Reduction of the acoustic inverse problem to an optimal control problem and its investigation.pdf В прямых задачах математической физики стремятся найти функции, описывающие различные физические явления. При этом свойства исследуемой среды предполагаются известными. Однако свойства изучаемой среды часто являются неизвестными. Тогда возникают обратные задачи, в которых по информации о решении прямой задачи требуется определить коэффициенты уравнений. Эти задачи в большинстве случаев некорректны. С другой стороны, искомые коэффициенты уравнений являются важными характеристиками изучаемых сред. Поэтому исследование таких обратных задач математической физики очень важно как с теоретической, так и с практической точки зрения [1-5]. Для изучения обратных задач одним из мощных средств является оптимизационный метод [1]. Идея использования методов теории оптимального управления для решения обратных задач принадлежит А.Н.Тихонову [6]. С библиографией работ, посвященных оптимизационному методу решения обратных задач, можно ознакомиться в работах В.Г.Романова, С.И. Кабанихина [7, 8]. Одной из важных обратных задач является обратная задача акустики [2, 9]. В работе [2] одномерная обратная задача акустики сводится к нахождению решения системы интегральных уравнений. В данной работе для одномерного уравнения акустики ставится коэффициентная обратная задача, которая сводится к задаче оптимального управления и далее исследуется методами теории оптимального управления. 1. Постановка задачи Рассмотрим задачу определения пары функций (u (х,t), o(х)) из следующих соотношений: ди-|j + и(х)ди = f (х,t),(х,t) е Q ,(0,/)х(0,T); (1) St2 дх2 дх , , , , ди(х,0) , , и (х,0) = и0 (х), -= и1 (х), 0 < х < L; (2) fix. = 0, дии = 0,0 < t < T; (3) дх дх и (х, T ) = g (х), 0 < х < t, (4) где t > 0, T > 0 - заданные числа, и (х, t) - акустическое давление, o( х) - функция, которая выражена через функции плотности среды и скорости распространения волн в среде [2]. Если функции o(х), f (х,t),и0 (х),и1 (х) заданы, то получаем прямую задачу (1)-(3)определения функции и (х,t). Если o(х) - неизвестная функция, мы дополнительно зададим условие (4). Тогда получается обратная задача (1)-(4) определения пары функций (и (х, t), o( х)). Предположим, что f е L2 (Q), и0 е W2, [0,1], и1 е L2 (0,1), g е W2, [0,1] - заданные функции. Задачу (1)-( 4) приводим к следующей задаче оптимального управления: найти такую функцию o( х) из множества: V = jo (х) е W1 [0, £]: |u(х)| < M1, |u' (х)| < M2 почти всюду на [0, £] j, (5) которая доставляет минимум функционалу 1 1 J(o) = - I [и(x,T;o)-g(х)] dx (6) 20 при ограничениях (1) - (3), где и(х,t;o) - решение задачи (1) - (3) при о = о(х), M1,M2 > 0 - заданные числа. Эту задачу назовем задачей (1)-(3),(5),(6). Функцию o(х) назовем управлением, а V - классом допустимых управлений. Отметим, что если min J (o) = 0, то дополнительное условие (4) выполняется. oeV Под решением краевой задачи (1)-(3) при каждом фиксированном управлении o е V будем понимать функцию из W2, (Q), равную и0 (х) при t = 0 и удовлетворяющую интегральному тождеству г -ди_ S^ + Sm дп+оди п dxdt -I и1 (х )n(x,0)dx =If п dxdt (7) Q L St dt дх дх дх J 0 Q при всех п=п(х,t)из W2, (Q),равных нулю при t = T. Из результатов работ [10, 11] следует, что при принятых условиях краевая задача (1)-(3) при каждом фиксированным ueV имеет единственное обобщенное решение из W2, (Q) и справедлива оценка IMk (Q) - c [I U1 k[0,/] +1 \UAL2 (0,1) +1 fk (Q)] . (8) Кроме того, это решение обладает свойствами и е C([0,T]; W' [0,/]), ) е C([0,T];L2 (0,1)). Здесь и в дальнейшем через с будем обозначать различные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин и допустимых управлений. 