Analysis of amplitude-dependent damping and its application in numerical calculations.pdf В настоящее время все большую популярность набирает концепция «цифровых двойников» изделия, иными словами расчетная математическая модель [1, 2]. В области ракетно-космической техники, где основными воздействиями на изделия являются затухающие во времени переходные процессы [3], важной составляющей цифрового двойника является конечно-элементная динамическая модель (КЭМ) изделия. К ней предъявляется ряд требований. Во-первых, модель должна иметь внешнее соответствие реальному изделию. Во-вторых, позволять проводить на ее основе моделирование динамических испытаний, а также иметь возможность настройки по результатам испытаний. В-третьих, верифицированная модель должна достоверно моделировать поведение конструкции тогда, когда нет возможности проводить испытания. В общем виде решение на КЭМ с n степенями свободы представляет собой решение следующего уравнение [4]: MU + CU + Ku = P, (1) где М - матрица масс, С - матрица демпфирования, K - матрица жесткости, и -вектор узловых перемещений, P - вектор внешних сил. Отсюда следует, что модель будет давать достоверный результат только в случае правильно построенных матриц масс, жесткости и демпфирования. И если в случае матриц масс и жёсткости данная задача является хоть и весьма трудоемкой, но реализуемой с использованием современных конечно-элементных (КЭ) пакетов, путем верификации модели по результатам испытаний, то в случае матрицы демпфирования возникает ряд проблем. Связаны они с тем, что во всех известных авторам КЭ-пакетах демпфирование задается в трех основных формах: 1) постоянное, в случае обще конструкционного демпфирования; 2) пропорциональное матрице жесткости, в случае внутреннего демпфирования, 3) пропорционального матрице масс, в случае внешнего демпфирования. В некоторых случаях вместо постоянного демпфирования КЭ-пакеты позволяют задавать разные значения в выбранных диапазонах частот. Однако в реальных конструкциях величина конструкционного демпфирования зависит не столько от частоты, сколько от амплитуды и формы распределения напряжений [5 - 8]. В то же время проводятся попытки реализовать данное поведение на математических моделях. С.Дж. Эллиотт [9] приводит математическое моделирование системы с двумя степенями свободы с учетом наличия в ней нелинейного демпфера. Однако в его расчетах демпфирование зависит от первой производной перемещения. Данная статья посвящена изучению зависимостей демпфирования от уровня напряжений/деформаций в наиболее распространенном в изделиях ракетно-космической техники материале - алюминиевом сплаве АМг6, а также возможностям применения данных зависимостей для расчетов на основе КЭМ. Амплитудно-зависимое демпфирование В литературе широко представлены значения коэффициентов демпфирования [7]. Данные значения являются либо свойством конкретного образца, на котором проводится исследование, или представляют собой одно значение, советующее конкретному уровню напряжений. Проводятся такие исследования на равномерно напряженном образце, например, растяжением-сжатием пластины, или кручением трубчатого образца. Данные характеристики не универсальны и, если их использовать при расчете сложных КЭМ-изделий, то результаты могут оказаться неверными. Однако в случае переменного изгиба пластин или кручении толстостенных трубок распределение напряжений становится неоднородным и это обстоятельство требует дополнительных усилий для перехода от демпфирующих характеристик образца к характеристике материала. Рассеяние энергии в изотропном материале при сложно-напряженном состоянии при колебаниях должно зависеть от амплитуд инвариантов напряжения. В частности, для пластичных материалов в качестве такого инварианта следует использовать интенсивность напряжений или эквивалентные напряжения по Мизесу [6]. Такую зависимость уровня демпфирования от напряжения в материале, получаемую на основе экспериментальных данных, удобно аппроксимировать степенной функцией [10] у(стг) = kan . (2) где k, n - характеристики материала, которые в определённом диапазоне частот и температур можно считать постоянными, а с - амплитуда интенсивности напряжений. В случае амплитудно-независимого демпфирования n = 0. В реальных конструкциях кроме демпфирования в материале также присутствуют другие виды демпфирования (конструкционное, внешнее). В связи с этим экспериментальную характеристику образца целесообразно представлять как сумму У = Унач Ь (3) где унач - величина коэффициента рассеяния энергии при малых напряжениях. Экспериментально-расчетное исследование алюминиевых образцов Для целей данного исследования были изготовлены и испытаны плоские образцы из алюминиевого сплава АМг6. Для определения зависимостей рассеяния энергии в материале от напряжений к образцам были применены следующие виды экспериментальных исследований: определение резонансной кривой, полученной при вынужденных колебаниях, и определение виброграммы свободных затухающих колебаний для оценки затухания за цикл при свободных колебаниях. В процессе испытаний образец имел консольное закрепление. Исследования проводились по первой форме колебаний, которая соответствует изгибной форме колебаний и частоте порядка 17,2 Гц. Данная частота обусловлена закреплением в консольной части образца стальной пластины. Она позволяет достигнуть больших уровней напряжений в материале. Схема испытаний представлена на рис. 1. Контроль напряжений осуществлялся по показаниям тензодатчика (Т2), расположенного в месте максимальных напряжений - корне образца, контроль ускорений осуществлялся с помощью трехкомпонентного вибропреобразователя(В1), установленного на незакрепленной стороне образца. 40 L1 1 1 1 I 1 1 1 1 I 1 1 1 1 I 1 1 1 1 I 11 1 ' I1 1 1 ' I1 1 1 ' I 1 1 1 ■ I 1 1 1 ' I 1 1 1 ' I 1 1 1 1 I1 1 1 1. _40 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I. I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I - 0 1 2 3 4 5 6 Время, с Рис. 2. Развертка затухающих колебаний Fig. 2. Time-base of the damped oscillations Рис. 1. Схема испытаний образцов (1 - образец, 2 - оснастка, 3 - стальная накладка) Fig. 1. Scheme of the tests of samples: 1 - sample, 2 - mounting, and 3 - steel strip Затухающие свободные колебания Первый вид испытаний на образцах проводился приложением импульсной нагрузки к свободному краю образца. Виброграмма, полученная при этих испытаниях и отфильтрованная для исключения высоких частот, представлена на рис. 2. Уровень рассеяния энергии при затухающих колебаниях обычно оценивается логарифмическим декрементом колебаний. Несмотря на то, что изначально понятие логарифмического декремента колебаний было введено для линейной колебательной системы при экспоненциальном законе затухания, в случае амплитудно-зависимого демпфирования в системе данную характеристику можно использовать, если считать ее переменной величиной и определять по усредненным значениям между соседними амплитудами одного цикла. Усреднённое значение логарифмического декремента вычисляют по формуле 5,- = ln i +T где a, и ai+T - амплитуды колебаний в начале и конце рассматриваемого цикла i, T - период колебаний. На рис. 3, а показана взаимосвязь амплитуд замеренных виброускорений в свободной части образца и напряжений (деформаций) в корне образца, На рис. 3, б представлено значение логарифмического декремента затухания, определенного по формуле (4), отнесенного к средней амплитуде колебаний ai+T/i, как функции напряжений, которые соответствуют этой амплитуде колебаний. (4) а 10 20 30 40 Амплитуда напряжений, МПа 16 « к и £ 12 § о ^ о ft о 8 ш я ^ к 4 ц с S < 0 £ 0.20 I 0.15 4 « I 0.10 w к 5 Is 0.05 ft а 10 20 30 Амплитуда напряжения, МПа о 0 40 Рис. 3. Характеристики затухающего процесса колебаний образца: точки - экспериментальные данные, кривые - аппроксимация Fig. 3. Characteristics of the damped oscillations of the sample: the dotted line is the experimental data and the solid line is the approximation Видно, что нелинейность зависимости виброускорений от напряжений наблюдается только выше 25 МПа, при этом логарифмический декремент нелинейно зависит от уровня напряжений даже при невысоких значениях напряжений. Логарифмический декремент колебаний используется для определения уровня рассеяния энергии в системе при затухающих колебаниях из-за удобства определения, однако более точно демпфирующая способность колебательной системы определяется относительным рассеянием энергии (коэффициентом поглощения): AU (a) (5) V(a) = ■ U (a) где U(a) - амплитудное значение энергии упругого деформирования. Данные характеристики обычно связывают формулой V = 25, (6) справедливой в случае вязкого трения. Для систем с нелинейным сопротивлением данная формула справедлива только при малом значении декремента. При большом затухании В.