Investigation of the structure of non-isothermal power-law fluid flow in an L-shaped channel.pdf Исследования течений жидкостей представляют интерес как для инженеров и научных работников, так и для разработчиков и производителей технологического оборудования. В металлургии, пищевой, химической промышленности и т. п. является актуальной задача создания средств математического моделирования гидродинамических и теплофизических процессов, сопровождающих переработку жидкостей со сложными реологическими свойствами. Транспортировка жидких сред осуществляется в трубопроводах с различными конструктивными элементами, включая изогнутые каналы, каналы с сужением, расширением, краны, клапаны и т. д. [1, 2]. Во многих случаях при математическом описании течений необходимо учитывать неизотермичность и неньютоновские свойства среды [3, 4]. Исследования структуры ламинарных неизотермических потоков ньютоновской жидкости в каналах с изменением направления течения представлены в обзорах [1, 5]. Профили скорости в различных сечениях области поворота потока представлены в [6]. В [7-10] приводятся результаты исследований установившегося движения несжимаемой жидкости в каналах квадратного сечения в зависимости от значений числа Рейнольдса и степени кривизны колена. В [11] авторами решается трехмерная задача об установившемся течении ньютоновской жидкости методом конечных элементов, проводится сравнение с экспериментальными данными. Исследование условий взаимодействия вязкой жидкости с твердой стенкой, описывающих прилипание, проскальзывание по закону Навье и проскальзывание с предельным напряжением проводилось авторами [12]. В результате расчетов получены картины установившегося течения с образованием циркуляционных зон вблизи угловых точек. Количество работ, посвященных анализу течений неньютоновских жидкостей в каналах с L-образной геометрией, ограничено, причем в основном используются модели вязкоупругих сред [13-18]. Целью работы является исследование неизотермического течения степенной жидкости в плоском L-образном канале с учетом вязкой диссипации и зависимости консистенции от температуры. Математическая постановка задачи Рассматривается стационарное неизотермическое течение степенной несжимаемой жидкости в L-образном канале. Математическую основу описания течения образуют уравнения движения, неразрывности и энергии, записанные в безразмерных переменных в декартовой системе координат. Реологическое поведение жидкости описывается законом Освальда де Виля с экспоненциальной зависимостью консистенции от температуры. Система уравнений имеет вид Re(V V)V = -Vp + V (2BE); (1) (2) (3) (4) B = e VV = 0; Pe(V V)e = A9 + Br• B• A2 ; -e An-1 Здесь V = {u, v} - вектор скорости; p - давление; e = P(T-T0) - температура; А = (2e//e//)1/2 - интенсивность тензора скоростей деформации E; T, T0 - размерные температуры жидкости в потоке и на твердой стенке соответственно; Re = = pU2~nLn/k0 - число Рейнольдса; Ре = cpUL/X - число Пекле; Br = k0Un+1e/(Ln~1X) -число Бринкмана; с - теплоемкость; X - коэффициент теплопроводности; р -плотность; k0 = k1exp(-P(T0-T1)) - консистенция при температуре T0; n, k1, Р, T1 -параметры реологического закона. В качестве масштабов обезразмеривания выбраны следующие величины: длины - L, скорости - U, давления - k0(U/L)n, где L -ширина канала, U - среднерасходная скорость во входном сечении. Область решения показана на рис. 1. Рис. 1. Область решения Fig. 1. Solution domain Жидкость подается через входное сечение Г2 с постоянным расходом, равным единице. Для задания профилей скорости и температуры во входном сечении