Criterion for binary decomposability of an algebraic operation.pdf Как правило, чаще всего в алгебре изучаются унарные и бинарные операции. Множество работ посвящено исследованиям групп гомоморфизмов Hom( A, B) и колец эндоморфизмов E(A), напр. [1-3]. Также известна группа умножений Mult( A) . При изучении гиперкомплексных числовых систем и конечномерных алгебр тоже идёт речь о бинарных операциях. Конечномерные алгебры тесно связаны с группой Mult( A) . Однако, кроме них, существуют и n -арные алгебраические операции, причём это вовсе не редко используемые абстракции, лишённые геометрического смысла, а напротив, довольно часто встречающиеся в геометрии. Так, к примеру, обобщённое векторное произведение в пространстве Rn+1, в результате которого может быть образован общий перпендикуляр к исходным n векторам, является n -арной операцией. Представим некоторый обзор работ, связанных с n -арными операциями. Несмотря на то, что n -арные группы занимают в алгебре не столь значительное место, как группы с обычными бинарными операциями, тем не менее присутствует довольно большая серия работ по данной тематике. В основном исследования движутся по пути обобщения некоторых свойств, ранее известных для групп с бинарными операциями [4-13]. Эта тематика развивается ещё с первой половины XX века [4]. Также существует множество работ зарубежных авторов, например [6-8]. В XXI веке n -арные группы изучаются в Белоруссии (Гальмак А.М. и другие) [9-13]. Несмотря на обилие работ по обобщениям различных свойств на n -арный случай, непосредственно самим взаимосвязям между n -арной и бинарными операциями посвящено мало работ, и данная статья, следует надеяться, заполнит этот пробел. Бинарные алгебраические операции наиболее изучены. В связи с этим, естественно, возникает вопрос, какие из n -арных операций сводятся к композиции бинарных. Автором исследовались некоторые свойства n-арных алгебраических операций [14]. Были найдены примеры бинарно-неразложимых операций и поставлен вопрос о нахождении необходимых и достаточных условий бинарной разложимости. В данной статье получает развитие предложенный автором в [15] матрично- 12 М.А. Приходовский тензорный подход, а также решаются некоторые из проблем, поставленных в [14]. Исторически сложившееся использование символьной таблицы умножения (вместо структурного тензора) при построении гиперкомплексных систем и конечномерных алгебр, до настоящего времени присутствующее в данной области, не позволило бы ставить и решать подобного рода задачи. Таким образом, можно с уверенностью предположить, что данное исследование обладает новизной. Операция f (a,b,c) называется бинарно-разложимой, если существуют две такие бинарные операции g,h, что f (a,b,c) = h(g(a,b),c) . Отдельный интерес представляет изучение необходимых и достаточных условий бинарной разложимости полилинейных операций в связи с тем, что всякое нелинейное отображение из f: Rn → Rn представимо в виде обобщённого ряда Тейлора, состоящего из полилинейных отображений. В данной работе ставится задача выполнить такую базовую задачу: найти необходимые и достаточные условия, которым должен удовлетворять структурный тензор трилинейной операции так, что существует пара билинейных операций, композицией которых является исходная трилинейная операция. Пусть трилинейная алгебраическая операция в Rn задана с помощью своего структурного тензора. Каждой тройке базисных векторов ei,ej,ek поставлен в со-n ответствие вектор ∑ γijkses . Таким образом, имеется 4-мерная матрица С поряд-s=1 ка n с элементами γijks . Пусть существуют две билинейные операции g и h, заданные матрицами A и B соответственно. При этом матрица A