On the set K₃(G) of finite groups elements commuting exactly with three elements.pdf Как известно, при доказательстве классификационной теоремы конечных простых групп важную роль сыграло исследование свойств централизатора инволюций [1, с. 10] В [2] изучены некоторые свойства конечных групп, каждая инволюция которых обладает двухэлементным централизатором. В настоящей работе рассматриваются конечные группы, в которых существуют элементы порядка 3, перестановочные ровно с тремя элементами группы. Множество всех таких элементов группы G обозначено K3(G). В частности показано, что в каждой конечной простой неабелевой группе с непустым множеством K3(G) все инволюции образуют один класс сопряженных элементов [3]. 1. О мощности множества K3(G) Пусть G - произвольная конечная мультипликативная группа, |G| = n. Обозначим через K3(G) множество {x е G | х Ф е, |CG(x)| = 3}. Другими словами, элемент х Ф е принадлежит K3(G) тогда и только тогда, когда он перестановочен ровно с тремя элементами группы G. Так как централизатор CG(g) является подгруппой группы G, то K3(G) = {x е G | CG(x) = {e, x, x2}}. Очевидно, что для абелевой группы G множество K3(G) не пусто в точности тогда, когда G - циклическая группа третьего порядка. Поэтому, в дальнейшем, будем считать, что группа G неабелева. Из определения K3(G) непосредственно вытекает, что: A) если х е K3(G), то порядок этого элемента равен трём: о(х) = 3; B) если х е K3(G), то х2 е K3(G). Рассмотрим некоторые свойства множества K3(G). Предложение 1. Если K3(G) не пусто, то |G| делится на 3 и не делится на 9. Доказательство. Справедливость утверждения вытекает непосредственно из теоремы Силова [4, с. 99] и свойства коммутативности группы порядка р2 [5, с. 63]. # Предложение 2. Множество K3(G) является инвариантным подмножеством G, то есть если х е K3(G), то x® е K3(G) для каждого g е G. Доказательство. Воспользуемся известным равенством: VGX ^Gg CG(X®) = (CG(X))®. Пусть х е K3(G); Тогда а е Cg(x®) » а е {e, х, х2}® » а е {e, x®, (х®)2}.# Предложение 3. Пусть K3(G) ф 0, х е G и о(х) = 3. Тогда х е K3(G). Доказательство. Согласно предложению 1, (х) - силовская 3-подгруппа группы G. Из теоремы Силова следует, что для каждого к е K3(G) подгруппы (х) и (к) сопряжены в G. Осталось применить предложение 2. # Предложение 4. Пусть |G| = n; K3(G) ф 0. Тогда |K3 (G)| е {n; ^}. Доказательство. Пусть х е K3(G). Так как |G| = |Cg(x)|-|xg| = 3• |xg| = n, то IG| n х =- . Заметим, что е £ K3(G). 1 3 Следовательно, существует не более двух классов сопряжённых друг другу элементов группы G, каждый из которых (в силу предложения 2) является элементом K3(G). Таким образом, в силу непустоты множества K3(G), получаем, что|K3(G)| е{3; . # (ag)2 = ga2ag = g2. Лемма 5. Пусть а, g е G, o(a) = 3; g lag = a2. Тогда o(g): 2. Доказательство. Пусть o(g) = 2k + 1. Так как по условию ag = ga2, то Следовательно, o((ag)2) = o(g2) = = 2к + 1. (2к +1; 2) Отсюда, ((ag)2)2M = (ag)4k+2 = e. (*) С другой стороны, (ag)2k+1 = ((ag)2)kga2 = (g2)kga2 = a2. Следовательно, (ag)4k+2 = а. Получили противоречие с (*). Значит, o( g): 2. # Предложение 6. 1) Пусть o^) = 3 и g~lag = a2. Тогда | G |:6. 2| g | 2) Если порядок G нечётен, то либо K3(G) пусто, либо |K3 (G)| = -^^. Доказательство. Справедливость утверждения 1) непосредственно вытекает из леммы 5. 