Left-invariant almost para-Hermitian structures on some sixdimensional nilpotent Lie groups.pdf 1. Введение Левоинвариантная кэлерова структура на группе Ли G - это тройка (g, ю, J), состоящая из левоинвариантной римановой метрики g, левоинвариантной сим-плектической формы ю и ортогональной левоинвариантной комплексной структуры J, причем g(X,Y) = ю(X,JY) для любых левоинвариантных векторных полей X и Y на G. Поэтому такую структуру на группе G можно задать парой (ю, J), где ю - симплектическая форма, а J - комплексная структура, согласованная с ю, т.е. такая, что o(JX,JY) = o(X,Y). Если o(XJX > О, V X # 0, то получается кэлерова метрика, а если условие положительности не выполняется, то g(X,Y) = ю(X,JY) является псевдоримановой метрикой и тогда (g, ю, J) называется псевдокэлеровой структурой на группе Ли G. Классификация вещественных 6-мерных нильпотент-ных алгебр Ли, допускающих инвариантные комплексные структуры, получена в работе [1]. Показано, что только 18 классов допускают левоинвариантные комплексные структуры. Авторами [2] получена классификация симплектических структур на 6-мерных нильпотентных алгебрах Ли. Из 34 классов изоморфных связных односвязных шестимерных нильпотентных групп Ли только 26 классов допускают левоинвариантные симплектические структуры. Условие существования левоинвариантной положительно определенной кэлеровой метрики на группе Ли G накладывает серьезные ограничения на структуру ее алгебры Ли д. Например, в работе [3] показано, что такая алгебра Ли не может быть нильпотентной за исключением абелевого случая. Хотя нильпотентные группы Ли и нильмногооб-разия (за исключением тора) не допускают левоинвариантных кэлеровых метрик, но на таких многообразиях могут существовать левоинвариантные псевдоримано-вы кэлеровы метрики. В работе [4] показано, что 14 классов симплектических шестимерных нильпотентных групп Ли допускают согласованные комплексные структуры и, поэтому, определяют псевдокэлеровы метрики. Более полное исследование свойств кривизны таких псевдокэлеровых и почти псевдокэлеровых структур приведено в работах [5, 6]. Как уже упоминалось, 26 из 34 классов шестимерных нильпотентных групп Ли допускают левоинвариантные симплектические структуры. Из оставшихся восьми классов несимплектических групп Ли, пять групп Ли Gi не допускают также и комплексных структур, Их алгебры Ли приведены ниже: g1: (0, 0, 0, 0, 12, 15+34). g2: (0, 0, 0, 12, 23, 14+35), g3: (0, 0, 0, 12, 13, 14+35), g4: (0, 0, 12, 13, 14, 34 -25), g5: (0, 0, 12, 13, 14+23, 34 -25). Здесь используется задание алгебры Ли g в виде m-ки чисел ij, основанной на последовательности дифференциалов (0, 0, de3,..., dem) базисных 1-форм, в которой используется сокращенная запись e1J = e1лe' как ij. Например, запись (0, 0, 0, 0, 12, 34) обозначает алгебру Ли со структурными уравнениями: de1 = de2 = de3 = 0, de4 = 0, de5 = eVe2 и de6 = е3ле4. В данной работе изучаются именно эти группы Ли. Целью работы является определение на рассматриваемых группах Ли новых левоинвариантных геометрических структур, компенсирующих, в некотором смысле, отсутствие симплек-тических и комплексных структур. На всех таких группах Ли G' любая левоинва-риантная замкнутая 2-форма ю является вырожденной. Предложены естественные способы ослабить требование