состоит из элементов αijk таким образом, что g(ei,ej) = ∑ αijmem , m=1 а для матрицы B и её элементов βmks соответственно выполняется h(em,ek) = ∑βmkses . s=1 Тогда из равенства f (ei,ej,ek) = h(g(ei,ej ),ek) следует = Σαijmh (em , ek ) = Σ Таким образом, ∑γijkses s=1 n C _n _ _n C n л αijm I Σβmkses I = ∑l Σ α≈jmβmks I es . m=1 \\ s=1 J s=1 \\ m=1 J nCn л = ∑l ∑αymβmks I eS для всякого s = l,..., n . s=1 \\ m=1 J n h I Σαijmem , ek m =1 \\ m=1 В итоге, имеется n4 равенств: ∑αijmβmks = γijks . m=1 Нахождение чисел αijm,βmks возможно в данном случае с помощью прибли- 4 жённого решения получившейся системы нелинейных уравнений, содержащей n уравнений и 2n3 неизвестных. Однако итерационные методы не могут дать ответ о существовании или не существовании точного решения. Поэтому наибольший Критерий бинарной разложимости алгебраической операции 13 интерес представляет не приближённое, а точное решение, а также способ находить однозначный ответ о существовании или не существовании бинарного разложения, зная структуру матрицы, состоящей из коэффициентов γijks. Для нахождения такого критерия используем некоторые взаимосвязи между уравнениями в данной системе, возникающие вследствие специфики нелинейных уравнений этой системы. Определение. Пусть С - четырёхмерная матрица, задающая трилинейную операцию в Rn . Её развёрткой назовём матрицу Ω порядка n^, построенную следующим образом: в каждой строке содержатся все элементы того или иного двумерного сечения матрицы C , т. е. все элементы, полученные при фиксирован-нии двух последних индексов. В столбце при этом расположены элементы из двумерного сечения при двух других фиксированных индексах: (( γ1111 ... γ1n11 У n111 ... У nn11 ∖γ111n γ 1n1n √ ∖γ n11n γ nn1n J γ11n1 ... γ1nn1 γ n1n1 ... γ nnn1 v∖γ11nn γ 1nnnJ ∖γ n1nn γnnnn JJ Теорема. Трилинейная операция, заданная матрицей С , состоящей из структурных констант γijks , является разложимой в композицию двух билинейных тогда и только тогда, когда развёртка матрицы С является матрицей ранга не более n. Доказательство. 1. Необходимость. Запишем какие-либо n2 из n4 имеющихся уравнений, заранее задавая некоторые i, j, изменяя при этом лишь k, m. Если существуют та-n кие две трёхмерные матрицы A,B, что выполняются равенства ∑ αijmβmks = γijks, m=1 то для любых i, j от 1 до n верно αi∕∙1β111 + ... + α i∕nβ n11 =γ i∕∙11, ^αi∕∙1β11n + ... + αi∕'nβn1n = γi∕∙1n 'αy1β1n1 + ... + αynβnn1 =Yyn1, ^αi∕'1β1nn + ... + α∕jnβnnn γ i∕'nn. В каждой из таких систем участвуют все n3 элементов β . Если при этом рассматривать элементы β в качестве коэффициентов, каждая такая система равенств может рассматриваться как система линейных уравнений на n неизвестных αij1,...,αijn, состоящая из n2 уравнений. Ранг основной матрицы этой систе- 14 М.А. Приходовский мы, очевидно, меньше или равен n , так как здесь всего n столбцов. Существуют базисные строки в количестве меньше или равном, чем n . Линейная зависимость между векторами-строками выражается с помощью некоторого набора коэффициентов Kms. 2 столбцам: Л K11 к Но в этом случае ранг расширенной матрицы должен быть равен рангу основной матрицы, то есть эта линейная зависимость должна сохраняться и для строк расширенной матрицы. В таком случае для любых i,j=1,...,n верно (K11γij11 +...+K1nγij1n)+...+(Kn1γijn1 +...+Knnγijnn) =0. При этом данная зависимость распространяется на все столбцы матрицы Ω , ведь для элементов в всегда будут одни и те же коэффициенты Kms , независимо от i,j=1,...,n. Таким образом, имеет место линейная зависимость строк матрицы Ω , определяемая коэффициентами Kmss. Ранг системы строк матрицы Ω в таком случае равен рангу основной матрицы, определяемой коэффицентами в , а значит, он меньше или равен n . Необходимость доказана. 