2) Пусть |G| = 2m + 1 и K3(G) ф 0. Тогда У а е K3(G) yGg (ag Ф a2), то есть в G существует ровно 2 класса сопряжённых элементов множества K3(G). Согласно 2| g | предложению 4, |K3 (G)| = -3-. # Рассмотрим несколько примеров множеств K3(G) в различных группах. 1) Sn, n > 2. Если n > 6, то |Sn|: 9. Согласно предложению 1, для указанных групп K3(Sn) = 0. Пусть n = 3. Так как в Sn каждые две подстановки сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое циклическое строение [5, с. 66], то [(123)]3 = {(123), (132)}. Следовательно, |CS3 (123)| = 6 = 3 . Таким образом, K3(S3) = {(123), (132)}, |K3(S3)| = ^ . Рассмотрим группы S4 и S5. Очевидно, множество Х всех элементов третьего порядка в каждой из них есть множество всех трёхчленных циклов. Для n = 4 4 • 3 • 2 \X\ = --- = 8. Каждые два элемента из множества Х сопряжены. Следовательно, IS | У а е Х (а) = 3. Таким образом, K3(S4) = Х, |K3 (S4)| = . Аналогично, в S5 У а е Х \CSs (а) = 6 , то есть K3(S5) = 0. 2) Покажем, что K3(An) Ф 0 » n е {3, 4, 5}. Так как при n > 5 An|: 9, то согласно предложению 1, для соответствующих групп K3(An) = 0. При n = 3 имеем 2| А | K3(A3) = K3(S3), так как A3 - абелева; |K3 (А3)| = . При n = 4 имеем 2| А | K3(S4) с А4 и, следовательно, K3(A4) = K3(S4); |K3 (А4)| = -^. Рассмотрим, наконец, А5. Пусть а = (аРу) - произвольный трёхчленный цикл. Очевидно, С5(а) = {e, a, a2, c, ac, a2c}, где с - двучленный цикл, не пересекающийся с а. Так как с, ас, а2с - нечётные подстановки, то СА_ (а) = {e, a, a2}. Следовательно, K3(A5) - множество всех трёхчленных циклов, то есть |K3( А5) = 20 = 3) Рассмотрим диэдральную группу D2n, где D2n = {(a, e) | a е Cn, e = ±1}, n > 3 [6, с. 31] и (ab Si)^(a2, e2) = (а^1, gjE2) . Пусть Х = {(a, e) | o((a, e)) = 3}. Легко видеть, что (a, e) е Х» o(a) = 3 и e = 1. Однако Vg е Cn (g, 1)^(a, 1) = (ga, 1) = (ag, 1) = (a, 1)-(g, 1). Отсюда следует, что в каждой группе D2n, n > 4, множество K3(D2n) пусто. Заметим, что D6 = S3. 4) Пусть G - конечная нильпотентная группа, |G| = 3"1 p^2...Pak, к> 1. Тогда согласно теореме Бернсайда - Виланда [4, с. 155], G = Н1 х Н2 х ... х Ик, где Hj - соответствующие силовские подгруппы. a) Если а1 > 1, то согласно предложению 1, K3(G) = 0. b) Пусть а1 = 1, х е G, o(x) = 3. Так как в каждой нильпотентной группе любая нетривиальная нормальная подгруппа имеет нетривиальное пересечение с центром [4, с. 148], то Hi с Z(G). Так как Z(G) п И2 Ф {e}, то И1 Ф Z(G). Следовательно, х g k3(G). Таким образом, в каждой конечной нильпотентной группе G, отличной от циклической группы третьего порядка, множество K3(G) является пустым. 5) Приведём пример семейства разрешимых групп, в каждой из которых множество K3(G) не пусто. Пусть q - простое число, q = 1 (mod 3). Рассмотрим группу (Zq , •). Так как | Zq | = q - 1, то существует элемент r' е Zq, такой, что o(r') = 3. Следовательно, существует элемент r е N, такой, что r3 ф 1 (mod q) л r Ф 1 (mod q) (1) Пусть G = {aubv | u е {0, 1, 2}, v е 0, q -1}. Воспользуемся следующей бинарной алгебраической операцией на G [5, с. 61]: au1 bv1 au2 bv2 = au1 +u2 b^ +v2). (2) Непосредственно проверяется, что (G, • ) - неабелева группа порядка 3q, в которой 0,0 ! uuv\-1 e = a b , lab I = i a0b0 laubv\ 1 = a3-ub-( r3-uv). 