решается задача одномерного стационарного течения неньютоновской несжимаемой жидкости с учетом диссипативного разогрева и экспоненциальной зависимости консистенции от температуры в плоском бесконечном канале с заданным расходом. Система уравнений, описывающих течение, в безразмерных переменных имеет вид 4 л du 1=5, dy V дУ) д2е _ „ fu2 о + Br • В-I - I = 0, (5) ду2 Vdy1 ~ n-1 du е B=e" dy где 5 = L-| L I - безразмерный перепад давления на единицу длины. Велик0 дх V U чина 5 выбирается такой, чтобы объемный расход жидкости через единицу площади равнялся единице. Граничные условия одномерного течения записываются следующим образом: У = 0, У = 1: u = 0, е = 0. (6) Система уравнений (5) с граничными условиями (6) решается численно [19] с использованием конечно-разностного метода и метода прогонки. На твердых стенках Г1 выполняются условия прилипания и температура равна нулю. В выходном сечении Г3 для продольной скорости и температуры выполняются мягкие граничные условия, поперечная скорость равна нулю. Входная и выходная границы находятся на достаточном удалении от колена во избежание влияния последнего на характер течения в окрестности Г2 и Г3. Метод решения Для получения стационарного решения сформулированной задачи (1) - (4) с соответствующими граничными условиями используется метод установления. Последующее решение уравнений с нестационарными слагаемыми осуществляется конечно-разностным методом контрольного объема с использованием разнесенной разностной сетки. В рамках одного итерационного цикла используется процедура SIMPLE [20], которая предусматривает расчет поля скорости c фиксированным полем давления и последующую коррекцию скоростей и давления с целью удовлетворения уравнения неразрывности. Уравнения движения аппроксимируются с применением экспоненциальной схемы, а уравнение энергии - с привлечением схемы против потока для аппроксимации конвективных слагаемых. Для тестирования численной методики были проведены расчеты на последовательности сеток. В табл. 1, а представлены значения продольной скорости v и температуры е в центре выходного сечения в зависимости от шага сетки, демонстрирующие аппроксимационную сходимость. Количественное подтверждение аппроксимационной сходимости приведено в табл. 1, б, где показаны значения относительных ошибок, рассчитанных по следующим формулам: •100%, Ее = Е, = (5) •100%, где: ивх, 0,вх - поперечная скорость и температура на входной границе Г2; у,вых, 9,вых - продольная скорость и температура в выходном сечении Г3, полученные с использованием численной методики; i - номер узла расчетной сетки, i = 0, N - узлы на твердой стенке. Таблица 1 а Аппроксимационная сходимость при Re = 0.01, Pe = 100, n = 0.8, Br = 0.5 Шаг сетки v е* 1/10 1.4672 0.2658 1/20 1.4774 0.2730 1/40 1.4821 0.2764 1/80 1.4856 0.2773 Таблица 1 б Аппроксимационная сходимость при Re = 0.01, Pe = 100, n = 0.8, Br = 0.5 Шаг сетки Ev, % Ее, % 1/10 1.5836 5.6620 1/20 1.6749 3.8440 1/40 1.3934 2.9814 1/80 0.9897 2.3480 Все дальнейшие расчеты проводились с использованием шага сетки 1/80. Результаты расчетов На рис. 2 показаны картины течения псевдопластичной жидкости (n < 1) в виде распределений линий тока в зависимости от значений числа Рейнольдса при Pe = 100, Br = 0.5. При числах Рейнольдса, равных 0.1 и 1 (рис. 2, a и b), в окрестности угловой точки T (рис. 1) формируется практически застойная зона. По мере увеличения числа Рейнольдса формируется циркуляционная зона, которая становится заметной при Re = 20 (рис. 2, с). При дальнейшем усилении инерционного эффекта появляется вторая циркуляционная зона в