Asymptotics of the Сauchy problem solution in the case of instability of a stationary point in the plane of "rapid moti.pdf Одним из основных результатов в теории сингулярно возмущенных уравнений является теорема А.Н. Тихонова о предельном переходе [1, 2]. Он сформулировал достаточные условия, при выполнении которых решение возмущенной задачи и решение невозмущенной системы асимптотически близки. Далее эти достаточные условия стали называть условиями устойчивости. Первой работой, когда нарушаются условия устойчивости на некотором отрезке, но выполняется предельный переход, является работа М.А. Шишковой [3], ученицы Л.С. Понтрягина. Вслед за этой работой появились работы [4-15]. В работах [6, 7] приведено приложение для маятника Циглера [8]. В данной работе, применяя методы стационарной фазы, перевала, последовательных приближений и идеи [3, 5], обобщаются ранее полученные результаты. Постановка задачи Рассмотрим задачу Коши ex'(t,e) = A(t)x(t,e)+f(t), t0 < t < T; (1) x(t0,e) = x0, (2) где 0 < e - малый параметр, A(t) - квадратная матрица-функция второго порядка с элементами jt), f(t) = colon(f1(t), f>(t)), ojk(t), fk(t) - аналитические функций в рассматриваемой области, x0 = colon(xi°, x20) - постоянный вектор. Пусть выполняются условия: Условие 1. Матрица-функция A(t) имеет комплексно-сопряженные собственные значения: Xi(t) = a(t)+/'P(t), X2(t) = a(t)-/'P(t), причем a(t) < 0, при t0 < t < 0; a(t) > 0, при 0 < t < T; a(0) = 0, но P(0) Ф 0. * 5 Условие 2. Пусть Re(uj( t1,t2 )-uj(t0,0)) = 0, т.е. граница области D является стой корень собственного значения X1(t) = a(t)+/'P(t) в области D, где D = {t = t1+it2: Re(uk(t)-uk(t0)) < 0, k = 1,2}, i _ n/-!, uk(t) = JXk(t)dt, k = 1,2. Систему (1) можно рассматривать как возмущенную по отношению к вырожденной системе A(t) X (t)+f(t) = 0. Вырожденная система имеет единственное решение: X(t) _ A~\t) f (t). Это решение в области D, а именно в точках t _ t* ± t*, имеет особенность, так как собственные значения матрицы-функции A(t) в этих точках обращаются в нуль, т.е. решение вырожденной системы не является гладкой функцией в D. Задачу (1), (2) можно назвать бисингулярной [16]. Например, если собственные значения X1(t) = a(t)+iP(t), X2(t) = a(t)-/'P(t) имеют простые нули в рассматриваемой области, то нарастающая особенность имеет вид gk (t) _ O (((t -1*) (t +1* )) ), k = 0,1,2,..., (X1 (t*) = 0, X2(-t*) = 0). А если собственные значения X1(t) и X2(t) имеют w-кратный нуль в рассматриваемой области, то нарастающую особенность можно записать как gk (t)_ O (((t -t* )(t +t*) ), k = 0,1,2,. . Когда собственные значения X1(t) и X2(t) не имеют нулей в рассматриваемой области, то решение вырожденной системы является регулярной (гладкой) функцией, асимптотика решения задачи (1) - (2) получается проще. Этот случай автором рассмотрены в работе [10]. Как нам известно, существует такая неособенная матрица-функция