On the extension of pseudonorm and metrics to the semigroup ring.pdf При изучении алгебраических систем с дополнительными структурами (топология, порядок, норма и др.) иногда возникает необходимость продолжать эти дополнительные структуры с кольца на их надкольца. В частности, возникает вопрос о возможности продолжения заданных дополнительных структур группы и кольца на их групповое кольцо. Настоящая работа посвящена изучению вопроса о возможности продолжения действительнозначной псевдонормы и метрики на полугрупповое кольцо свободного моноида. Этот результат обобщает теорему 1 из [1]. Примем следующие обозначения: N - множество всех натуральных чисел; \A\ - мощность множестваA; RF - полугрупповое кольцо моноида F и кольца R; F - подмоноид (подгруппа) моноида (группы) F, порожденный множеством X; M - нетривиальное многообразие моноидов (групп), т.е. многообразие, не содержащее одноэлементного моноида (группу); F = F(MX) - свободный моноид (свободная группа) с свободными образующими из X; ti - топология, задаваемая нормой I на группе; R - поле действительных чисел с обычным порядком; R+ - множество неотрицательных действительных чисел; Определение 1. Пусть F - моноид. Отображение n : F - R+ называется действительнозначной псевдополунормой, если выполнены следующие условия: 1. n(g) > 0 для любого geF. 2. n(e) = 1, где e - единица в F. 3. n(g • h) 2 ; Xj,...,xp e X;z1,...,zm e< Xj,...,xp >F причем zi ф Z- при 1 < i < j < m ; 0 ф r1,...,rm e R . m s s' Если f = Z jj, то для любого разложения f = Z rkzk + Z f (xt -yl)gt, где j=1 k=1 l=1 rk e R; zk e F; 1 < k < s ; f, gt e RF; xl, yl e X,1 < l < s; s, s' e N имеем s s' ZX(rk) + Zp(Xl,yl) > min{X(r), P(X, Xj) |1 < i < j < p}. k=1 l=1 Доказательство. Допустим противное, то есть, что s s' ZX(rk) + zp(Xl,yl) < min{X(r),p(X,Xj) |1 < i < j < p}. k=1 l=1 Зададим на множестве X отношение эквивалентности 5 , определенное множеством пар {(xl, yl }| l = 1,..., s'}, следующим образом: x5y тогда и только тогда, когда x = y либо существует такая конечная последовательность чисел l1,...,lt где 1 ) < Ё р(хи, у}!) < Ё Р(ху ,у- ) < Р(х у). i=1 j=1 Получили противоречие. Следовательно, л: и у не находятся в отношении эквивалентности 5 . Определим отображение у : X ^ X следующим образом: |х, если х5х, у, если х5у, х0, в остальных случаях. Ясно, что отображение у определено корректно. Тогда у(х-) = у(у,) для любого j = 1,..., n'. Так как F - свободный моноид (свободная группа) в многообразии ОТ, то у можно продолжить до гомоморфизма у F в себя. Пусть A = {i 11 < i < n, ) = х},5 = {i 11 < i < n,y(hi) = у}. Так как x-y = у(x)-у(y) = £rу(hi), то A ^0,В ^0. Можем i =1 A = {1,...,m},В = {m + 1,...,m'} где 1 < m < m' < n, причем n(h1) >п(^-) дляi = 1,...,m , (3) n(hm+1) >П(^- ) для i = m +1,..., m' (3') (в противном случае провели бы перенумерацию h.). Тогда разложение (2) примет вид n m ni rt x-y = у(x-y) = £rу(hi) = £rx+ £ ry+ £ rix0. i=1 i=1 i=m+1 i=m' +1 m m Следовательно, £r. = 1, £ (-) = 1. (4) i=1 i=m+1 Пусть s - такое положительное число, что n m £ I(r )n(hi) + £p(xj,yj) + 2s < p(x,y) i=1 j=1 (из неравенства (2') следует существование числа е). Существуют такие разложения h1 = x 11 - x '55, hm+1 = y 1 - y 'p , что 5 1 + £p(x0,xi)

Скачать электронную версию публикации