окрестности точки R (рис. 1 и 2, d), размер которой значительно увеличивается при Re = 120 (рис. 2, f). В ходе численных расчетов было установлено, что изменение числа Пекле в диапазоне 100 < Pe < 5000 оказывает незначительное влияние на структуру потока. Рис. 3 демонстрирует изменение картины течения при переходе от псевдопластичных свойств жидкости к дилатантным (n > 1) при Pe = 100, Br = 0.5. При Re = 1 незначительно увеличивается размер циркуляционной зоны в углу канала (рис. 3, a-c). При Re = 50 размеры циркуляционной зоны в окрестности точки R (рис. 1, рис. 3, d-f) уменьшаются на порядок. Рис. 2. Линии тока при n = 0.8, Pe = 100, Br = 0.5: а - Re = 0.1; b - Re = 1; c - Re = 20; А - Re = 50; e - Re = 90; f- Re = 120 Fig. 2. Streamlines at n = 0.8, Pe = 100, and Br = 0.5: Re = (а) 0.1, (b) 1, (c) 20, (d) 50, (e) 90, and (f 120 Рис. 3. Линии тока при Pe = 100, Br = 0.5, Re = 1 (а-c) и Re = 50 (d-f): а, d - n = 0.6; b, e - n = 1; c, f- n = 1.4 Fig. 3. Streamlines at Pe = 100, Br = 0.5, Re = (а-с) 1 and (d-f) 50: n = (а, d) 0.6, (b, e) 1, and (c, f) 1.4 На рис. 4 показано влияние числа Бринкмана на картину течения псевдопластичной жидкости при Re = 50, Pe = 100. Результаты расчетов для данного режима течения показывают, что увеличение интенсивности диссипации механической энергии жидкости в рассматриваемом диапазоне слабо влияет на структуру потока. Рис. 4. Линии тока при n = 0.8, Re = 50, Pe = 100: a - Br = 0.6; b - Br = 0.8; с - Br = 1; d- Br = 1.1; e - Br = 1.3; f- Br = 1.5 Fig. 4. Streamlines at n = 0.8, Re = 50, and Pe = 100: Br = (a) 0.6, (b) 0.8, (с) 1, (d) 1.1, (e) 1.3, and f) 1.5 Зависимость размеров циркуляционных зон от определяющих безразмерных параметров задачи и степени нелинейности жидкости демонстрирует рис. 5. С ростом числа Рейнольдса размеры обеих циркуляционных зон в рассматриваемой области течения увеличиваются (рис. 5, а). Возможно, это связано с ростом значений эффективной вязкости псевдопластичной жидкости (n < 1) в областях малых значений интенсивности тензора скоростей деформации. Поперечные и продольные размеры циркуляционной зоны в окрестности точки T, а также поперечные размеры циркуляционной зоны в окрестности точки R с ростом числа Бринкмана меняются слабо (рис. 1 и 5, b). С ростом степени нелинейности жидкости размеры циркуляционной зоны в окрестности точки T канала стремятся к постоянной величине (рис. 1 и 5, с). На рис. 6, a-с показано влияние критериев подобия Re, Br и параметра реологической модели n на размер областей двумерного течения при прочих равных условиях. Областями одномерного течения здесь будем называть расстояния от входной и выходной границ канала до сечений, в которых безразмерная продольная скорость отклоняется от решения одномерной задачи более чем на 1 %. Начиная с указанного сечения, фиксируются длины зон двумерного течения как расстояния h1 и h2 в сторону по потоку от входной границы Г2 и в сторону против потока от выходной границы Г3 соответственно до противоположных стенок канала, как показано на рис 6. Из полученных зависимостей видно, что для течения псевдопластичной жидкости при п = 0.8, Pe = 100 (рис. 6, a и b) размер зоны двумерного течения на участке ST (рис. 1) меньше, чем на участке QT (рис. 1) и с ростом чисел Рейнольдса и Бринкмана стремится к постоянному значению. При переходе свойств жидкости от псевдопластичной к дилатантной при Re = 50, Pe = 100 (рис. 6, с) длина зоны двумерного течения h2 уменьшается, а значение h1 возрастает. Рис. 5. Размеры циркуляционных зон при Pe = 100: a - п = 0.8, Br = 0.5; b - п = 0.8, Re = 50; c - Br = 0.5, Re = 50 Fig. 5. The sizes of recirculation zones at Pe = 100: (a) n = 0.8, Br = 0.5; (b) n = 0.8, Re = 50; and (c) Br = 0.5, Re = 50 На рис. 7 показано сравнение картины течения в области внутреннего и внешнего углов плоского канала при п = 1 и Re = 48 в изотермическом приближении (сплошные линии) с расчетными данными [10] (пунктирные линии). В [10] с помощью конечно-разностного метода решаются уравнения в переменных функция тока - вихрь, описывающих стационарное ламинарное движение ньютоновской жидкости. Наблюдается качественное и количественное согласование результатов по размерам и местоположению циркуляционных зон. Рис. 6. Размеры областей двумерного течения при Pe = 100: a - n = 0.8, Br = 0.5; b - n = 0.8, Re = 50; c - Br = 0.5, Re = 50 Fig. 6. The sizes of two-dimensional flow regions at Pe = 100: (a) n = 0.8, Br = 0.5; (b) n = 0.8, Re = 50; and (c) Br = 0.5, Re = 50 Рис. 7. Картина течения при n = 1, Re = 48, Br = 0 (пунктир -данные [10]) Fig. 7. Flow pattern at n = 1, Re = 48, and Br = 0 (the dashed line indicates the data from [10]) На рис. 8, a-d показаны компоненты вектора скорости дилатантной жидкости при Pe = 100, Br = 0.5 для двух чисел Рейнольдса. Изменение числа Re от 0.1 до 50 приводит к возрастанию поперечных и продольных скоростей в областях перестроения потока жидкости и к возникновению циркуляционных зон. 0 1 2 3 4 5 ОН-Т-т- -т-1-ho 2 3 4 52 3 4 5 Рис. 8. Поле скорости u (a, b) и v (с, d) при n = 0.8, Pe = 100, Br = 0.5: a, с - Re = 0.1; b, d - Re = 50 Fig. 8. Velocity field of u (a, b) and v (с, d) at n = 0.8, Pe = 100, and Br = 0.5: Re = (a, с) 0.1 and (b, d) 50 На рис. 9, a и b показаны распределения безразмерных компонент вектора скорости в окрестности точки R (см. рис. 1) при движении ньютоновской жидкости с числом Рейнольдса равным 4, которые сравниваются с экспериментальными данными [14] визуализации потока жидкости в L-образном канале прямоугольного сечения. В [14] при проведении эксперимента в качестве ньютоновской жидкости использовался водный раствор сиропа мальтозы, а измерения проводились с помощью лазерного допплеровского анемометра. Рис. 9, a и b демонстрируют удовлетворительное согласование результатов. Рис. 9. Поле скорости u (a) и v (b) при n = 1, Re = 4, Br = 0 (пунктир - данные [14]) Fig. 9. Velocity field of u (a) and v (b) at n = 1, Re = 4, and Br = 0 (the dashed line indicates the data from [14]) Заключение В результате проведенного исследования показано влияние числа Рейнольдса на размеры циркуляционных зон в окрестности внутреннего и внешнего углов L-канала для стационарного движения степенной жидкости. Было установлено, что изменение интенсивности диссипации механической энергии в потоке слабо меняет картину течения. Изменение параметра реологической модели n при переходе свойств жидкости от псевдопластичных к дилатантным показывает, что размеры циркуляционной зоны в области внутреннего угла канала стремятся к постоянной величине. Был проведен параметрический расчет размеров областей двумерного течения в зависимости от чисел Рейнольдса, Бринкмана и степени нелинейности жидкости. При n < 1 наблюдается рост указанных размеров при увеличении параметра Рейнольдса от 0.1 до 120 и росте числа Бринкмана от 0.7 до 1.4. Анализ результатов расчета показал, что с ростом n размер области двумерного течения перед поворотом потока увеличивается и стремится к постоянной величине, а после поворота - уменьшается. Для ньютоновской жидкости сравнение с численными и экспериментальными данными других авторов показывает согласование результатов.

Скачать электронную версию публикации