замкнутости для сохранения невырожденности ю, причем так, что 3-форма do также является невырожденной и выполняется свойство d Л6У* = R^ определяет изоморфизм A: Л5У* = V, и, используя это, мы определяем линейное преобразование Кр : V - V как Kp(X) = A(iXpAp). Другими словами, iKpX)M- = iXpAp. Определим X(p) e R через след квадрата Kp, *(р) = tr Kp /6 . Форма p называется невырожденной (или стабильной), если X(p) ф 0. В работе [10] показано, что если X(p) ф 0, тогда • X(p) > 0 тогда и только тогда, когда p = а + р, где а, р - вещественные разложимые 3-формы и аАр ф 0; • X(p) < 0 тогда и только тогда, когда р = а + а, где а e Л3( V*®C) есть комплексная разложимая 3-форма и аАа ф 0 . Линейное преобразование Кр обладает следующими свойствами: tr Кр = 0 и Kp = X(p)Id . В случае Х(р) < 0 вещественная 3-форма р определяет структуру Jp комплексного векторного пространства на векторном пространстве V следующим образом: Jp=7-fe)Kp, а если Х(р) > 0, то 3-форма р определяет пара-комплексную структуру Jp, т.е., Jp2 = 1, Jp Ф 1 на векторном пространстве V по аналогичной формуле: Jp=;/ip)Kp. Напомним, что структура почти произведения называется паракомплексной, если собственные подпространства имеют одинаковую размерность. Элементы ОЦ^-орбиты 3-формы р, соответствующие Х(р) > 0, имеют стабилизатор SL(3,R)xSL(3,R) в GL+(V ). Элементы орбиты, соответствующей Х(р) < 0 имеют стабилизатор SL(3,C) в GL+(V ). В обоих случаях для формы р определяется дуальная форма рл формулой pA = J*p. Если Х(р) > 0 и р = а + в, то рл = а - в, а если Х(р) < 0 и р = а + а, то pA = i(a-a). 2.3. Специальные почти е - эрмитовы структуры Пусть е = 1 или е = -1 и ie - символ, удовлетворяющий условию ie2 = е. Определим е-комплексные числа как Ce = R[ie]. Мы будем использовать термин пара-комплексные числа для вещественной алгебры Ci = R©R. е-комплексная структура J на векторном пространстве V размерности n = 2m определяется как эндоморфизм, который удовлетворяет условию J2 = zld и dimV+ = dimV = m для е = 1. Пара (V,J) называется е-комплексным векторным пространством. Стабилизатор е-комплексной структуры J в GL(V) называется е-комплексной общей линейной группой GL(V,J). В пара-комплексном случае V = V+©V~ и стабилизатор J есть пара-комплексная линейная группа GL(V,J) = GL(V+)© GL(V-) = GL(m,R)©GL(m,R). Подробнее о специальных е-эрмитовых структурах см. в [7] е-эрмитова структура на векторном пространстве V есть пара (g,J), которая состоит из (псевдо)римановой метрики и эндоморфизма J, удовлетворяющего J2 = Eld, J*g = ^g. Нев^1рожденная 2-форма ю(Х,У) = g(X,JY) называется фундаментальной 2-формой. Определение 1. Специальная е-эрмитова структура (g, J, ю, р, Y) на V есть е-эрмитова структура (g, J, ю) вместе с е-комплексной формой объема ¥ = р + i,, р , где рл = J*р. Почти е-комплексное многообразие представляет собой многообразие М размерности n = 2m, наделенное почти е-комплексной структурой, которая определяется как почти комплексная структура, если е = -1, и почти пара-комплексная структура, если е = 1. Почти пара-комплексная структура на 2!