Restrictions on stress components in the top of round cone.pdf Элементы конструкций, содержащие особые точки в виде вершин клиньев, конусов, многогранников, пересечений образующих поверхностей (ребер) и т.п., вызывают большой интерес у исследователей. Подавляющее большинство авторов изучение особенности распределения напряжений вблизи особых точек проводят на основе асимптотической идеи (классический подход). Применяются методы операционного исчисления [1-4], функции комплексного переменного [5], функции Эри [6], интегральные уравнения [7, 8], метод граничных состояний [9], разложение по различным функциям [10, 11], метод конечных элементов [12-16], метод граничных элементов [17, 18]. Математическое обоснование асимптотического подхода изложено в работах [5, 19, 20]. Напряженное состояние вблизи вершин конусов с использованием классического подхода рассматривалось авторами статей [21-26]. В работах [27-33] показано, что достоверность решений, получаемых на основе классического подхода, ограничена областью вне малой окрестности особой точки. Это обстоятельство обусловлено принимаемой в данном подходе моделью точки сплошной среды в виде бесконечно малой частицы [34, 35]. Фактически точкой сплошной среды считается точка с нулевым объемом. В отличие от классического подхода, авторы настоящей статьи точку сплошной среды считают малой частицей в непрерывном пространстве точек (континууме). Геометрическое положение частицы задается точкой континуума (точкой с нулевым объемом), а носителем физических свойств и характеристик состояния (напряжений и деформаций) является присоединенный объем. Присоединенный объем состоит из точек континуума, имеет линейный масштаб, равный характерному размеру представительного объема материала моделируемого элемента конструкции, и обладает физическими свойствами такого представительного объема. Особая точка отождествляется с точкой сплошной среды. В ней становятся определенными параметры состояния. На эти параметры могут быть наложены ограничения (например, граничные условия). Необычность (уникальность) особой точки проявляется в избыточном количестве (по сравнению с обычной точкой границы тела) задаваемых в ней ограничений. Это обстоятельство делает задачу механики для тела с особой точкой неклассической. Неклассические (в указанном смысле) задачи рассматривались в работах [27, 28] (однородные плоские клинья), [30] (составные плоские клинья), [31] (составные пространственные ребра), [32] (внутренние особые точки в плоских элементах конструкций). Для неклассических задач механики упругих тел с особыми точками справедлива теорема единственности при условии существования решения и разработан численно-аналитический итерационный метод его нахождения [29]. В настоящей работе изучаются ограничения на параметры состояния в особой точке, являющейся вершиной кругового конуса. Рассмотрены случаи, когда вблизи вершины задана поверхностная нагрузка, когда боковая поверхность скользит без трения вдоль жесткой поверхности, когда боковая поверхность жестко защемлена и когда вершина конуса является внутренней точкой. 1. Круговой конус, поверхность которого нагружена Рассматривается круговой конус. Угол при вершине А в его осевом сечении принимается равным 2а (рис. 1, а). Вводится правосторонняя ортонормированная система координат x1, x2, x3 с базисом ei (i = 1,2,3). Ось x1 направляется по оси конуса. Через ф обозначен угол, отсчитываемый в плоскости x2, x3 от оси x3 против часовой стрелки (рис. 1, б). Рис. 1. Осевое (а) и поперечное (б) сечение конуса Fig. 1. (a) Axial section and (b) cross section of the cone Для любой точки М (x1, x2, x3) на поверхности конуса справедливы равенства (1) Существуют конечные пределы выражений (1) при стремлении точки М (x1, x2, x3) к вершине конуса вдоль его образующей. В точках поверхности конуса вводится тройка единичных взаимно ортогональных векторов n, m, l . Вектор n является нормальным к поверхности, а векторы m и l лежат в ее касательной плоскости (рис. 1). Эти векторы в базисе et (i = 1,2,3) имеют