2. О разрешимости задачи (1) - (3), (5), (6) Теорема 1. Пусть выполнены условия, принятые при постановке задачи (1)-(3),(5),(6). Тогда множество оптимальных управлений этой задачи V,=jo,eV: J (u„) = min J (и)} непусто, слабо компактно в W2: [0, £] и любая ми- (. ueV ) нимизирующая последовательность jun} слабо в W2, [0, £] сходится к множеству V,. Доказательство. Ясно, что множество V, определяемое соотношением (5), слабо компактно в пространстве W2, [0, £]. Покажем, что функционал (6) слабо в W1 [0, £] непрерывен на множестве V. Пусть ueV - некоторый элемент, ju„} с V- произвольная последовательность, такая, что un ^ u слабо в W2, [0,£] при n ^да. Отсюда из компактности вложения W2: [0,£] ^ C[0,£] [10, с. 84] следует, что un -^ u сильно в C [0, £]. (9) В силу однозначной разрешимости краевой задачи (1)-(3) каждому управлению un eV соответствует единственное решение ип = и (x,t;un) задачи (1)-(3) и справедлива оценка ||un||W1(Qc,Vn = 1,2,..., т.е. последовательность jun} равномерно ограничена по норме пространства W2, (Q). Тогда из теорем вложения [10, с. 64, 71] следует, что из последовательности можно выделить подпоследовательность ju }, такую, что при к -да и - и сильно в L2 (Q); (10) dunk du du -- - -,-- - - слабо в L2 (Q); (11) dt dt dx dx Unk 11=0 - u 11 =0 , unkl t=T - Ult=T сильно в L2 (0, t) , (12) где и = и(x,t)eW2:(Q)-некоторый элемент. Покажем, что и(x,t) = и(x,t;u),т.е. функция является обобщенным решением задачи (1)-(3), соответсвующим при всех n=n( x, t) из W2j (Q), равных нулю при t = T. Переходя к пределу в (13)при к - даи используя (9)-(12),получим, что функция u (x,t) равна u0 (x) при t = 0 и удовлетворяет тождеству (7). Отсюда и из единственности решения задачи (1)-(3), соответствующего управлению ueV , следует, что и (x, t) = и (x, t; u). Используя единственность решения задачи (1)-( 3), соответствующего управлению ueV, легко проверить, что соотношения (10) - (12) справедливы не только для подпоследовательности ju }, но и для всей последовательности jun}. Следовательно, в частности, справедливо предельное соотношение un|t=T - u|t=T сильно в L2(0,£) при n - да. Используя это соотношение, из (6) получаем, что J(un) - J(u) при n - да, т.е. J(u) слабо в W2j [0,£] непрерывен на множестве V. Тогда в силу теорем 2 и 4 из [12, с. 49, 51] получаем, что справедливы все утверждения теоремы 1. Теорема 1 доказана. Для обеспечения единственности решения задачи оптимального управления вместо функционала (6) можно рассматривать функционал вида 1 (u) = J(u) + a||u-ro||W2J[0,,], (14) 0 где J (u) определен равенством (6), a> 0 - заданное число, roe W2j [0,1] - заданная функция. Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и a > 0. Тогда существует плотное подмножество G пространства W2j [0, £], такое, что для любой roe G задача минимизации функционала (14) на множестве при условиях (1)-( 3) имеет единственное решение. Доказательство. Функционал J(u) ограничен снизу и в силу теоремы 1 непрерывен на V. Кроме того, множество V замкнуто и ограничено в равномерно выпуклом банаховом пространстве W2j [0,£]. Тогда из результатов работы [13, с. 372-373] следует утверждение теоремы 2. Теорема 2 доказана. 