2. Достаточность. Пусть ранг матрицы Ω меньше или равен n и пусть для определённости базисный минор расположен в первых n столбцах. Укажем способ построения матриц A и B . Система нелинейных уравнений может иметь бесконечно много решений, поэтому, если мы зафиксируем часть неизвестных и укажем точный способ вычисления остальных, этого будет достаточно для существования хотя бы одного решения. Зададим одно сечение 3-мерной матрицы A в количестве n2 элементов таким способом: α1 11n 1 Для удобства записи расположим координаты этих n векторов по Γβ1111 vβn11 √ +...+K1n Лв 11 P 11n \\ви1и )) л +... + K, л 1 n1 1 rβ1nn 11 Л01 (α л111 kα1n1 Тогда для первой системы имеем α111β111 + ... + α11nβn11 = γ1111, α111β11n+...+α11nβn1n=γ111n, α111β1n1 +...+α11nβnn1 =γ11n1, ,α111β1nn + ... + α11nβnnn = γ11nn n1 к ∖β ии1 ) α1nn) n2 из n +...+Knn 10 ) =E. β111 + 0... + 0 = γ1111, .β11n + 0... + 0 = γ111n, β1n1 + 0... + 0 = γ11n1, .β1nn + 0... + 0 = γ11nn. 3 элементов матрицы B . Отсюда получаем значения первых Изменяя индекс j от 1 до n , с помощью n подобных систем получим в итоге значения всех n3 элементов матрицы B . Последняя из систем равенств, к примеру, имеет вид Критерий бинарной разложимости алгебраической операции 15 α1n1β111+...+α1nnβn11 = γ1n11, 0 + ... + 0 + βn11 = γ1n11, . α∣nl β∣ln + ... + α1nnβn1n = γ1n1n , .0+...+0+βn1n = γ1n1n , α1n1β1n1+...+α1nnβnn1 = γ1nn1, 0 + ... + 0 + βnn1 = γ1nn1, .α1n1β1nn +... +α1nnβnnn = γ1nnn, .0 + ... + 0 + βnn1 = γ1nnn . Далее, зная матрицу B , вычислим оставшиеся элементы матрицы A (одно её сечение мы заранее задали с помощью чисел 0 и 1). Основная матрица каждой такой системы состоит из первых n столбцов матрицы Ω , а правая часть системы - какой-либо столбец этой же матрицы Ω , ранг которой меньше или равен n. Каждая такая система совместна, и можно найти значения (αij1,...,αijn) для заданных номеров i, j. Пара чисел i,j определяет переменные (αij1,...,αijn) в системе уравнений, при этом правая часть - столбец матрицы Ω, такой, что первыми двумя индексами элемента γ являются i, j. Изначально мы присваивали значения элементам (α111,...,α11n), ..., (α1n1,...,α1nn), то есть пары i,j были от (1,1) до (1,n), потому что полагали базисный минор находящимся в первых n столбцах матрицы Ω . Если же он расположен иначе, то первоначальное присвоение будет производиться для другой совокупности из n2 элементов матрицы A, после чего нахождение остальных элементов производится аналогичным образом. Итак, если ранг матрицы Ω , построенной для 3-арной операции, меньше или равен n, то существуют две бинарные операции, в композицию которых разложима исходная 3-арная операция. Достато чность доказана. □ Таким образом, для получения ответа о бинарной разложимости той или иной трилинейной операции достаточно найти ранг матрицы Ω . Проблема определения наличия бинарного разложения может быть решена без использования приближённых методов решения систем нелинейных уравнений, данная проблема сводится к линейным системам. Пример. Рассмотрим пример из [5], докажем бинарную неразложимость способом, полученным в данной работе. Рассматривалось обобщённое векторное полипроизведение в пространстве R4 . Получающийся результат такой операции -вектор, ортогональный всем трём исходным и вычисляемый с помощью определителя следующим образом: ω(x,y,z)= x1 y1 z1 i x2 y2 z2 j x3 y3 z3 k x4 y4 z4 l При этом для базисных элементов i,j,k,l выполняются равенства: ω(i,j,k) = ω(j,k,i) = ω(k,i,j) = l, ω(j,i,k) = ω(i,k,j) = ω(k,j,i) = -l, ω(k,j,l) = ω(l,k,j) = ω(j,l,k) = i, ω(j,k,l) = ω(k,l,j) = ω(l,j,k) = -i, ω(k,l,i) = ω(l,i,k) = ω(i,k,l) = j, ω(l,k,i) = ω(i,l,k) = ω(k,i,l) = -j, ω(i,l,j) = ω(l,j,i) = ω(j,i,l) = k, ω(l,i,j) = ω(i,j,l) = ω(j,l,i) = -k. 16 М.