Stress components and loading restrictions at the vertices of regular triangular and quadrangular pyramids.pdf Особые точки упругих тел - это вершины трещин, клиньев, конусов, многогранников, точки края поверхностей соединения, линии пересечения образующих поверхностей (ребра) и т.п. Особые точки являются потенциальными концентраторами напряжений, вблизи них зарождается разрушение. Поэтому изучение особенностей поведения параметров состояния (напряжений и деформаций) тела в окрестностях таких точек актуально и ему посвящено большое число публикаций [1- 33 и др.]. В настоящее время для исследования полей напряжений в окрестности особых точек применяются два подхода. Первый из них (далее классический или асимптотический) характерен тем, что особая точка в нем исключается из рассмотрения посредством помещения в нее полюса криволинейной системы координат (в полюсе отсутствует однозначное соответствие между точкой тела и ее координатами, поэтому такая точка не входит в область построения решения, в ней имеют смысл лишь асимптотические значения искомых параметров). Обзоры публикаций по применению классического подхода приведены в работах [14, 19, 24, 25]. Решение в классическом случае строится различными методами: операционного исчисления [1, 5, 6, 14], функций комплексного переменного [8], функций Эри [9], интегральных уравнений [3, 6, 23], разделения переменных [2], разложения в ряды по различным функциям [13, 15, 22, 27] и др. Авторы, применяющие численные методы (метод конечных элементов [11, 12, 16, 18, 25, 26, 28], метод конечных элементов в сочетании с поиском собственных значений методом Арнольда [29], метод граничных элементов [17, 21], метод граничных состояний [24]), реализуют асимптотическую идею посредством неограниченного измельчения КЭ-сетки области вблизи особой точки или конструированием специальных конечных элементов. Многие авторы асимптотических решений при изучении напряженного состояния вблизи особых точек разыскивают показатели сингулярности [1, 5, 11, 20, 21, 25, 27] - параметры решения характеристических уравнений соответствующих однородных задач. Полагается, что при выполнении определенных критериев, формулируемых для таких параметров, решение для напряжений может иметь сингулярный характер при стремлении расстояния до особой точки к нулю. Исключение в классическом подходе особой точки из области построения решения приводит к неадекватному определению напряжений в ее окрестности, так как при этом не рассматриваются условия (например, граничные), задаваемые непосредственно в самой точке. Такое исключение объясняется невозможностью формулировки граничных условий в особой точке, так как она принадлежит одновременно нескольким поверхностям (в точках пространственного ребра - двум поверхностям, в вершине многогранника - всем его граням). Второй (неклассический) подход к исследованию параметров состояния вблизи особой точки связан с преодолением указанного недостатка классического подхода. В альтернативном подходе, согласно представлению о точке сплошной среды, разработанному учеными XVIII века (Даниил и Иоганн Бернулли, Ж.Л. Д'Аламбер и Л. Эйлер [30]) и признаваемому современными исследователями, особая точка (как и любая другая точка тела) считается стягиваемым к ней элементарным объемом. Рассматривается элементарный объем, содержащий особую точку. Такой объем имеет характерный (линейный) размер, равный представительному объему моделируемого тела, и обладает его механическими свойствами. Параметры состояния элементарного объема однородны, так как они являются осредненными по представительному объему тела значениями параметров более низкого структурного уровня. При стягивании элементарного объема к точке