3. Дифференцируемость функционала (6) Теперь исследуем дифференцируемость функционала (6). Пусть у = x, t; u) - обобщенное решение из W2j (Q) сопряженной задачи f-S4(-> = °,('«>eQ, управлению ueV. Ясно, что справедливы тождества dunk Sn]dunk dn , u (x)dunk dt dt dx dx Пк dx Q dxdt-JUj (x)n(x,0)dx =|fndxdt (13) ш|t=T = 0, ^=T = u(x,T;o)-g(x), 0 < x< I; (16) 9ш1 x=0 = 0, x=, = 0,0 < t < T. (17) дх дх Под обобщенным решением краевой задачи (15)-(17) при каждом фиксированном управлении oeV будем понимать функцию m = m(х,t;o) из W2, (Q), равную нулю при t = T и удовлетворяющую интегральному тождеству i dxdt = -|[u (х, T; o)-g (х )]ц(х, T )dx (18) 0 при всех ц = ц(х,t) из W2, (Q),равных нулю при t = 0. Из результатов работ [10, 11] следует, что краевая задача (15)-(17) при каждом фиксированном oe V имеет единственное обобщенное решение из W2, (Q) и справедлива оценка IM Iw2(q )< сЫ=t - g|L 2(с,/). Учитывая здесь оценку (8) и неравенство ||u|t=T|L2(о^)< cI|u||w21(q) [10, c. 70], получим Ikl W (q ) Теорема 3. Пусть выполнены предполагаемые выше условия на данные задачи (1)-(3),(5),(6). Тогда функционал (6) непрерывно дифференцируем по Фреше на V и его дифференциал в точке oeV при приращении 5oeW2[0,£\ определяется выражением (J '(o), = J-ySodxdt. (20) Q дх Доказательство. Рассмотрим приращение функционала (6): t 1 t AJ (o) = J (o + 5o)-J (o) = J[u (x, T; o)- g (x )]5u (x,T )dx + - J(5u (x, T ))2 dx, (21) 0 2 0 где 5u(x,t),u(x,t;o + 5o)-u(x,t;o), а u(x,t;o + 5o) и u(x,t;o) - решения задачи (1) - (3), соответствующие управлениям o + 5o, oeV. Ясно, что функция 5u (х, t) является обобщенным решением из W2, (Q) краевой задачи 925м 925и , „ ч 95и „ ди , , ^ -- --- + (o + 5o)- = -5o-, (х,t)е Q ; (22) 9t 9х дх дх 5и 11=0 = 0, ^^ = 0,0 < х < I; (23) 9t 9|U = 0, 95U|x=, = 0,0 < t < T. (24) дх дх 9м 9ц 9м 9ц 9ц т г~+ т + om-- 9t 9t дх дх дх Q < сLllu0IIw21[0,^] + 1Ы12(0,/) +1 A\l2(q) +1 glk[0,,]]. (19) Обобщенное решение из W2j (Q) задачи (22) -(24) равно нулю при t = 0 и удовлетворяет интегральному тождеству 55u on 35u 5n / ~ ч 55u ------L-(u + 5u)-n dt dt dx dx dx dxdt = IJu-ndxdt Q & (25) при всех n = n(x,t)eW2J (Q), равных нулю при t = T. Как для решения задачи (1)-( 3), для решения задачи (22)-(24) справедлива оценка INU (q )- c ~ du ou- dx J|S - c u Lb (26) u L-лг, L2 (Q) Если в (18)положим ц = 5и(x,t), а в (25) - n = y(x,t;u) и сложим полученные соотношения, то имеем f[u (x, T; u)-g (x)]5u (x, T )dx = f-ySudxdt + fy-^^iudxdt. J J dx ^ dx (27) dx 0 Учитывая это равенство в (21), имеем AJ (u) = J--у Sudxdt + R, dx где R = Oudxdt + -J(5u (x,T ))2 dx - остаточный член. Q 5x 20 Ясно, что выражение в правой части (20) при заданном ueV определяет линейный функционал от 5u. Кроме того, - cIIUIIw2'(Q) l|y|IW2'(QJHIW2'[0/]. f-yOudxdt J pjY . dx Учитывая здесь оценки (8), (19), получим ограниченность по 5u функционала в правой части (20). Теперь проведем оценку остаточного члена R, входящего в (27). Используя неравенство Коши - Буняковского получим llou k[0,,]+ -I |Su (x,T ))2 55u |R| -IHI Il-Cq) il2(0,^) ' dx L-(Q) Учитывая здесь теоремы вложения W2j (Q) - L2 (0,t) [10, с. 70], т.е. оценку ll8u(x,Tl2(0,£) - cINwj(q) и оценку (26), полУчим, что R = оIw21[0,^]). Тогда из (27) следует, что функционал (6) дифференцируем по Фреше на V и справедлива формула (20). Покажем, что отображение u - J'(u), определяемое 0 равенством (20), непрерывно действует из V в сопряженное к W- [0,£] пространство W2-j (0,1). Пусть 5ш(х,t) = ш(х,t;o + 5o)-m(х,t;o). Из (15)-(17) следует, что 5ш(х,t) является обобщенным решением из W2, (Q) краевой задачи 925m 925m 9 2 я. 2 -д:[(o+5o)м]=l^(м5o), (x,t)е Q, 2 дх дх дх 95m i 95m i = 0, (28) (29) 9t 95m i 5MIt=T = 0, L=T =5u (x,T), 0 < x < t, 9t = 0, 0 < t < T. дх дх Аналогично (19), для решения этой задачи справедлива оценка INIw21(Q) < с [ll5u (x, T^L2(0,^) +ll5ol. В силу ограниченности вложения W2, (Q) ^ L2 (0,1) [10, с. 70] из последнего не равенства получим, что IMIw21 (Q) < С [II5mIIw21 (Q) +ll5°lw2l[с,^]]. Тогда из (26) и (28) следует оценка INIw21(q)< ClМW^,/]. Используя (20) и неравенство Коши - Буняковского, имеем < ди 95м ini l2 (q) l2 (q) 2q ] дх + L2 (Q) дх 95м ||J '(o + 5o)-J '(o)||w2>,,) ML(Q )+II5mIl2 (Q) 9х < с L2 (Q ) В силу (26) и (29) отсюда получаем оценку ||J '(o + 5o)-J '(o)| < L ll5o| Iw2[0,^] , (30) где L - констата Липшица. Отсюда следует, что o^J' (o) есть непрерывное отображение из V в W2-1 (0,1). Теорема 3 доказана. 