следующее представление: n = sin аё1 - cos а sin фё2 + cos а cos фё3, m = - cos аё1 - sin а sin фё2 + sin а cos фё3, l = - cos фё2 - sin фё3. Принимается, что на поверхности конуса задана нагрузка, причем непосредственно в вершине (в особой точке) нагрузка осесимметрична и задана равенством Pn = pnn +Tmm +V . (3) Напряжения ст j (i, j = 1,2,3) в особой точке удовлетворяют заданным условиям (3). Это обстоятельство записывается тремя соотношениями: CTjj sin2 a + ct22 sin2 ф cos2 a + ct33 cos10 a cos2 ф_ст12 sin 2a sin ф + +CT13sin2acosф_ст23 sin2фcos2 a = pn, -стп sin a cos a + ct22 sin2 ф sin a cos a + ct33 sin a cos a cos2 ф + +ct12 cos 2a sin ф_ст13 cos 2a cos ф_ст23 sin 2a sin a cos ф = Tm, (4) ct22 sinфcosфCOSa_CT33 sinфcosфCOSa_CT12 cosфsina-_ct13 sin a sin ф - ct23 sin a sin2 ф - ct32 cos a cos2 ф = т. Равенства (4) должны выполняться при любых значениях ф . Из этого условия следует, что они совместны лишь в случае, когда компонента нагрузки хг обращается в нуль, а компоненты напряжений стj подчиняются условиям СТ12 = 0 СТ13 = 0 СТ23 = 0 СТ22 =СТ33; (5) CTjj sin2 a + ст22 cos2 a = pn, (6) -стп sin a cos a + CT22 sin a cos a = xm. Система уравнений (6) имеет решение CT11 = pn -Tm ctga, CT22 =CT33 = pn + Tm tga. (7) Равенства (5), (7) полностью определяют напряженное состояние в вершине конуса. Задано шесть ограничений на компоненты напряжений. Задача механики деформируемого тела оказывается неклассической, так как в обычной (не особой точке) задаются три ограничения. Формулы (7) для вычисления напряжений ctjj, ст22, ст33 могут быть получены также и методом сечений, примененным к элементу конуса с центром в его вершине. Это обстоятельство подтверждает согласованность используемого авторами подхода с классическими приемами исследования напряжений в деформируемых телах. Сдвиг у между указанными в п. 1 направлениями выражается равенством Y = sin2а(еп - е22 sin2 ф - е33 cos2 ф + е23 sin2ф). (8) При построении равенства (8) использовалась формула Y sin Р = [2еГр - (Пк +Пp )Srp ]krtp, (9) определяющая сдвиг y в произвольной точке сплошной среды между направлениями k , t и углом р между ними. В формуле (9) обозначено nk , - относительные удлинения в точке сплошной среды в направлении ортов k , t соответственно, 5rp - координаты метрического тензора. В рассматриваемой задаче sin 2а Ф 0, поэтому из равенства (8) следует зависимость между компонентами деформаций: еп -е22 sin2 ф-е33 cos2 ф + е23 sin2ф = 0, (10) которая должна выполняться независимо от ф , вследствие чего справедливы соотношения S23 = 0, 811 = 822 = 833. (11) Обратимся к касательным напряжениям Tm и тп. Эти компоненты через напряжения в вершине выражаются формулами (4). Так как е23 = 0, то из физических уравнений следует, что и ст23 = 0. Второе из равенств (4) примет вид 0^ш2а(-стп +ст22 sin2 ф + ст33 cos2 ф) + cos2а(ст12 sinф-ст13 cosф) = 0. (12) Это равенство должно выполняться при любых значениях ф, вследствие чего получаем СТ12 = 0 СТ13 = 0, СТ11 =СТ22 =СТ33. (13) Третье равенство (4) при выполнении равенств (13) удовлетворяется тождественно. Равенства (13) и (11) задают пять независимых ограничений в вершине конуса. Задача механики деформируемого тела является неклассической. Первое из условий (4) определяет компоненты вектора напряжений Рп =СТ11 =СТ22 =СТ33. Пример. Рассматривается круговой конус, закрепленный так, что его боковая поверхность и основание могут скользить без трения вдоль жесткой поверхности. Конус подвергается однородной температурной нагрузке AT . Приняты обозначения E - модуль Юнга, v - коэффициент Пуассона, ю - коэффициент температурной деформации. Перемещения ut = 0, i = 1,2,3 (ut - компоненты вектора перемещений) и значения напряжений _ oiATE СТ12 = СТ13 = СТ23 = 0 СТ11 = СТ22 = СТ33 = - , - (14) 1 - 2v во всех точках конуса, включая вершину, удовлетворяют всем уравнениям линейной термоупругости и граничным условиям, т.е. являются решением данной задачи, что согласуется с приведенными выше результатами. 