В. Матвеевым было предложено [11] дифференциальное определение логарифмического декремента затухания: d ro(a) da dt 4п 5(a) = - (7) aro(a) +1 ro(a) da Полученные на основе формул (6) и (7) результаты были аппроксимированы степенной зависимостью в соответствии с уравнением (2). На рис. 4 представлены эти аппроксимированные кривые относительного рассеяния энергии (кривая 1 - получена по формуле (6), кривая 2 - по формуле (7)). Полученные по экспериментальным данным по затуханию характеристики составили для кривой 1 - унач = 0.0392 (3.92%), k = 9.092415 10-4 (МПа)п, п = 1.7238; для кривой 2 - унач = 0.0375 (3.75%), k = 7. 346413 10-4 (МПа)п, n = 1.6403. Аппроксимированные кривые дают практически одинаковый результат в диапазоне напряжений от 0 до 20 МПа. Это свидетельствует о применимости формулы (6) при небольших уровнях напряжений. 3 04 0.3 0.2 к a Л 0.1 m 0 10 20 30 Амплитуда напряжений, МПа Рис. 4. Зависимость рассеяния энергии в образце от амплитуды напряжений Fig. 4. Energy absorption coefficient of the sample as a function of stress amplitude Вынужденные колебания Второй вид испытаний проводился при воздействии гармонической силы с различными уровнями (0.3, 1.0 и 1.5g). Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), полученные по измерениям напряжений в месте установки тензорезистра, представлены на рис. 5. 0.3g - 1% - 1.5g' / А\ it iv II и / 1 it 1 1 м it 1 д / * • \ / * ' \ / 1 1 \ / * t 1 \ // Л\ ■ / V ^^ ............'Г'Г*'»'*.-.» 10 12 14 16 18 Частота, Гц 20 22 24 Рис. 5. АЧХ образца Fig. 5. Amplitude-frequency response of the sample о С к и . и * « & в о к : Используя эти АЧХ, значения демпфирования для образца при уровне относительных напряжений 70 % от резонансных значений могут быть определены по широко известной формуле у 0 7 = 2п-2-L, (8) юг где - резонансная частота, o>i и raj - частоты, соответствующие 70 %-му уровню напряжений. Обработка полученных АЧХ для других значений напряжений с целью определения зависимости характеристик демпфирования от напряжений была произведена по предложенной Б.Ф. Шорром и Н.Н. Серебряковым методике [12]. Были получены значения коэффициента рассеяния при небольшом уровне относительных напряжений, составляющих 15-20 %, по формуле ур = 2п[ст(Дю)] Дю , Дю -1, (9) юр где ra1 и ra2 - частоты, соответствующие уровню напряжений ст , гар - резонансная частота. Далее были получены значения демпфирования при меньших нерезонансных уровнях напряжений по формуле у(ст) = 2п Ур ^ 1 -Дю2. (10) ст" 2п I Полученные значения отмечены точками на рис. 6, через них была проведена аппроксимирующая кривая, согласно формулам (2) и (3). На характер получаемой таким образом зависимости сильно сказывается количество точек, использованных для ее построения. В данном случае с помощью уравнения (10) были получены значения демпфирования при нерезонансных уровнях напряжений, составляющих 50, 70 и 90 % от резонансного значения. Характеристики аппроксимирующих кривых при ур, полученной на уровне 15 % от резонансного значения имеют следующие значения: унач = 0.0662 (6,6 %), к = 0.0027 (МПа)", n = 1.0893 и на уровне 20 % - унач = 0.0970 (15,1 %), к = 5.3271-10-4 (МПа)", n = 1.4453. 0.4 0.3 а ■ ■ ■ ■ ■ ■ 0.1 0.4 / V Таким образом n - расчетный коэффициент, зависящий от характеристики демпфирования n, геометрии образца и распределения амплитуд интенсивности напряжений при рассматриваемой форме колебаний а,. Для расчета коэффициента п по формуле (18) используются амплитуды интенсивности напряжений, полученные на КЭМ модели образца при проведении гармонического анализа. Соотнося формулы (2) и (17), получаем значение коэффициента к = к0 /п- Полученные значения коэффициентов представлены в таблице. Значения коэффициентов уравнений (2), (3) и (17), полученные после обработки результатов испытаний Испытания № Амплитудно-независимая часть демпфирования Унач Коэффициент уравнения к Степень n Расчетный коэффициент п Коэффициент уравнения к0 Свободные колебания 1 0,037529 9,0924-10-4 1,6403 0,5837 1,5578-10-3 2 0,039198 7,3464-10-4 1,7238 0,5704 1,2878-10-3 Вынужденные колебания 3 0,066248 2,7125-10-3 1,0893 0,6850 3,9599-10-3 4 0,096997 5,3271-10-4 1,4453 0,6165 8,6404-10-4 Применение полученных зависимостей при численном