его параметры состояния остаются неизменными. Вследствие сказанного, за ограничения, задаваемые в особой точке, принимаются ограничения, задаваемые для элементарного объема, содержащего эту точку. Впервые такой подход к изучению параметров состояния в особой точке и ее окрестности применялся в работах [31, 32], где показано, что необычность (уникальность) особой точки проявляется в избыточном количестве (по сравнению с обычной граничной точкой) задаваемых в ней ограничений. Это обстоятельство делает задачу механики деформируемого твердого тела с особой точкой неклассической. Неклассические (в указанном смысле) задачи рассматривались в работах [31] (однородные плоские клинья), [32, 33] (составные плоские клинья), [34] (составные пространственные ребра), [35] (внутренние особые точки в плоских элементах конструкций), [36] (круговой и составной конус). В настоящей статье неклассический подход используется для изучения компонент напряжений в вершинах многогранников - правильных треугольной и четырехугольной пирамид. Построенные решения являются задаваемыми ограничениями в особых точках и должны использоваться в постановках задач механики деформируемых твердых тел, содержащих рассматриваемые элементы. 1. Компоненты напряжений и ограничения на нагрузку в вершине тетраэдра 1.1. Постановка задачи Рассматривается упругое тело, содержащее конструктивный элемент в виде части объема правильной треугольной пирамиды. Вблизи вершины А строится ее виртуальное основание - правильный треугольник BCD (рис. 1). Угол между высотой пирамиды и высотой треугольника BAC обозначается через у . С пирамидой связываем декартову ортонормированную систему координат O,xx,x2,x3. Начало координат (т.О) совпадает с центром основания пирамиды, а координат- Рис. 1. Часть правильной треугольной пирамиды вблизи вершины Fig. 1. Part of a regular triangular pyramid near the vertex На гранях ACD, ABC и ADB вводятся ортонормированные трехгранники. Эти трехгранники в координатах x1, x2, x3 записываются равенствами: на грани ACD: _ . _ 1 _ V3 _ n = sin ye1 + 2 cos ye2 +--cos ye3, - 1 ■ - S . _ 1_ n n = cos ye1-^sin ye2--^sin ye3, n e2 - e3, (1.1) на грани ABC: _ . _ 1 _ V3 _ m = sin ye1 + ^ cos ye2 --^cos ye3, _, _ 1 . _ V3 . _ _,, 1_ „ m = cos ye1 - ye2 + ~^sin ye3, m" = -- e2 - -j e3, (1.2) на грани ADB: l = sin ye + "2" cos ye2, l ' = cos ye + "~sin ye2, l " = e3. (1.3) Первые орты в приведенных тройках ортогональны соответствующим граням, пара других лежит в их плоскости. Причем второй орт направлен по высоте, исходящей из вершины А образующего грань треугольника. Вблизи вершины А поверхностную нагрузку на гранях пирамиды представим разложениями по базисам (1.1), (1.2), (1.3) Pn = pnn+тпн ч^й", Pm = pnm+Tnm^m", p = p„T+тпТ'+v ". (1.4) Здесь Pn, Pm, P\ - задаваемые векторы напряжений соответственно на гранях ACD, ABC и ADB. Вершина пирамиды (особая точка) отождествляется со стягиваемым к ней элементарным объемом тела. Грани пирамиды являются касательными плоскостями в этой точке для рассматриваемого упругого тела. Поэтому в ней оказываются заданными следующие граничные условия: ная плоскость x1, x2 содержит ребро АС (рис. 1.1). Базисные векторы введенной системы координат обозначаются ei (i = 1,2,3). а = p т,=т т „ = Q а = p х,=х т „ = Q n rn> n n' n n' т rm> m m> m m' ai = pi, Ti'=Ti, Ti" = Qi. (1.5) В этих равенствах an, ат, al - нормальные напряжения на гранях пирамиды, тп,, тпи , Tm,, тm" , т1,, т1,, - касательные напряжения в направлении соответствующих ортов, определенных равенствами (1.1), (1.2), (1.3). Компоненты тензора напряжений в вершине пирамиды в координатах x1, x2, x3 упорядочим списком { ап,а22, а33,а12, а13,а23 }. Для вычисления векторов