B0(t), с помощью которой A(t) можно привести к диагональному виду В-1 (t)A(t)B0 (t) _ Л^), Л^) = diag(X1(t), X2(t)). Пусть в области D выполняется неравенство detS0(t)^0. С помощь замены x(t,8) = B0(t)y(t,8) задачу (1), (2) приведем к виду 8y'(t,8) = Л(0у(^8)+8В(0у(^8)+^0, t0 < t < T, y(tft 8) = у0, (3) где В(t) _ -В-1 (t)В0 (t), y0 _ В-1 (t0 )x0, h(t) _ B-1 (t) f (t). Далее, задачу (3) заменим интегральным уравнением У (t, 8)_ E (t, t0,8^y0 + |tt E (t, т, 8^ В (т)у (т, 8)+1 h (т)] dт , (4) где E(t,т,8)_ expЛ(s)ds/8). Если ввести обозначение y(t,8) = z(t,8)/8, то (4) примет вид t z (t, 8)_ 8E (t, t0,8)y + | E (t, т, 8)(B (т)z (т, 8) + h (т))dт. (5) Для начала вычислим асимптотику интегралов E: (t, 8)_ I exp | - I X . (т)d т] hj (т)d т, j _ 1,2., при 8^0. 1 Jt0 V^ *0 j При выполнении условий 1 и 2, имеем u 1 (х) = Х1 (т),X1 (t*) = 0, X1 (t*0, * t = t1 + it2. Точка т = t является простой точкой перевала функции uj(t). В окрестности точки перевала т = t критические линии уровня Re(ui(TbT2) - uj(t0,0)) = 0 делят плоскость на четыре равных сектора. В двух из них выполняется условие Re(ui(Ti,T2) - ui(t0,0)) < 0, а в остальных Re(ui(TbT2) - ui(t0,0)) > 0 [17]. Так как собственные значения комплексно-сопряженные: X1 (t) = X 2 (t) и u '2 (т) = X 2 (т), X2 (t * ) = 0, X \ (t* 0, t* = t* - it*, то точка т = t* является простой точкой перевала для функции ^(т). Аналогично, в окрестности точки перевала т = ^ критические линии уровня Re^^j, т2) - - u2(t0,0)) = 0 делят плоскость на четыре равных сектора. В двух из них выполняется неравенство Re^^,^) - u2(t0,0)) < 0, а в остальных двух Re^^,^) - - u2(t0,0)) > 0. При т2 = 0 имеем Re^Cr^) - u1(t0,0)) < 0, Re(u2Ci;b0) - u2(t0,0)) < 0, причем знак равенства выполняется только при т1 = t0 и т1 = T. Пересечение множеств {t: Re(uJ(tJ,t2) - u1(t0,0)) < 0} и {t: Re(u2(t1,t2) - u2(t0,0)) < 0} содержащее действительную ось обозначим через D, т.е. D = { t = t1+it2: Re(uk(t1,t2)-uk(t0,0))0 - const, k = 1, 2. Локальную и глобальную структуру линии уровней можно найти в [17]. Эти линии соединяют устойчивый и неустойчивый интервалы. Пусть ^(^/г) = un(t!,t2) + /'^г^/г), u2(t1,t2) = u^,^) + iu^,^), где u^,^) = = Re(uk(t1,t2) - Uk(t0,0)), Uk2(t1,t2) = Im(uk(t1,t2) - Uk(t0,0)), k = 1, 2. Для определения более точной асимптотики интегралов E1(t,e), E2(t,e) в D область D разобьем на подобласти: Н00 = {t: elne < uu (1,t2 )< 0, (4,t2 )< 0,1121< |t*|, |t -1*| > 5,4 < t2(t* /t*)}, Н01 = {t :un (1,t2)< elne, u^ (4,t2)< 0, 1121< |t*|, |t-t*|> 5}, Н10 ={t: |t-t*| = eY5, un (t1,t2) ь -5 / ч / ч f--, ч , f h (т, ) , J1 (e) = J e e h1 (т1 )dт1 = ie | u,u d t*-5 J J U 12 (т1У i -Ui^ e e A f,*-5/ / ч V 1 _(ie)2 J J VU '12 (т1 )J U '12 W h ((-5) u 12 (((-5) -i~iin(t(-5') h (t0) -1-йп(^) 2f f h1 (т1) -гЗц(т1) = ie U '12 (t0 ) 1.1 (e)| < e c-c + e2 -^r. Интегрируя по частям n раз можно получить оценку J (e)

Скачать электронную версию публикации