-мерном многообразии M определяется полем J эндоморфизмов касательного расслоения TM, таких, что J2 = Id, причем ранги собственных распределений T^M : = ker(Id + P) равны. Почти пара-комплексная структура J называется интегрируемой, если распределения T^M инволютивны. В этом случае J называется пара-комплексной структурой. Тензор Нийенхейса NJ определяется равенством N(X,Y) = [X,Y] + [JX,JY] - J[JX,Y] - J[XJY] для всех векторных полей X, Y на M. Как и в комплексном случае, пара-комплексная структура J интегрируема тогда и только тогда, когда NJ = 0. Почти е-эрмитово многообразие есть многообразие М размерности n = 2m, наделенное почти е-эрмитовой структурой (g,J), которая состоит из (псевдо)рима-новой метрики и поля эндоморфизмов J, удовлетворяющего J2 = eld, Jg = - eg. Невырожденная 2-форма ) = -2a46 e1235. Пара (ю,р) при p = dю определяет полуплоскую структуру. Условие нормализации p Ap = 2ю3/3 выполняется, если a46 = 2a13a25. Будем считать коэффициенты ap зависящими от времени t и рассмотрим уравнения Хитчина [7] для построения псевдоримановой метрики на GxI с группой голономии из G2 , определенной 3-формой ф = a)Adt+da): д d д л Л - p = dю, - ю =dр , dt dt где ю" = ю2/2 и p" = Jp*p. В нашем случае p = dю. Поэтому из первого уравнения мы получаем a46 = ce'. Из второго уравнения получаем, в частности, что a13a46, a25a46 являются константами. Поэтому, с точностью до констант, a13 = a25 = e-t. Мы получаем a13a25 = ae-2t, что делает невозможным выполнение второго уравнения и условия нормализации. Таким образом, для рассматриваемого класса структур (co,p) не существует псевдоримановой метрики на GxI с группой голономии из G2 . В то же время, 3-форма ф = ЮAdt+dю на GxI является замкнутой, если a46 = cet. Псевдориманова метрика g(X,Y) = ю(X,JY) в случае a56 = 0 имеет вид g = -2e1(a13e3+a14e4+a15e5) - 2e2 (a23e3+a24e4+a25e5) + 2a46 e4e6. Прямые вычисления в системе Maple показывают, что при a14 = a24 = 0 данная метрика имеет диагональный оператор Риччи с двумя собственными значениями: RIC( g) = a46 diag{-1, -1, -1, +1, -1, +1}. 2a25al3 3.3. Группа Ли G3 Коммутационные соотношения: [еье2] = е4, [еье3] = е5, [еье4] = е6, [е3,е5] = e6. Пусть ю = а^ле* - произвольная 2-форма. Оператор Хитчина КАю для общей формы ю имеет достаточно сложный вид. При этом КАю2 = a464Id. Если X = а464 Ф 0 форма Аю является невырожденной. Оператор J = КАю/а462 определяет на g левоин-вариантную почти пара-комплексную структуру. Легко видеть, что форма ю является замкнутой только в том случае, когда ю = е1л(а12е2+а13е3+а14е4+а15е5) + е2л(а23е3+а24е4+а25е5) + е3л(а25е4+а35е5). Такая форма вырожденная и мы видим, в частности, что а46 = 0. Если мы ослабим условия замкнутости и будем считать, что а46 Ф 0, то обе формы ю и Аю будут невырожденными и свойство юлdю = 0 выполняется при условии а12 = 0, а25 = 0, а35 = 0. Тогда форма ю невырождена, если а15а23а46 Ф 0, и мы получаем ю = eV( а13е3+а14е4+а15е5) + е2л(а23е3+а24е4) + а46 е4ле6, da = -а46(е126 + е345), ю2/2 = а15а23 е1235 + (-а13а24 + а14а23)е1234 + а15а24 е1245 + + а13а46 е - а15а46 е + а23а46 е , ю3 = -6а15а23а46 е123456, рл = J*(p) = - а46 е345+ а46 е126, р"лр = 2а462 е123456, dp" = А/*(Аю) = -2а46 е1235. Пара (ю,р) при p = dю определяет полуплоскую структуру. Условие нормализации p лр = 2ю3/3 выполняется, если а46 = -2 а15а23. Будем считать коэффициенты а^ зависящими от времени t и рассмотрим уравнения Хитчина [7] для построения псевдоримановой метрики на GxI с группой голономии из G2 , определенной 3-формой ф = юлdt+dю: д а д " л - p = dю, - ю =dр , dt dt где ю" = ю2/2 и р" = Jp*p. В нашем случае р = Аю. Поэтому из первого уравнения мы получаем а46 = cet. Из второго уравнения видим, в частности, что а15а46, а23а46 являются константами. Поэтому, с точностью до констант, а15 = а23 = е-'. Получаем а15а23 = ае-2t, что делает невозможным выполнение второго уравнения и условия нормализации. Таким образом, для рассматриваемого класса структур (ю,р) не существует псевдоримановой метрики на GxI с группой голономии из G2 . В то же время 3-форма ф = юлА'+Аю на GxI является замкнутой, если а46 = cet. Оператор Хитчина для 3-формы Аю имеет диагональный вид, КАю = diag{-а462, 2 2 2 2 2 2 -а46 , а46 , а46 , а46 , -а46 }. Оператор J = КА ю / а46 задает почти пара-комплексную структуру, J2 = Id, обладающую свойством ю^Х,Л) = - ю(Х,У). Определим псевдориманову метрику g(X,Y) = ю(X,JY) сигнатуры (3,3). Она имеет вид g = 2е1(а13е3+а14е4+а15е5) + 2а23 е2е3 + 2а24 е2е4 - 2а46 е4е6. Прямые вычисления в системе Maple показывают, что при а14 = а24 = 0 данная метрика имеет диагональный оператор Риччи с двумя собственными значениями: а RIC( g) = -diag{-1, -1, -1, +1, -1, +1}. 2а15 а23 3.4. Группа Ли G4 Коммутационные соотношения: [e1,e2] = e3, [e1,e3] = e4, [e1,e4] = e5, [e3,e4] = e6, [e2,e5] = -e6.. Пусть ю = aj■e1лe' - произвольная левоинвариантная невырожденная 2-форма. Для такой общей формы квадрат оператора Хитчина [6] для 3-формы da> имеет диагональный вид: Kdm = (a462 - 2a36a56)2Id. Поэтому 3-форма da является невырожденной при a462 - 2a36a56 Ф 0. Форма ю является замкнутой только в том случае, когда она имеет вид 1 2 3 4 52 3 5 34 ю = e л^12 e + a13 e + a14 e + a15 e ) + e л^23 e - a34 e ) + a34 e лe . Такая форма ю является вырожденной. Условия замкнутости включают, в частности, равенство нулю коэффициентов a46, a36 и a56, которое определяет невырожденность dtt). Для сохранения невырожденности форм ю и dra при минимальном ослаблении свойства замкнутости ю, возможны два случая: a46 Ф 0 или a36 Ф 0 и a56 Ф 0. Однако, если a56 Ф 0, то простые вычисления показывают, что свойство юлdю = 0 несовместимо с невырожденностью ю. Поэтому рассмотрим случай, когда a46 Ф 0. Тогда Kdm = a464 Id. Кроме того, юлdю = 0 при условии a13 = 0 и a34 = 0. Тогда форма ю невырожденная при условии a23a15a46 Ф 0, а формы ю и dra принимают вид ю = e1л(a12 e2 + a14 e4+ a15 e5) - a23 e2лe3+ a46 e4лe6, dtt) = a46(-e136 + e245). Оператор Kdm для 3-формы dra имеет диагональный вид, Kdm = diag{ -a462, a462, 2 2 2 2 2 -a46, a46, a46 , -a46 }. Определим оператор J = Kdffl / a46, он задает почти паракомплексную структуру, J2 = Id, обладающую свойством G)(JX,JY) = -ю(Х,У). Мы имеем следующие выражения: ю = eV(a12 e2 + a14 e4+ a15 e5) - a23 e2лe3+ a46 e4лe6, dM = р = a46(-e136 + e245), ю2/2 = a15a23 e1235 + a14a23 e1234 + a12a46 e1246 - a15a46 e1456 + a23a46 e2346, ю3 = -6a15a23a46 e123456, „л / 13^ 2454 " „ -) 2 123456 р = J (р) = a46(e + e ), р лр = 2a46 e , dрл = dJ*(doi) = -2a46 e1235. Таким образом, пара (ю,р) при р = d« определяет полуплоскую структуру. Отметим, что в работе [13] показано. что на данной группе Ли не существует полуплоских 8и(3)-структур. Условие нормализации р лр = 2ю3/3 выполняется, если a46 = -2a15a23. Рассуждения, такие