4. Необходимые условия оптимальности и формула для градиента функционала (6) Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для оптимальности управления o*(x)eV в задаче (1)-(3),(5),(6) необходимо, чтобы выполнялось неравенство •дм, (х, t) (31) I "Ш* (х, t)(o(x)- o* (х)) dxdt > 0 дх для любого o = o(х)eV, где м*(х,t) = u(х,t;o*), ш*(х,t) = ш(х,t;o*) - решения задач (1)-( 3) и (15)-(17) соответственно при o = o*( х). Доказательство. Множество V, определяемое соотношением (5), выпукло в W21 [0,4 Кроме того, согласно теореме 3, функционал J(o) непрерывно дифференцируем по Фреше на V и его дифференциал в точке ueV определяется равенством (20). Тогда в силу теоремы 5 из [12, с. 28] на элементе u,eV необходимо выполнение неравенства J'(u„),u-u„)>0 при всех ueV. Отсюда и из (20) следует справедливость неравенства (31) при всех ueV. Теорема 4 доказана. Теперь покажем, что можно получить формулу для градиента функционала (6). Введем следующую краевую задачу об определении функции у, = у, (x;u) из условий 2 +у, = f (x),0 < x < £ ; d у, d 2у, dx d у, (32) (33) dx = 0, dx f (xHf-у^ [4]. где Под решением задачи (32), (33) при заданном ueV будем понимать функ цию у, = у, (x;u) из W- [0,1\, удовлетворяющую интегральному тождеству dx = J fndx d у, dn dx dx f (34) +у,п при любой функци n = n(x) из W2j [0,£\. Отметим, что решение задачи (15) - (17) при фиксированном ueV обладает свойством уeC([0,T];W2j[0,£]], поэтому она эквивалентна непрерывной функции и, следовательно, ограничена на Q. Тогда правая часть уравнения (32) принадлежит L2 (0,£) и краевая задача (32), (33) однозначно разрешима в W- [0,£] [14, с. 184]. Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда градиент функционала (6) в произвольной точке ueV определяется выражением J'(u^, (x;u). (35) Доказательство. Пусть u, u + 5u e V - произвольные управления, где 5u e W2j [0, £] - приращение управления на элементе ueV. Полагая в тождестве (34) n = Su, получим dx = Jf (x)Sudx = J--у/Sudxdt. 0 Qdx dу, dSu dx dx f + уJ5u Учитывая это равенство в (20), будем иметь J '(u) Su) = | dу, dSu dx dx уJ5u + dx. Отсюда следует, что градиент функционала (6) определяется равенством (35). Теорема 5 доказана. Следующая теорема выражает необходимое условие оптимальности в задаче (1) - (3), (5), (6) с использованием градиента функционала (6). Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для оптимальности управления о„ = о„(x)eV в задаче (1)-(3),(5),(6) необходимо, чтобы выполнялось неравенство JL.(x)(u(x)-o.(x)) + l^XAГM^ ->0 0 кл\ у кл\ кл\ у для любой u = u(x)eV, где ^„(x^^ (x; и»)-решение задачи (32), (33) при о = о„( x). Доказательство теоремы 6 проводится вполне анологично доказательству теоремы 4 с использованием формулы (35). 5. Алгоритм нахождения приближенного решения задачи (1) - (3), (5), (6) о Множество V выпукло и замкнуто в W2, [0, £], и мы выше доказали, что функционал J (о)е C1,1 (V) [см. формулу (30) ]. Тогда метод проекции градиента может применяться для приближенного решения задачи (1)-(3),(5),(6). В этом случае метод заключается в построении последовательности {о*} по правилу о*+1 = Pv (о*-akJ'К)),* = 0,1,..., (36) где а* - положительная величина, PV (о)-проекция точки о на множество V, а* выбирается из условия 0

Скачать электронную версию публикации