напряжений на площадках, ориентированных ортами n, m, i , в точке А используется формула Коши (например Pn = n'Р , где Р - тензор напряжений). Проектируя векторы напряжений на направления ортов (1.1), (1.2), (1.3), приходим к системе девяти уравнений относительно шести компонент напряжений: 1 3 ап sin2 у + ^ а22 cos 2 у + 4 а33 cos2 у+ а 12 sin у cos у + г V3 2 +л/3а 13sin у cos у +-- а23 cos у = pn; (1.6) 1 3 1 ап sinуcosу-^а22 sinуcosу-4а33 sinуcosу+ а12cos2у + л/3 л/3 +- а 13 cos2у- -а23 sin у cos у = тп; (1.7) л/3 л/3 л/3.1.1 Q оч -4- а22 cos у--4- а33 cos у^-y а 12 sin у-^ а i3 sin у+ -j а23 cos у = Qn; (1.8) 1 3 а11 sin2 у + 4 а22 cos2 у +-а33 cos2 у+ а 12 sin у cos у- -л/3а 13sin у cos у-""3 а23cos2 у = pm; (1.9) 1 3 1 а11 sinуcosу-4а22 sinуcosу-4а33 sinуcosу+ а12cos2ул/3 л/3 --а 13cos2у^--а2^ш у cos у = тm; (1.10) л/3 л/3 л/3.1.1 Q „ ,,ч -- а22 cosу+-4-а33 cos у--^- а 12 sinу-^а13sinу+ а23 cos у = Qm ; (1.11) а11 sin2 у+ а22 cos 2 у-а 12 sin2у = pl; (1.12) а11 sin у cos у-а22 sin у cos у-а 12 cos2у = т1; (1.13) а 13sinу-а23cosу = Ql. (1.14) Задача состоит в исследовании (в зависимости от геометрических параметров и заданной нагрузки) условий существования решения системы уравнений (1.6) -(1.14), и его построения. Условия существования решения образуют ограничения на параметры нагрузки, обеспечивающие корректность постановки рассматриваемой задачи механики. Решение системы уравнений (1.6) - (1.14) формирует задаваемые ограничения на компоненты напряжений в вершине пирамиды. В случае, когда количество таких ограничений окажется большем трех, рассматриваемая задача механики деформируемого тела становится неклассической. 1.2. Исследование системы уравнений (1.6) - (1.14) Посредством эквивалентных преобразований уравнения (1.6) - (1.14) приводятся к двум автономным системам. Первая из них включает четыре уравнения относительно двух компонент напряжений а13, а23: 273а 13sin у cos у + -y/3a23 cos2 у = pn - pm ; (1.15) -у/3а 13 cos2y - V3a23 sin у cos у = Tn -xm; (1.16) -а 13 sin у + а23 cos у = Зп -3m ; (1.17) и (1.14) а 13sinу-a^cosу = 3г. Вторая система состоит из пяти уравнений относительно четырех компонент напряжений ап , а22, а33, а12: 2ап sin2 у + 2 а22 cos2 у + 3 а33 cos2 у+ а 12 sin2у = pn + pm ; (1.18) 1 3 аП sin2у-^а22 sin2у-^а33 sin2у+ а 12 cos2у = Tn +Tm ; (1.19) V3 V3 г -а22 cos у -- а33 cos у+ v 3а 12 sin у = 3n -3m; (1.20) и (1.12), (1.13) а11 sin2 у+ а22 cos 2 у-а 12 sin2у = pt, а11 sin у cos у-а22 sin у cos у-а 12 cos2у = т. Изучим систему уравнений (1.15) - (1.17) и (1.14). Ранг этой системы равен двум. Чтобы она была совместна, ранг расширенной матрицы также должен равняться двум. Это условие приводит к двум ограничениям на компоненты вектора нагрузки ^n +^m +3/ = 0; (1.21) (pn - pm )(1 - 3 sin2 у) - 3(Tn - Tm) cos у sin у - + ^ )cos у = 0. (1.22) При выполнении ограничений (1.21), (1.22) компоненты а13 , а23 тензора напряжений имеют значения а " = ^3 [(pn - pm ) ^ + (Tn -Tm )] ^ (1.23) а 23 = ^ [(pn - pm )(1 - tg 2у) - 2(Tn -Tm Жу] . (1.24) Обратимся к системе уравнений (1.18)-(1.20) и (1.12), (1.13). Ранг матрицы этой системы равен четырем. Ее совместность возможна лишь при условии, что ранг расширенной матрицы также равен четырем. Это требование приводит к еще одному ограничению на нагрузку: (Pn + Pm -2Pi )(3sin2 у-1)+3(x„ +Tm -2ti )cosysiny-V3(Q„ -Sm)cosy=0. (1.25) При выполнении условия (1.25) рассматриваемая система имеет решение 1 2 1 СТ" =-18(Pn + Pm )(ctg У-8) + 2(Tn +Tm )ctg У- -TU.-Sm^+iPi"!-: /2a 13sin y^V2a23sin y = Qn -Ql , (29) 13cos2y- 23cos2y = Tn -t1 , V2a 13siny+ V2a23siny = Qm-Qk. Изучим систему уравнений (2.8). При изменении угла y в интервале 0

Скачать электронную версию публикации