же как для других групп, показывают, что для пары (ю,р) при р = dtt) не удается построить методом потока Хитчина псевдорима-нову метрику на GxI с группой голономии из G2 . Однако 3-форма ф = юлdt+dю на GxI является замкнутой, если a46 = cet. Определим псевдориманову метрику g(X,Y) = rn(X,JY). Она имеет сигнатуру (3,3) и следующий вид: g = 2e1(a12e2+a14e4+a15e5) - 2a23 e2e3 - 2a46 e4e6. Прямые в^гчисления в системе Maple показывают, что при a14 = 0 данная метрика имеет диагональный оператор Риччи с двумя собственными значениями: a RIC( g) = -diag{-1, -1, -1, +1, -1, +1}. Заключение. На группах Ли G1 - G4 любая левоинвариантная замкнутая 2-форма ю является вырожденной. Можно ослабить требование замкнутости для сохранения невырожденности ю и dю и выполнения свойства юлdю = 0. Оператор Хитчина Kdm, соответствующий 3-форме da>, определяет почти пара-комплексную структуру J. Псевдориманова метрика g(X,Y ) = ю(Х,JY) зависит от 5 до 7 параметров, имеет сигнатуру (3,3) и при обращении в нуль нескольких параметров, оператор Риччи имеет диагональный вид с двумя собственными значениями. Пара (ю,р), где в качестве 3-формы р выступает da>, является согласованной и номали-зованной. Пара-комплексная форма (3,0)-форма имеет вид ¥ = da> +iвdю, где iE -паракомплексная единица. Таким образом, на группах Ли G1 - G4 естественным образом определены многопараметрические семейства почти пара-эрмитовых полуплоских структур с диагональным оператором Риччи с двумя собственными значениями. Для рассматриваемого класса структур (ю,р) не существует псевдо-римановой метрики на GxI с группой голономии из G2 . В то же время, 3-форма Ф = юлdt+dю на GxI является замкнутой. 3.5. Группа Ли G5 Ненулевые коммутационные соотношения: [e1,e2] = e3, [e1,e3] = e4,, [e1,e4] = e5, [e2,e3] = e5, [e3,e4] = e6, [e2,e5] = -e6. Пусть ю = apeiлe' - произвольная левоинвариантная 2-форма. Для общей формы ю оператор Хитчина Кю имеет достаточно сложный вид и следующую функцию X(da>): 2 2 2 2 4 I = 4(a16fl56 + 4a35«56 + 4a36 a56 - 4a36«46 - 4045046056)056+046 . Таким образом, вообще говоря, форма da> является невырожденной. Легко видеть, что форма ю является замкнутой только в том случае, когда a16 = a26 = = a36 = a35 = a45 = a46 = a56 = 0 и a34 = -a25, a24 = a15. Однако такая форма ю является вырожденной. Есть несколько естественных способов ослабить требование замкнутости формы ю, чтобы не потерять невырожденность ю и da>. Вариант 1. В том случае для невырожденности Kdm мы предполагаем нулевыми оба коэффициента a46 и a56. Тогда свойство юлdю = 0 выполняется при условии a15 = 0, a25 = 0 и a12 a56 = a13 a46, a23 = -a14. Форма ю является невырожденной при условии a14a56 Ф 0 и формы ю и da> принимают вид ю = eV(a13a46/a56 e2 + a13 e3 + a14 e4) - a14 e2лe3 + a46 e4лe6 + a56 e5лe6, dю = -a46 e136 + a46 e245 - a56 e146 - a56 e236 + a56 e345, ю2/2 = -a142 e1234 + a13a462/a56 e1246+ a13a46 e1256 + a13a46 e1346 + + 013056 e + 014056 e - 014046 e - 014056 e , s- 2 123456 ю = -6a14 a56 e , р = J (р) = a46 e136 + a56 e146 + a56 e236 + a46 e245+ a562/a46 e246 + a56 e345 + a563/a462 e346, л 2 123456 р лр = 2a46 e , Фл j/^ T 1235 T 3/ 2 1236 T 1245 0 3/ 2 1246 , ^ 3/2 2345 = dJ (d определяет полуплоскую структуру. Отметим, что в работе [13] показано, что на данной группе