Canonical system of basic invariants for unitary group W(K₅).pdf Пусть в n-мерном унитарном пространстве Un задана координатная система началом O и ортонормированным базисом ei (i = 1, n); вектор x = {x^..., xn }. Отражением ст порядка l в пространстве Un называется унитарное преобразование порядка l, множество неподвижных точек которого является плоскостью размерности n - 1. Эту плоскость называют гиперплоскостью отражения или симметрии. Обозначим через G конечную неприводимую группу, порождённую отражениями ст относительно гиперплоскостей с общей точкой O. Классификация групп G впервые получена в работе [1]. Действие группы G в кольце R = C[x1, ... , xn] многочленов от n переменных над полем комплексных чисел определим с помощью равенства g • f = f (g_1x), где g e G и f = f (x) = f (xj,...,xn) e R . Многочлен f e R называется инвариантом группы G или G-инвариантом, если g • f = f для всех g e G. Множество всех G-инвариантных многочленов f e R образует алгебру IG, которая порождается n алгебраически независимыми однородными многочленами f степеней mi (i = 1, n) [1]; не нарушая общности, будем считать, что m1 < m2 1. 5. На каждом шаге уравнения (1) приводят к системе линейных однородных уравнений относительно неопределённых коэффициентов aa. Находим общее решение полученной системы линейных уравнений и вводим обозначение fp = Imp>, p > 1, где Imp> - форма Imp для найденных значениях aa. Построенная таким образом система базисных инвариантов {f, ... , fn} является канонической системой. Для вычислений может быть использован программный пакет, например система компьютерной алгебры Maple. Каноническая система для группы W(K5) В пространстве U5 существует только одна конечная невещественная примитивная группа G, порождённая отражениями. Это группа W(K5) порядка 72^61, порождённая отражениями второго порядка относительно 45 4-мерных плоскостей [1]. Введём в пространстве U5 ортонормированную систему координат с началом _5 O и ортонормированным базисом et (i = 1,5); вектор x = ^ xtei. Тогда группа i=1 W(K5) порождается отражениями второго порядка относительно 4-плоскостей с уравнениями [12] x1 -ю2x2 = 0, xt - x t+1 = 0 (t = 1,3), x1 + x2 +x3 + x4 + /2x5 = 0 , где ю = -1 + е| - первообразный корень третьей степени из единицы; е = V-Г . Уравнения всех 45 4-мерных плоскостей, отражения относительно которых принадлежат группе W(K5), имеют вид 4 x -юк° x ■ i J i=1 4 = 0, ^®kixt + V2n>k5x5 = 0, где ^ki + 2k5 = 0(mod3), i, j = 1,4 (i < j); k0, kt, k5 = 1,3 . i=1 Множество их нормальных векторов (система корней группы) состоит из 270 векторов t t 4 ею . k ч ю k rz k ч г^ (e, - ю ej), (X1®'e + V2n>5e5), t = 1,3, V2 л/6 i=1 и инвариантно относительно группы W(K5) [12]. Степени mi = 4, 6, 10, 12, 18 [1]. В работах [11, 12], используя многочлены Погорелова [11], автор построил следующую систему базисных инвариантов группы W(K5): J4 = 12П x + x54 - 2V2x5 j xf ; (2) J 6 = - j x6 + 10j xfxj + x| + j xf + 90x2 П x ; (3) i< j J10 = 2(-Xx6 +Xxfxf + 4x6-ЩX*3)Пx -4x54Xxfxf + i

Скачать электронную версию публикации