2 • 3q Покажем, что в построенной группе |K3(G)| = -3-= 2q. Согласно предложению 6, достаточно убедиться, что а е K3(G). Пусть ш v ui v а - a b = a b ■ а. Отсюда au+lbv = au+1bvr, то есть v(r - 1) : q. Так как r Ф 1(mod q), то v = 0. Следовательно, CG(a) = {e, a, a2}, то есть а е K3(G). Таким образом, G - разрешимая группа, не являющаяся нильпотентной. Так, например, пусть q = 7. Тогда r = 2, |G| = 21. G = {aubv | u е {0, 1, 2}, v е 0Тб }. au1 bv1 • au2bv2 = au1+u2b^-2"2 +v2). Непосредственные в^гчисления показывают, что K3(G) = {ab" | i е 0Гб } u {a2b" | i е 0Гб }. 2. О сопряжённости инволюций в конечных простых группах с непустым множеством K3(G) Обратимся теперь к простым группам. Нашей целью является доказательство следующего утверждения. Теорема 7. Пусть G - конечная простая группа, |G| = n, K3(G) Ф 0. Тогда все инволюции G образуют один класс сопряжённых элементов. Постановка задачи взята в [3, с. 81]. Доказательство теоремы опирается на следующее утверждение, доказанное в [3, с. 80]: Пусть G - конечная простая группа и А - подгруппа нечётного порядка, такая, что: 1) Vg е G \ Ng(A) (A n Ag = {e}); 2) Ng{A) = 04 (/'*)) x В, где (|Л|, |5|) = 1, У* - инволюция, инвертирующая каждый элемент из А (говорят, что элемент х группы G инвертирует элемент у, если х-ух = У"1). Тогда каждая инволюция i е G сопряжена с некоторой инволюцией из множества i В. Приведём также формулировку теоремы Бернсайда [5, с. 227]. Теорема 8 (Бернсайда). Если силовская подгруппа Р конечной группы G содержится в центре своего нормализатора, то группа G обладает таким нормальным делителем Н, что в качестве представителей смежных классов по Н можно выбрать элементы группы Р. Обратимся к доказательству теоремы 7. Доказательство (теоремы 7). Пусть к е K3(G) и A = (к). Убедимся, что А удовлетворяет 1) и 2), причём подгруппа В из равенства 2) оказывается единичной. а) Так как о(к) = 3, то VGg (g г Ng(A) ^ g-lAg n A = {в}), то есть условие 1) выполнено. b1) Пусть Н = Ng(A). Докажем, что Н ФА. Действительно, согласно предложению 1, группа А является силовской подгруппой группы G. Если Н = А, то А содержится в центре своего нормализатора. n Согласно теореме 8, группа G обладает нормальным делителем порядка -, что противоречит свойству простоты группы G. b2) Покажем, что |Н|: 2 и каждая инволюция из Н инвертирует все элементы из А. Пусть g е H \ A. Тогда, согласно определению K3(G), gkg1 = к-1, g-'fg = (к2)-1. (3) Согласно лемме 5, |H| : 2. Кроме того, согласно (3), каждая инволюция i из Н инвертирует все элементы А. Пусть i - одна из них. ЬЗ) Пусть L =А ■ (У*). Покажем, что L =А >- (У*). Так как L = А ■ (f) = (i*) • А, то L < H. Так как А < L, A n (f) = {e}, то L =A >- (У*), \L\ = 6. Следовательно, из некоммутативности этой группы получаем L = S3. Согласно теореме Гёльдера [7, с. 82], L - совершенная группа. b4) Убедимся, что Н = L х CH(L). Согласно свойству совершенных групп [7, с. 268], достаточно показать, что L < H. * * * о Заметим, что множество всех инволюций группы Н есть {i , i k, i к]. Действительно, согласно (3) все указанные элементы являются инволюциями группы Н. Пусть i е H, o(i) = 2. Тогда из (3) iki = i ki , то есть (i i)k = k(i i), отсюда i i е А, то есть i е {i , i k, i k2}. Учитывая, наконец, тот факт, что А < Н, получаем VH h VL l QTllh = hTla(i')mh = a1i1), где а1 е А, i1 е L. Таким образом, L < H. b5) Покажем, что CH(L) = {e}. Пусть x е CH(L). Тогда xk = kx и xi = i x. Следовательно, х = е. Таким образом, = (А Ь

Скачать электронную версию публикации