Ли не существует полуплоских SU(3)-структур. Условие нормализации р лр = 2a>3/3 выполняется, если a462 = -2a142a56. Будем считать коэффициенты a^ зависящими от времени t и рассмотрим уравнения Хитчина [7] для построения псевдоримановой метрики на GxI с группой голономии из G2, определенной 3-формой ф = юлdt+dю: 5 л 5 Л d Л - p = dю, - ю = dр , dt dt где ю" = ю2/2 и р" = Jp*p. В нашем случае р = dra. Поэтому из первого уравнения мы получаем a46 = ce* и a56 = det. Из второго уравнения мы получаем, в частности, что a14, a14a56 являются константами. Это противоречит выполнению второго уравнения и условию нормализации. Таким образом, для рассматриваемого класса структур (ю,р) не существует псевдоримановой метрики на GxI с группой голономии из G2 . Однако 3-форма Ф = юлdt+dю на GxI является замкнутой, если a46 = cet и a56 = det. Функция Х(Лю) оператора Хитчина Kdm для 3-формы Лю принимает вид X = a464. Рассмотрим оператор J = Kdю / a46. Он определяет левоинвариантную почти пара-комплексную структуру J2 = Id, обладающую свойством a)(JXJ7) = -ю(Х,У). Определим псевдориманову метрику g(X,Y) = ю(X,JY) сигнатуры (3,3). Она имеет вид g = 2e1(a13a46/a56 e2+a13e3+a14e4) + + 2e2(a13 e2 +(2a13a56 +a14a46)/a46 e3 + 2a14a56/a46 e4) + 3 2 3 2 2 4 + 2e (a56(a13a56 +a14a46)/a46 e + 2a14a56 )/a46 e ) - 4 6 5 6 3 2 6 6 - 2a46 e e - 2a56 e e - 2a56 /a46 e e . Прямые вычисления тензора кривизны показывают, что данная метрика имеет скалярную кривизну ^ = -8a14a46a56 - a46 + 8a13a56 i2 a6 14 46 Вариант 2. Возьмем форму ю в виде ю = ю0 + юс, где ю0 - общая замкнутая 2-форма и юс - невырожденная 2-форма на идеале C2g = R{e4,e5,e6}. Потребуем от формы ю выполнения свойства юлЛю = 0: a25 = 0, a15 = 0, a12 a56 = a13a46, a56 a23 + a^a56 = 0. Тогда форма ю является невырожденной при условии a14a56 Ф 0. Формы ю и Лю принимают вид ю = e1л( a13a46/a56 e2 + a13 e3 + a14 e4) - a14 e^e3 + a45 e4лe5 + a46 e4лe6 + a56 e5лe6, Лю = a45 e234 - a45 e135 -a46 e136 + a46 e245 - a56 e146 - a56 e236 + a56 e345, ю2 = - 2a14a56 e2356 - a14(1+a464)/( a46a562)e2345 + a13(1+a464)/(2a563)e1245 + , 4, 1246 л 1256 2346 2 1234 , 1356, + 2a13a46/a56e +2a13a46 e - 2a14a46 e - 2a14 e + 2a13a56 e + + 2a14a56 e1456+ 2a13a46 e1346 + a13(1+a464)/(2a46a562)e1345, „3 s- 2 123456 ю = -6a14 a56 e . В этом случае функция Х(Лю) выражается формулой X = a464 -4a46a45a562 и может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Случай 1. Функция Х(Лю) принимает значение -1 при a45 = (a464 + 1)/(4a46a562). Тогда оператор J = Kdm определяет почти комплексную структуру, согласованную с ю. Прямые вычисления показывают: ю2 = -2a142 e1234+ a13(1+a464)/(2a563)e1245+ 2a13a462/a56e1246 + + 2a13a46 e1256 + a13(1+a464)/(2a46a562)e1345 + 2a13a46 e1346 + 2a13a56 e1356 + + 2a14a56 e1456 - 2a14a56 e2356 - a14(1+a464)/(2a46a562)e2345 - 2a14a46 e2346 , „3 s- 2 1 23456 A r* 123456 ю = -6a14 a56 e , p лр = 2e В этом случае пара (a>,p) при p = d< определяет полуплоскую структуру. Условие нормализации p лp = 2ю3/3 выполняется, если a56 = -1/(2aj42). Однако построить псевдориманову метрику на GxI с группой голономии из G2 не удается. Тем не менее 3-форма ф = юлdt+dю на GxI является замкнутой. Зададим псевдориманову метрику сигнатуры (2,4) по формуле g(X,Y) =

Скачать электронную версию публикации