3. Круговой конус с защемленной боковой поверхностью Пусть боковая поверхность кругового конуса вблизи вершины жестко защемлена. Тогда в представительном объеме (особой точке) выполняются условия: 1) относительное удлинение линейного элемента вдоль любой образующей конуса обращается в нуль; 2) сдвиг между линейными элементами в направлении образующих в любом осевом сечении конуса равен нулю. Условие 1) запишется равенством (15) S\\ cos2 a + е22 sin2 a sin2 ф + e33 sin2 a cos2 ф + +6\2 sin2asinф - е13 sin2acosф - e23 sin2 asin2ф - 0. Равенство (15) должно выполняться независимо от значения ф , что возможно лишь при условиях S\2 - 0, S\3 - 0, S23 - 0, S22 - ^33, +^22 + ^33 - 0. (16) Условие 2) совпадает с равенством (10), из которого следует выполнение зависимости (11). Из равенств (11) и (16) получаем, что в особой точке выполняются соотношения S\\ - S22 - S33 - (17) Таким образом, деформированное состояние в вершине конуса полностью определено. Задача механики деформируемого тела является неклассической. В частности, при температурной нагрузке из физических уравнений получаем напряжения в особой точке: roATE ст1у - 0 (1 Ф j). (18) - ^ОО - - 1 - 2v 4. Составной конус (внутренняя коническая точка) Рассматриваются два конуса 1 и 2 с общей вершиной А (рис. 2). Конусы скреплены по боковым поверхностям. Приняты обозначения: aj),...Ek,... (k = 1, 2). Индекс «k» указывает конус, которому отвечает данный параметр. Рис. 2. Осевое сечение составного конуса Fig. 2. Axial section of the composite cone Параметры состояния представительных объемов (особых точек) в вершинах конусов подчиняются ограничениям: 1) относительные удлинения линейных элементов, исходящих из точки А в направлении общей образующей конусов, совпадают при любом ф (вводится на рис. 1, б): n® _nL2); (19) 2) суммарное изменение углов ВАС (острого y1 и тупого y2) в любом осевом сечении конуса равно нулю: Y1 +Y2 _ 0; (20) 3) касательные и нормальные напряжения на площадках, ориентируемых ортом n , совпадают при любом значении ф : ст(1) _а(2) х(1) _х(2) т(1) _т(2) (21) n n > m m > i i • Далее вводятся обозначения: j , a® _af _Zij, (22) с использованием которых условие (19) запишется в виде cos2 a + |22 sin2 a sin2 ф +133 sin2 a cos2 ф + +|12 sin2asinф_|13 sin2acosф_|23 sin2 asin2ф _ 0. (23) Равенство (23) должно выполняться при любых значениях угла ф , вследствие чего из него следуют условия для деформаций: ^12 _ 0, ^13 _0, ^ _0, |22 _^33, +|22 +^33 _ 0. (24) Условие (20) с использованием формулы (9) и обозначений (22) запишется равенством _^22 sin2 ф_|33 cos2 ф + |23 sin2ф _ 0. (25) Это равенство должно выполняться независимо от ф , поэтому из него дополнительно к (24) следует ^11 22 _ ^33 . (26) Из равенств (24) и (26) получаем, что в вершине конуса все параметры ^ обращаются в нуль. Это означает, что все компоненты деформаций в вершине конуса непрерывны. Первые два условия (21) с использованием обозначений (22) приводятся к виду 2 г 2 2 Zn sin a + Z22sin фCOS a + Z33cos a cos ф_ _Z12 sin2asinф + Zb sin2acosф_Z23 sin2фcos2 a _ 0, _Z11sin a cos a+Z 22 sin ф sin a cos a + Z33sin a cos a cos ф_ _Z12 cos2a sin Ф_Z13 cos 2a cos ф_Z 23 sin 2a sin a cos ф _ 0, Вследствие того, что эти равенства должны выполняться при любых значениях Ф, из них следует Zj = 0, i, j = 1,2,3, (27) т.е. напряжения в вершине конуса непрерывны так же, как и деформации. Третье из равенств (21) не накладывает новых ограничений на компоненты напряжений. С применением физических уравнений условия непрерывности деформаций в особых точках запишем через напряжения: ( E2, M v1 E1 E 2) к-V i E 2 ) ) c33 : = Q, - f ^ - V E1 v 2 N E 2. )с„ +1 v 1 ^ -f £ v 2 E 2 ) c33 = Q, - V E1 v 2 ^ E 2. H V E1 v2 4 E 2, Ь2+f E ) c33 = Q, G1 -G^ | C12 - ( Л - Л, )c13 = 0, f Л - Л ^ c23 = 0. (28) (29) В этих равенствах Gk , rok (k = 1, 2) - модули сдвига скрепляемых конусов и коэффициенты температурной деформации, CTj = cjk) (k = 1, 2) вследствие непрерывности напряжений в вершине конусов, Q = (ю1 - ro2)AT . Изучим решения систем уравнений (28), (29). 