Estimation of the reliability of a rectangular frame made of the porous metal in terms of its rigidity on the basis of p.pdf Пористые материалы получают в настоящее время все большее распространение в связи с целым рядом их специфических свойств. Одним из таких свойств является повышенная удельная прочность по сравнению со сплошными материалами. Следует также отметить, что при работе конструкций при видах нагруже-ния, дающих неравномерное распределение напряжений по сечению (например, при изгибе), в зонах с низким уровнем напряжений целесообразно выполнить конструкцию с переменной по сечению пористостью [1, с.122]. Следует заметить, что наличие пористости в материале нарушает основной постулат механики деформируемых твердых тел - гипотезу сплошности. Выходом из сложившейся ситуации является условное принятие пористого материала сплошным, но с корректированными на пористость свойствами [2, с.165]. Полагая в дальнейшем использование в качестве исполнительного материала пористую сталь, выразим основную механическую характеристику (модуль Юнга) в виде формулы [1, с.122] E = a + a2 P + a3 P2, (1) где P - пористость, а коэффициенты ax, a2, a3 получены следующими: a = 209285.7143 МПа, a2 = -535000 МПа, a3 = 321428.5714 МПа. (2) Модуль Юнга для сплошного материала равен E = 210000 МПа. Рассмотрим прямоугольную симметричную раму, нагруженную двумя одинаковыми усилиями G , приложенными в узлах и ориентированными по осям стоек рамы (рис. 1). Материал рамы - пористая сталь; Бх, B2 - изгибные жесткости стоек и ригеля соответственно. 1 G G B2 Bi Bi l l 2 Рис. 1. Схема нагружения портальной рамы Fig. 1. Loading condition for a portal frame Полагаем, что нагрузка являет собой нормальный стационарный случайный процесс. В этом случае мерой надежности является вероятность того, что за время эксплуатации T действующая нагрузка G ни разу не превысит критической, то есть надежность по устойчивости будет равна [3, с.58] G kr,-)dGdt T да -ffG f (G H = exp (3) 0 0 Для нормального стационарного процесса G(t) выражение (3) примет вид H = exp ^ (Gkr - mG ) 2ctG (4) exp При нагрузке G = Gkr возможны две формы потери устойчивости - симметричная и асимметричная. При реальном проектировании рам отмечено, что наиболее вероятной формой потери устойчивости является асимметричная, которая в дальнейшем принята за основную. Следуя [1], зададим корреляционную функцию в виде (5) KG (т) = ctGе~а|т| (cos Рх + в sin р|х|). На основании (5) выражение (4) примет вид (Gkr - mG ) 2ctg Ty/a2 +р2 H = exp Hnorm, где Hnorm - нормативная надежность. К решению детерминистической задачи устойчивости и поиска критической силы Gkr подходим с энергетических позиций. Аппроксимируем асимметричную форму потери устойчивости рамы ее упругой линией от горизонтальной силы Q, приложенной к ригелю. Раскрывая статическую неопределимость, построим эпюру изгибающих моментов от действующей силы Q (рис. 2). Рис. 2. Эпюра изгибающих моментов от поперечной нагрузки Fig. 2. Bending-moment diagram due to the shear load На рис. 2 M* = Q[[ -kl2], M** = Q2, k = 1 (7) 211 2J' 4Bl U2 V2 2 B1 12 B2 Функция изгибающих моментов на стойках при отсчете снизу имеет вид M1 = Q [[ - kl2 - ]. (8) Функция изгибающих моментов на ригеле, отсчитываемых слева, имеет вид M 2 = ^ [[ - 2 Z2 ]. Потенциальная энергия изгиба рамы равна ' MI dz ( 6] M2 dz '0 2BT" Подставляя (8) и (9) в (10) и выполняя интегрирование, получим (9) U = 2 f M1dz + f Jin J (10) 0 2 B1 Для определения вертикальных смещений точек приложения сил G предварительно найдем угол поворота стойки 6 . Для этого приложим к основной системе единичный момент (рис. 3) в произвольном сечении z и построим эпюру изгибающего момента M. 1 M z Рис. 3. Нагружение единичным моментом Fig. 3. Load by a single moment Для определения угла поворота в сечении z запишем формулу интеграла Мора 1 г _ 6=- |M1 -Mdz . B1 0 Подставив в (12) функции M1, M , получаем 6 = BfQ[/1 -kl2-Z1 ]1-dz , B1 0 2 что после интегрирования дает функцию 6= Q (13) ((1 -kl2 )z-- 2B1 Соответственно (13) вертикальное перемещение точки приложения силы G равно 5 = 1 f 62 dz = Q2- J (l1 - kl2)2113 - (l1 - kl2)l14 + ll . (14) (12) 2 0 8B2 [ 3 4 20 J У ' Работа, совершаемая двумя силами G на перемещении 5 , равна (l1 kl2 I1 Q2g 4B12 A = 2G5 = (А -Щ) (15) 20 Полагая G = Gkr и приравнивая работу сил Gkr потенциальной энергии де формации, получаем Gkr =- B " 1' l^ (l^ kl2 )kl2 + + k 2l3 B2 6 B2 (h _kl2) " i3 i4" (h _kl2)-3-_ +L 20 Для дальнейшего примем профиль поперечного сечения в виде прямоугольника. Полагая, что нейтральной осью при изгибе будет ось х и учитывая целесообразность увеличения пористости при приближении к оси х, представим закон распределения пористости по высоте сечении в виде квадратной параболы (рис. 4): (17) P = P"11 _ F У Здесь P0 - пористость в центре тяжести сечения, обусловленная техническими возможностями производства. У h P Po x b Рис. 4. Распределение пористости по высоте сечения Fig. 4. Distribution of the porous along the cross-section На основании (1) и (17) распределение модуля Юнга по высоте поперечного сечения будет следующим: (16) E (y) = a + a2 Po 1 _ f у 2 ' _ f у 2 + аз Po2 (18) Параметр B жесткости бруса при изгибе представится формулой h 2 B = 2b j E(y)y2 dy, 0 что при использовании (18) дает B = bjh--(a1 + a2P0 • 0.2 + a3P02 • 0.114285). (19) В качестве примера расчета рассмотрим раму, для которой lx = l2 = l = 3 м, сечение - квадрат b х h = 10 х 10 см. Рабочая нагрузка G с математическим ожиданием mG = 810 кН. Среднее квадратическое отклонение нагрузки ctg = 80 кН. Материал - сталь пористой структуры с характеристиками (2), P0 = 0,4 . Параметры случайного процесса: а = 0.31, р = 0.41. Срок эксплуатации рас с мы T = 10 лет =315106 с. Нормативная надежность Hnorm = 0.999 . Расчет параметра жесткости по формуле (19) дает B = B2 = Bpor = 1713.2863-10-3 МН• м2. Расчет критической силы для пористой конструкции дает значение B Gkr.por = 7.446-^ = 1417.46•Ю-3 МН. Для определения надежности рамы по устойчивости подставим расчетные данные в формулу (6), получим rr f 315 40® л/0,32 + 0,42 Hpor = exp j--2^-exp (1417.46 - 810)2 2 • 802 = 0.99992 Полученная надежность Hpor = 0.99992 > Hnorm = 0.999, то есть эксплуатационная надежность рамы обеспечена. В качестве сравнительного анализа рассмотрим ту же раму, но выполненную из сплошного материала. Решение этой задачи при тех же параметрах было получено в [4]: FI Fbh3 G,, = 7,446- = 7.446^- = 1448 •Ю-3 МН. krspl l2 12l2 Надежность для сплошного профиля сечения по формуле (6) будет равна Hspl = 0.9999996 > Hnonn = 0.999. Как видим, надежность пористой рамы незначительно ниже сплошной, что не влияет на ее эксплуатацию. Соотношение критических сил обеих рам следующее: Gkr.por = 1417.46 = 0.98. Gkrspl 1448 G Детерминистические коэффициенты запаса рам равны ny = -kL. G 1448 178 nspl =-= 1.78, spl 810 1417 175 nv =-= 1.75 . y 810 Как видим, наличие пористости снижает показатели устойчивости не более 2 %. Для оценки справедливости используемых расчетных приемов заменим раму условной стойкой и определим ее гибкость. Запишем формулу Эйлера для условной стойки EI = B : P = 7.446 * (ц/)2 /2 откуда получаем коэффициент свободной длины ц = J-^- = 1.15. V 7.446 Гибкость условной стойки равна Ц/ Ц/ X=где Ipr = -B - приведенный момент инерции сечения, A = b х h - площадь сечения. = 17132863.101 = 815.85 ,ш-8 м4. Р 2.1-105 A = 100 см2 =100 -10-4 м2. X = ^^ = 121 815.85 100 Найденное значение X = 121 > X pred = 100, следовательно, предложенное решение приемлемо. Как видим из расчетов, наличие пористости при надлежащем ее выборе практически не снижает надежности конструкции. Оценим теперь материалоемкость обеих рам, для чего подсчитаем площадь пор в сечении пористой рамы h h Apor = b - 2JP(y)dy = 2bP0 J f1 -4y21 dy = 0.266666bh . 0 0 ^ h ' Asp1 = b - h - площадь сплошного сечения. Находим процент экономии площадей д % = Al . 100% = -100 % = 26.7 % . Api 1 Итак, при снижении несущей способности рамы пористой структуры лишь на 2 % имеем выигрыш в расходе материала 26.7 %, что свидетельствует о целесообразности выполнения конструкций из пористых материалов.

Скачать электронную версию публикации