моделировании Численное моделирование проводилось с использованием прграммного комплекса (ПК) ANSYS. Для применения уравнения (3) при расчете из набора существующих в ПК ANSYS параметров демпфирования были выбраны следующие. DMPRAT - постоянный частотно-независимый коэффициент демпфирования, применяемый лишь при решении задач методом суперпозиции. Ему присваивается значение унач. Для задания амплитудно-зависимой части использовался коэффициент демпфирования DMPR - постоянное конструкционное (гистерезисное) демпфирование, задаваемое в материале. Данное демпфирование применимо как при прямом интегрировании, так и при методе суперпозиции. Матрица демпфирования [С] из уравнения (1) при использовании этих двух видов демпфирования принимает следующий вид [4]: Nm m . [C] = £-Q[ФТ ][Kj ][Ф] + [£],, (19) . =1 nQ где m. - значение DMPR; Nm - количество материалов с DMPR; Q - частота возбуждающей силы (the forcing frequency), [Ф] - матрица форм (matrix of the mode shapes); [Kjj] - матрица жесткости части конструкции с заданным материалом j; [S] - диагональная матрица с элементами главной диагонали со значениями DMPRAT. Явное задание амплитудно-зависимых параметров демпфирования в программном комплексе ANSYS не предусмотрено. Для реализации возможности задания переменного демпфирования в зависимости от напряжения каждому элементу настроенной конечно-элементной модели образца был присвоен оригинальный материал. Далее был реализован итерационный алгоритм с использованием встроенного командного языка APDL. Общий принцип действия алгоритма представлен на рис. 7 в виде блок-схемы. Начальными условиями для алгоритма являются значения параметров n, к0, унач из таблицы, а также расчетная частота freq и уровень нагружения F, значение начального демпфирования dimt, при котором рассчитываются предварительные значения напряжений в элементах образца и значение относительной погрешности, которое является критерием для оценки сходимости цикла. Рис. 7. Блок-схема процесса вычисления напряжений с учетом амплитудно-зависимого демпфирования Fig. 7. Flow diagram for the stress calculating with allowance for amplitude-dependent damping Рис. 8. Блок-схема процесса вычисления коэффициентов демпфирования DMPR в материале Fig. 8. Flow diagram for the calculating of material damping coefficient DMPR Значение начального демпфирования dinit выбирается таким, чтобы предварительное распределение напряжений в образце, по которому будут определены значения коэффициента демпфирования DMPR, были не слишком велики. После присвоения материалам значений коэффициента демпфирования DMPR заново проводится расчет напряжений в элементах образца. Полученные распределения сравниваются и, если условие сходимости не удовлетворяется, то расчет коэффициентов демпфирования и уровней напряжения проводится заново до тех пор, пока условие сходимости не будет выполнено. При этом изменение коэффициентов демпфирования DMPR в материалах происходит постепенно. Алгоритм изменения коэффициентов демпфирования представлен на рис. 8. В случае если после перерасчета разница нового и старого значения DMPR будет больше некого значения dcrit, то старое значение просто увеличивается или уменьшается на это значение. Значение dcrit в процессе вычисления уменьшается для уменьшения количества расчетов. Критерий сходимости описывается следующим уравнением: (Дг/аГ W^)/2 ^ Д, =кП™ -CT,0ld|, Aw new cr - критерий сходимости; с, - значения амплитуд эквивалентных напряжений из последнего расчета; с,оИ - значения амплитуд эквивалентных напряжений из предыдущего расчета. Заключение Коэффициенты демпфирования, полученные по усреднённой амплитуде при анализе результатов затухающего процесса колебаний и при анализе АЧХ вынужденных колебаний образца, являются интегральными, иными словами, складываются из суммы «мгновенных», переменных в процессе колебаний коэффициентов демпфирования. Существующие способы обработки экспериментальных данных предлагают решения для определения этих «интегральных» коэффициентов демпфирования в зависимости от уровней напряжений в материале. Однако применение данных зависимостей сильно осложнено тем, что коэффициенты демпфирования получаются связанными с деформациями/перемещениями, что делает решение задачи нелинейным и требует применения итерационных методов решения.

Скачать электронную версию публикации