиц от стенок и переходе порошкообразных тел в аэрозольное состояние [5]. В работах [6, 7] представлены результаты экспериментального исследования гравитационного осаждения консолидированной системы твердых монодисперсных сферических частиц в вязкой жидкости в широких диапазонах их концентрации и чисел Рейнольдса и Стокса. На основе экспериментальных данных по изменению скорости осаждения совокупности частиц получена критериальная зависимость для коэффициента сопротивления совокупности частиц в исследуемом режиме осаждения. Авторами [8] проведено исследование движения частицы в окрестности подвижной стенки. Результаты расчетов показывают, что увеличение частоты колебания пластины ю увеличивает частоту изменения скорости частицы. С ростом частоты колебаний пластины колебательный режим изменения скорости частицы наблюдается в более тонком слое, прилегающем к пластине. С увеличением диаметра частиц увеличивается их инерционность. Амплитуда колебаний частицы уменьшается с увеличением частоты колебаний пластины В работе [9] представлены экспериментальные исследования режима соударения твердой сферической частицы, движущейся в жидкости, с горизонтальной плоской стенкой. В результате проведенных измерений был определен коэффициент восстановления при ударе. Установлено, что при малых значениях числа Сто-кса Stk = ppvn dp/д, являющегося отношением силы инерции частицы к силе внутреннего трения (плотность частицы, диаметр частицы, динамическая вязкость жидкости и скорость частицы) коэффициент восстановления равен нулю и соударение со стенкой происходит без отскакивания. С увеличением значения числа Стокса коэффициент восстановления монотонно увеличивается, асимптотически достигая значений, соответствующих удару в вакууме. В работе [10] представлено исследование ударного взаимодействия частиц в потоке. Проанализировано осаждение бидисперсной смеси с учетом соударения частиц. Проведенные расчеты показали, что соударения частиц существенным образом определяют скорость их осаждения в воздушной среде и практически не оказывают влияния на процессы седиментации в жидкости. В [11] предложена модель движения частицы, движущейся в газе вблизи шероховатой стенки. На основе экспериментальных данных предложена математическая модель движения частицы по поверхности средней и малой шероховатости, размер которой не превышает размера частицы. В результате проведенных экспериментов определена величина силы адгезии частицы вблизи шероховатой стенки. Авторами [12] проведено экспериментальное и теоретическое исследование движения твердой сферы по наклонной плоскости под действием силы тяжести в присутствии поперечного потока вязкой жидкости. Установлено, что движение тяжелой сферы по наклонной плоскости в жидкости ускоряется, если жидкость течет в поперечном направлении. Эффект увеличивается с ростом скорости поперечного потока, с ростом коэффициента трения и с уменьшением угла наклона плоскости. Эффект ускорения оседания обусловлен поворотом вектора силы контактного трения скольжения под действием поперечного потока. Целью работы является математическое моделирование движения сферической частицы, обдуваемой сдвиговым потоком, по наклонной поверхности. Уравнение движения центра масс частицы можно записать в виде [1, 13]: pvf=nf , (1) dt г=1 N _ где р - средняя плотность частицы; V - ее объем; ^ F - главный вектор внешi=1 них действующих сил. Рассмотрим более подробно систему сил, действующих на частицу. Силу тяжести можно определить по формуле Fg =pVg. (2) Наличие локального градиента давления приводит к появлению силы, направленной в сторону градиента давления [2, 14]: Fp = -Jpnds = -Jgrad(p)dV и - grad(p)V. (3) s V Градиент давления, создаваемый статическим давлением, grad (p) = - peg . Складывая силу тяжести и силу, вызванную градиентом статического давления, получим силу Архимеда [1] Fa =(р -pe )Vg . (4) Сила сопротивления в однородном потоке газа определяется как [15, 16] C Fd =-CD ndp Pe |v - *e| ( - e ), (5) где CD - коэффициент сопротивления; dp - диаметр частицы, ve - скорость несущей среды, v - скорость центра масс частицы. В потоке с неравномерным распределением скорости ve частица может совершать вращательное движение относительно своего центра масс. При этом в области, где скорость набегающего потока имеет более высокие значения, формируется область пониженного давления, что, в свою очередь, приводит к образованию подъемной силы, так называемой силы Саффмана [17, 18]. Величина этой силы определяется по формуле ^ePe FS = nd2 S 4 р (6) (7) ■(v - Ve )x r°t(Ve ^ !|rot (Ve )| где CS = 0.01 - константа Саффмана. В результате несовпадения угловой скорости вращения частицы, вызванного несимметричным обтеканием, и завихренности обтекающего потока возникает сила Магнуса. Эту силу можно определить следующим образом [1, 17]: F Cm nd2Р |v -ve' FM = -ndpPe' -(C5 -CO e )x(v - ve ), ra-ra„ где Cu = 0.05 - константа Магнуса. Рассмотрим движение частицы диаметром dp , находящейся на наклонной поверхности с углом наклона к горизонту а, обдуваемую воздушным потоком с линейным распределением скорости ve =yy (рис. 1). В качестве сил, действующих на частицу, будем рассматривать силу Архимеда FA (1), подъемные силы Сафмана FS (6) и Магнуса FM (7), силу сопротивления FD (5). Также необходимо учитывать силу реакции опоры FR (FR = max(0, FG cos а - FM - FS) и силу трения Ffr . Рис. 1. Схема движения частицы по наклонной поверхности Fig. 1. Scheme of the particle motion along an inclined surface Сила трения скольжения определяется законом Кулона - Амонтона [19] и может быть определена как - V Ffr,sl = -fslFR 73- . (8) V Сила трения покоя препятствует возникновению скольжения тел. Она направлена противоположно силе, пытающейся вывести тело из состояния равновесия. Величина этой силы изменяется от нуля до максимального значения, которое может быть определено как |Fr,stat| = fstatFR . (9) В уравнениях (8), (9) ffr,sl - коэффициент трения скольжения, fstat - коэффициент трения покоя. В расчетах ffr sl = 0.15, fstat = 0.2 . В результате взаимодействия несущей среды и катящейся частицы возникает пара сил с гидродинамическим моментом равным [1]: MG = -7Г Cfflpd 5 |c5-CD e| (-®e ). (10) 64 Параметр CC, согласно результатам исследований [1, 20], вычисляется в соответствии с корреляцией 12^ + 1284, Reffl=ipHidl. (11) C -JRec Reffl 5 2| v 7 Трение качения происходит при наличии контактной площадки между частицей и опорной поверхностью. В результате реакция опоры смещается в сторону возможного движения и создает момент сопротивления. Максимальное значение расстояния между линией действия реакции опоры и нормалью к поверхности, проведенной через центр масс тела, составляет половину длины площадки контакта. Это расстояние принимают за коэффициент трения качения. Таким образом, предельная величина момента трения качения может быть определена как K,max| = FrS , (12) где 5 - коэффициент трения качения, имеющий размерность длины. В расчетах коэффициент трения качения принимался равным 5 = 0.05dp . Динамика частицы в потоке определяется дифференциальными уравнениями, описывающими движение центра масс, а также вращение частицы [19]: 6 ndp P PlU = 6 nd3 (P P -pe )g sin (a)-^t pe V - ^e ^ ( - ^)- -^ndpVyViepTM - ndppe CC(co-y)Vy + Fr; (13) 1 3 dvy 1 3 , ч Ct 2 6 %dp P P~dk =~ 6 nd (P P -pe )pg cos (a) 8~ %dppe\V - VelVy + 1 ,5 dЮ 15 ^ ,, ч 1 „ , Ю *Jp „-= - C„peaJ 60 dt 64 fflFe pl e,v 2 +^ nd2 (Vx-yy^ViepriY + ^T

Скачать электронную версию публикации