0пределитель матрицы системы уравнений (28) вычисляется по формуле A = (eV] [(1+ V1) - E1 (1 + v2)]2 [[(1 - 2V1) - E1(1 - 2v2)]. (30) В зависимости от сочетания материальных параметров возможны варианты. 1. A Ф 0. Из этого условия следует, что G1 Ф G2, поэтому уравнения (28), (29) имеют единственное решение QE1E2 = С22 = С33 = J-, ,, . ч ,7П п ч , С12 = С13 = С23 = (31) E2(1 - 2 V1) - E1 (1 - 2 v 2) При этом напряженное состояние в вершине конусов полностью определено. Видим, что в дополнение к условиям (27), вытекающим из принимаемых в классической постановке условий непрерывности (21), дополнительно в вершине составного конуса должны выполняться равенства (31). Следовательно, рассматриваемая задача механики деформируемого тела является неклассической. Из решения (31) видно, что сочетание параметров E2(1 - 2 v1) - E1 (1 - 2 v 2) = 0 (32) является критическим, так как в этом случае напряжения с j ( i = 1, 2, 3) обращаются в бесконечность. 2. A = 0. Причем E2(1 - 2v1) - E1 (1 - 2v2) = 0, E2(1 + v1) - E1(1 + v2) Ф 0. (33) Ранг системы уравнений (28) равен двум. Ранг расширенной матрицы равен двум, если Q = 0, и трем, если Q Ф 0. Поэтому реализуются варианты: а) Q = 0. Напряжения Сту ( i = 1, 2, 3) подчинены ограничениям (так как в данном случае G1 ф G2 ) СТ11 = СТ22 = СТ^ ст12 = СТ13 = СТ23 = Q. (34) Эти ограничения на компоненты напряжений оказываются дополнительными к ограничениям (27), поэтому задача механики деформируемого тела в данном случае является неклассической. б) Q Ф 0. Уравнения (28) несовместны. При температурной нагрузке выполнение равенств (33) обусловливает сингулярное поведения решения в вершине конусов. 3. Д = 0. Причем E2(1 -2v1)-E1 (1 -2v2) Ф 0, E2(1 + v1)-E1(1 + v2) = 0. (35) Ранг матрицы системы уравнений (28) равен рангу расширенной матрицы и равен единице. Уравнения совместны. Между напряжениями справедлива зависимость ст +ст +ст QE1 e2 СТ11 +СТ22 +СТ33 = -Т,-ъ-. E2 V1 - E1V 2 Это ограничение на компоненты напряжений является дополнительным к ограничениям (27), задача механики деформируемого тела неклассическая. В данном случае G1 = G2, поэтому каких-либо ограничений на компоненты стгу (i Ф j) не накладывается. 4. Д = 0. Причем, E2(1 - 2 v1) - E1 (1 - 2 v 2) = 0, E2(1 + v1)-E1(1 + v2) = 0. (36) В этом случае модули Юнга и коэффициенты Пуассона конусов совпадают. Ранг системы уравнений (28) равен нулю. Ранг расширенной матрицы зависит от значений коэффициентов температурной деформации. Если материалы конусов идентичны, особая точка отсутствует. Дополнительных условий на компоненты напряжений не существует. Задача механики деформируемого тела является классической. Когда ранг расширенной матрицы равен единице, уравнения (28) несовместны. Особая точка является точкой сингулярного поведения решения. Заключение На основе представления точки сплошной среды в виде малой частицы, определяемой точкой континуума и присоединенным объемом, изучены ограничения на компоненты напряжений в вершине кругового конуса. Рассмотрены случаи, когда конус проскальзывает без трения вдоль жесткой поверхности, контактирует с жесткой поверхностью без проскальзывания или подвергается силовому воздействию вблизи вершины. Показано, что во всех случаях количество ограничений на параметры состояния в вершине конуса превышает количество ограничений в обычных граничных точках. В частности, при любой поверхностной нагрузке напряжения в вершине полностью определены. Это означает, что задачи механики деформируемого тела для кругового конуса должны рассматриваться как неклассические. Установлены ограничения на компоненты нагрузки, обеспечивающие корректность постановки таких задач. Изучены особенности напряженного состояния в вершине конуса, когда она является внутренней особой точкой среды. Показано, что параметры состояния во внутренней особой точке непрерывны. Приведенные результаты найдут применение при постановке неклассических задач в исследованиях напряженного состояния вблизи вершины кругового конуса. В частности, при изучении взаимодействия конических инденторов с образцами.

Скачать электронную версию публикации