Boundary problems in a special domain for an equation of mixed type.pdf Со второй половины семидесятых годов прошлого века начато изучение краевых задач для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. Первые фундаментальные результаты в этом направлении получены в работе Т.Ш. Каль-менова [1], где доказано существование хотя бы одного положительного собственного значения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе, в работе Е.И.Моисеева [2], в которой указаны секторы, где нет собственного значения задачи Трикоми для ряда уравнений смешанного типа, и в работе С.М. Пономарева [3], где найдены собственные значения и собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе со спектральным параметром в одной специальной области. Впоследствии по этой тематике появились многочисленные работы, среди которых следует отметить [4-17, 25, 26] и т.д. До настоящего времени научные исследования по этой тематике развивались в двух направлениях. Первое из них - это доказательство теорем единственности решения краевых задач для уравнений смешанного типа со спектральным параметром, т. е. определение множества тех значений спектрального параметра, при которых справедлива теорема единственности, а второе - нахождение собственных значений и собственных функций краевых задач для уравнений смешанного типа и исследование на полноту системы найденных собственных функций. Методология В этой статье для конечной односвязной области A = On( x - у > 0), где области Q плоскости xOу , ограниченной при у > 0, x > 0 иx < 0, у < 0 дугами ст1 и ст2 окружности x2 + у2 = 1, с концами в точках A1(0,1), Bj(1,0) и B2(-1,0), A2(0, -1) и отрезками OA1 и OB2 прямых x = 0 и у = 0 соответственно, а при x > 0, у < 0 отрезком B1 A2 прямой x - у = 1, поставлены краевые задачи для уравнения signуuxx + signxuуу -|2sign(x + у)и = 0 (1) и изучена однозначная разрешимость поставленных задач. При этом используются следующие обозначения: Д+=Дп(x + у > 0), Q+= Д+п(у < 0), 0+=Д+п (у > 0); Д- = Дп (x + у < 0), Q-= Д-п (x > 0), Q-= Д-п (x < 0); ст3 =ст1 п (x - у > 0), ст4 =ст2 п (x - у > 0); OA3 (OA4), OB1, OA2, OD - отрезки прямых x - у = 0, у = 0, x = 0, x + у = 0 соответственно, где O(0,0), D(1/2,-1/2), A3 (1/72,1/72), A4 (-1/72,-1/72) . В области Д рассмотрим уравнение (1), причем предположим, что | = || в областях и | = |2 в областях , где |2 e R - заданные числа. Задача L. Найти в области Д решение и(x,у) e C(Д) п C1 ((Д u OA3 u OA4) \ OD) п C2 (Д \ (OBj и OA2 и OD)) уравнения (1), удовлетворяющее условиям и(x, у) = Фз(x, у), (x, у) естз; (2) и(x, у) = Ф4 (x, у), (x, у) e СТ4; (3) д -и (x, у) = у3 (x), (x, у) e OA3; (4) dn д -u(x,у) = У4(x), (x,у) e OA4; (5) dn и(0,-у) + и (у/72,у/72) = У1(у), 0 < у < 1, (6) где ф j (x, у), у j (x), f1 (у) - заданные функции, причем Ф3(x,у) = [у(x-у)]aф0(x,у), Ф4(x,у) = \х(у-x)]aф0(x,у), ф0(x,у)eC(ст;), а>1; У3 (x),y 4 (-x) e C (0,1^72] п C °,е) (0,1^72) п Z(0,1^72); f (у) e C[0,1] п C1 (0,1] п C(2,e) (0,1), f (у) e L(0,1), 0 1, cp0(x,y) е C); (10) y(x) е C(0,1/V2] n C(1,e)(0,1/V2) n L(0,1/V2), 0 (x), Y(x) - заданные функции, обладающие свойствами (10), (11), и Y(x) е C[0,1] n C1 (0,1] n C(2,e) (0,1), Y' е L(0,1). Так как в условии (12) участвуют значения искомой функции в точках отрезков OA3 и OBj, то задача M является нелокальной краевой задачей [19]. В этом параграфе докажем однозначную разрешимость задач L, N и M, причем сначала изучим задачу M, затем - задачу N, а в последнем - задачу L . Результаты и исследования Исследование задачи M Сначала докажем единственность решения задачи. Теорема 