А. Приходовский Таким образом, 24 из 64 произведений отличны от 0, остальные соответствуют наборам элементов, содержащим хотя бы пару совпадающих, и поэтому равны 0. Тогда развёртка тензора для этой операции является матрицей порядка 16, в общем виде она выглядит так: ґ γ1111 γ1211 γ1311 Y1411' ҐУ2111 У2211 У2311 Y2411 ' ҐУ3111 У3211 У3311 У3411 ' ґУ4111 У4211 У4311 У4411 γ1112 γ1212 γ1312 γ1412JJ У 2112 У2212 У2312 У 2412 У 3112 У3212 У3312 У 3412 У 4112 У4212 У4312 У4412 γ1113 γ1213 γ1313 γ1413JJ Y 2113 У2213 У2313 Y 2413 У3113 У3213 У3313 У3413 У 4113 У4213 У4313 У4413 Vγ1114 γ1214 γ1314 γ1414√ Vγ2114 У2214 У2314 У 2414√ Vу 3114 У3214 У3314 У3414√ vγ4114 У4214 У4314 ^y 4414 J 'Y1121 γ1221 γ1321 Y1421' γ2121 У2221 У2321 γ2421 ґУ3121 У3221 У3321 У3421 ' ґУ4121 У4221 У4321 У4421 γ1122 γ1222 γ1322 γ1422 J γ 2122 У2222 У2322 У2422 J У 3122 У3222 У3322 У3422 J γ4122 У4222 У4322 У4422 γ1123 γ1223 γ1323 γ1423JJ У 2123 У2223 У2323 У2423 JJ У3123 У3223 У3323 У3423 JJ У 4123 У4223 У4323 У4423 Vγ1124 γ1224 γ1324 γ1424√ Vγ2124 У2224 У2324 У 2424 √ vγ 3124 У3224 У3324 У 3424√ vγ4124 У4224 У4324 У4424 J 'Y1131 γ1231 γ1331 Y1431' ґУ2131 У2231 У2331 У 2431 ' ґУ3131 У3231 У3331 У3431 ' ґУ4131 У4231 У4331 У4431 γ1132 γ1232 γ1332 γ1 432 JJ У 2132 У2232 У2332 У2432 J У3132 У3232 У3332 У3432 JJ У4132 У4232 У4332 У4432 γ1133 γ1233 γ1333 γ1 433 JJ У2133 У2233 У2333 У2433 JJ У3133 У3233 У3333 У3433 JJ У4133 У4233 У4333 У4433 Vγ1134 γ1234 γ1334 γ1434√ vγ 2134 У2234 У2334 У 2434 √ vγ 3134 У3234 У3334 У3434 √ vγ4134 У4234 У4334 У4434 J 'Y1141 γ1241 γ1341 γ1441 ґУ2141 У2241 У2341 У2441 ґУ3141 У3241 У3341 γ3441 ґУ4141 У4241 У4341 У4441 γ1142 γ1242 γ1342 γ1442J У2142 У2242 У2342 У 2442 У3142 У3242 У3342 У3442 J У4142 У4242 У4342 У4442 γ1143 γ1243 γ1343 γ1443 JJ У2143 У2243 У2343 У2443 У3143 У3243 У3343 У3443 JJ У4143 У4243 У4343 У4443 Vγ1144 γ1244 γ1344 γ1444√ vγ2144 У2244 У2344 У 2444 √ vγ3144 У3244 У3344 γ 3444 J Vγ4144 У4244 У4344 У4444 V Отличными от нуля являются лишь те элементы, где нет двух совпадающих индексов. Так, например, ω(i,j,k) = l, или в других обозначениях ω(e1,e2,e3)=e4 = 0e1 + 0e2 + 0e3 +1e4 , вследствие чего γ1231 = γ1232 = γ1233 =0, γ1234 =1. Аналогично строятся структурные константы и для остальных произведений. В итоге для исследуемой операции эта матрица имеет вид ґґ 0 0 0 V 0 ґ 0 0 0 V0 ґ0 0 0 V0 ґ0 0 0 V0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0JJ 0JJ 0 0JJ 1JJ 0 j 0 '' -1JJ 0JJ 0 0JJ 0JJ " 0 0 0 V0 ' 0 0 0 V0 ' 0 0 0 V-1 " 0 0 1 V0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0JJ -1JJ 0'' 0JJ 0JJ 1 0JJ 0JJ 0 0JJ 0JJ ' 0 0 0 V0 ' 0 0 0 V1 ' 0 0 0 V0 " 0 -1 0 V0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 J -1^ 0 0 0 j 0 0JJ 0JJ 0 0JJ 0JJ " 0 0 0 V0 ' 0 0 -1 V0 " 0 1 0 V0 " 0 0 0 V0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0JJ 0JJ 0 0JJ 0JJ 0 0JJ 0JJ 0'' 0JJ 0JJ 0 Перечислим, где расположены ненулевые элементы: 2-й и 5-й столбцы: 12, 15 строки, 4-й и 13-й столбцы: 7, 10 строки, 8-й и 14-й столбцы: 3, 9 строки, 3-й и 9-й столбцы: 8, 14 строки, 7-й и 10-й столбцы: 4, 13 строки, 12-й и 15-й столбцы: 2, 5 строки. Критерий бинарной разложимости алгебраической операции 17 Базисный минор состоит из 6 столбцов, ранг данной матрицы равен 6, что больше 4, поэтому операция, ей соответствующая, не может быть представлена в виде композиции двух бинарных. Данный способ установления бинарной разложимости 3-арной операции является легко программируемым на любом алгоритмическом языке.

Скачать электронную версию публикации