1. Задача M не может иметь более одного решения. Доказательство. Пусть u(x, y) - решение однородной задачи M . Предположим, что u(x, y) ^ const в Q+ . Тогда на основании принципа экстремума для эллиптических уравнений [20] и u = 0 положительный максимум и отрицательный минимум функции u(x, y) не достигаются в Q+ua3 . Так как (du / dn) |OA = 0, то в силу принципа Заремба - Жиро [20] они не достигаются и на отрезке OA3. Если учесть это и при условии, что u(x,0) = -u(x /л/2, x /\/2), 0 < х < 1, то эти значения не достигаются и на OB u {O}, что невозможно. Полученное противоречие показывает, что u(х,y) = const в Q+ . Так как u(х,y) |g = 0, то u (x, y) = 0 в Q+ . Отсюда следует, что задача M не может иметь более одного решения. Теорема 1 доказана. Переходим к доказательству существования решения задачи M . При этом нам понадобится решение задачи N для уравнения (1) в области Q3 об определении решения u(х, y) e C(Q+) n C1 (q+ u OB1 u OA3) n C2 (Q+ ) уравнения (1), удовлетворяющего краевым условиям (7), (8) и uy (х,0) = v(х), 0 < х < 1. Применяя метод отражения [21, 24], нетрудно убедиться, что функция Грина в этой задачи имеет вид (1 z 2)(1 z2) (1 -z2 z 2)(1-c2l z2) + ln (Z 2 - z 2)(z 2 - z2) G ( n; х y ) = ln (Z2 - z 2)(c? - z2) где Zi = 5 + in, Z2 =n + i5, z = x + iy, z = х - iy. Используя метод функций Грина, нетрудно убедиться, что решение задачи N определяется формулой u(X,y) = u0(х,y) + JJu0 (5,n)R(5,n; X,y)d5dn, (х,y) efi+, (13) )(х, y) = J cp(5, n) dG (5, n; X, y) ds где dn Z 1/V2 -Jv(5)G(5,0;X,y)d5- J vjz(5)G(5,5;X,y)d5 ; (14) 0 0 R(5, n; x, y) - резольвента ядра (-|i2)G(5, n; х, y); n - внутренняя нормаль к ст3, а s - длина дуги, отсчитываемая от точки B1. Пусть теперь u(х, y) - решение задачи M. Введем обозначения uy (х, 0) = v(х), 0 < х < 1, и предположим, что v(х) e C(1,е) (0,1) n 1(0,1), 0 < е < 1. Тогда функция u(х, y) в области Q+ как решение задачи N для уравнения (1) с краевым условиями (7), (8) и uy (х, 0) = v(х), 0 < х < 1, представима в виде (13). Подставляя функцию (13) в условие (12), получим Jv(t) 0 K (X, t) = JJ G (t,0; 5, n) G(t,0;х,0) + G|t,0;-|^ | + K1(x,t) где dt = F1(x), 0 < x < 1, (15) d 5d n, R(5, n; x,0)+R ^ и 1/V2 Fi(x) = -у(x)- j vjz(t) dt - G(t,t;x,0) + G| t,t;-^,-x= v2 v2 1/V2 - j v (t) 0 R(|, n; x,0) + R||, n;^,^ jj jj (5 (t, t; |, n) _Q+ j CP(I, n) d Id n dt + _d_ dnz G (|, n; x,0) + (5 n;^,^ jj 3 R(Ii,ni;x,0)+r| Ii,n^,^ dG (|, n; Ii, ni) jj d |1d n1 }ds. (16) dn Z и Следовательно, задача M в смысле разрешимости эквивалентна уравнению (15) относительно v(x). Если, пользуясь свойствами заданных функций, однозначно найдём функцию v(x) из уравнения (15), то решение задачи M определяется формулой (13). Поэтому теперь займемся решением уравнения (15). С этой целью, дифференцируя равенство (15) по x и проведя рассуждения, аналогичные при получении равенств 3 114 V1 (t) IV (t)ln(1 -14x4)dt = -4x3 j-^ J 1 J 1 -1 Г\ (Л -1- 1 d dx dt -14 x4 d j v1(t) ln(t4 - x4)dt = -4 x3 j dx Vj(t) t4 - x4 dt, и имеем 1 8 x r v(t)dt + jv(t)-K1(x, t)dt = f1(x), 0 < x < 1. „V - * ^ j 0 dx Пользуясь условиями (10), (11), условием на у(x) и равенством (16), как и в [10], можно показать, что F1(x) е С[0,1]пС1 (0,1]nС(2 е)(0,1), F (x) е Ц0,1). Л .7 1 t8 1 t8 - x8 1 -18 x8 Выполняя замену е = 2x8/(1 + x16), u = 2t8/(1 + t16) и введя обозначения р(е) = x~7(1 + t16)v(x), получим сингулярное интегральное уравнение типа Коши первого рода нормального типа 1 f Р(и) (17) где Л^е) = x" '(1 + x16) 1 ШиУо = жде), 0 X, G (I, n; X, 0) + JJ R (I ,n1; X, 0)GG (I, n; I, щ )d I d n ds dxdnz 1/V2 G (0, t; x, 0) + JJ R (I, n; X, 0)G (0, t; I, n)d Id n - J Ф (t) dt. dx 0 Выполним замену e = 2 x 4/(1 + x8), S = 2t4/(1 +1 ), отсюда получим сингуляр ное интегральное уравнение второго рода нормального типа 1 1 p(S) p(e)ds = N2(e), 0 < x < 1, п0 s-e 2 (23) F2( x) -jv(t) K 2( x, t) dt (24) где p(e) = x (1 + x8)v(X), N2(e) = X~3(1 + x8) N2 (e) e C(0,1] n C(1,e) (0,1) n L(0,1). На основании постановки задачи N и свойства функции N2(6) решение уравнения (23) надо искать в классе функций р(6) е С(j,е) (0,1), ограниченных при 6^1 и неограниченных при 6^0. Индекс уравнения (23) в этом классе равен нулю. Поэтому решение уравнения (23) в этом классе существует, единственно и дается формулой 1 1 1 Р(6) = - N2(6) - - j 2 2л-1, (1 -6)Q 6(1 --Э) _ NjS-). Q-6 d Q. (25) Переходя в правой части выражения N2(6) к переменным 6, Q и функции р(6), а затем подставляя полученное выражения N2 (6) в правой части равенства (25), относительно р(6) получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода, эквивалентное задаче N (в смысле разрешимости). Разрешимость полученного интегрального уравнения, в силу эквивалентности, следует из единственности решения задачи N. После того как найдена функция р(6), решения задачи N в областях Q+ и Q+ определяется формулами (13) и (19) соответственно, где 1 = 2 x4 /(1 + x8). u( x, y) = v( x) = x3(1 + x8)-j p( 6), Исследование задачи L Пусть u(x,y) - решение задачи L . Введем обозначения §=§(x,y) = -y, П = П(x,y) = -x и )u+ (x, y), (x, y) е Д+; [u- (x, y), (x, y) еД-. Очевидно, что если (x, y) е Д+ , то е Д- . Учитывая это, в области Q+ введем в рассмотрение функцию и(x, y) = u + (x, y) - u - (§,n), (x, y) е Д+. (26) Пользуясь свойствами функций u + (x, y) и u- (§,n), краевых условий (2) - (5) и u + (x, -x) = u~ (x, -x), 0 < x < 1/2, нетрудно убедиться в том, что функция и(x, y) удовлетворяет условиям и(x,y) е С(Д+) п С1 (Д+ u OA3) п С2(Д+ \ OBj); signyUxx +Uyy -H2u = 0, (x,y) е Д+ \OBj; u(x, y) = Фэ(x, y) - Ф4 (-y,-x), (x, y) е CT3; f (27) Ux(0,y) = Фэ(y)-y4(-y), (0,y)6 OA3; u(x, y) = 0, (x, y) е OD. На основании исследования задачи M заключаем, что функция и(x, y) является единственным решением задачи M при ф(x, y) = ф3(x, y) -ф4(-y,-x), У (y) = V3 (y) - У4 (-y). После того как найдена функция и(x, y) с помощью условий (27), подставляя её в (26), имеем u + (x,y)-u (-у,-x) - u(x,у), (x,y) еД+, (28) откуда при y - 0 следует, что u + (x, 0) - u- (0, -x) - и(x, 0), 0 < x < 1. Принимая во внимание условие (6), получим u + (x,0) + u + (0,x) - u(x,0) + fj(x), 0 < x < 1. (29) Следовательно, функция u + (x, y) в области Q+ удовлетворяет уравнению (1), а на её границе - условиям (2), (4) и (29). На основании исследования задачи N заключаем, что функция u + (x, y) однозначно находится как решение задачи N при ф(x, y) - Ф3 (x, y), vj>(у) - ^3 (y), y(x) - и(x, 0) + f (x). После того как найдена функция u + (x, y) в области Q+ , функция u- (x, y) в области Q- находится из равенства (28). Решение задачи L в областях в Q+ и Q- определяется как решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными u + (x, 0), u+ (x, 0), 0 < x < 1 и u- (0,y), u- (0,y), -1 < y < 0, соответственно. Этим завершено доказательство однозначной разрешимости задачи L . Выводы Рассматриваются краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром в смешанных областях, состоящих из двух секторов круга и двух характеристических треугольников. Существование и единственность исследуемых краевых задач доказаны с использованием методов интегральных уравнений, принципа экстремума и интегралов энергии.

Скачать электронную версию публикации