The method of boundary states in the solution of the second fundamental problem of the theory of anisotropic elasticity .pdf Современные материалы, такие, как эластомеры, поликристаллические металлы, керамика, а также композитные материалы, применяемые в конструкциях, механизмах и машинах, часто пребывают в сложных кинематических условиях. Данные материалы обладают значительной анизотропией в отношении упругих свойств. На тела, находящиеся в таких условиях, действуют массовые силы, а на перемещения точек границы наложены ограничения. Определение напряженно-деформированного состояния (НДС) от совокупности таких воздействий в силу сложной физической природы материалов составляет актуальную научную задачу. В механике объемные или массовые силы рассматривались в задачах разного направления. Например, в работе [1] построено численно-аналитическое решение плоской задачи теории упругости с использованием метода взвешенных невязок в форме метода граничного решения. Найдено распределения напряжений и смещений в упругом теле, подверженном действию заданной системы объемных сил и заданных напряжений или смещений на границах. В работе [2] исследовались вынужденные деформации в виде суммы воздействий поверхностных и объемных сил. В работе [3], используя фиктивные расчетные схемы, основанные на эквивалентности воздействий в механике деформируемого твердого тела, получены напряженно-деформированные состояния для балки на двух опорах, находящейся под действием массовых сил; вращающегося тонкого круглого диска; плотины треугольного поперечного сечения, находящейся под действием объемных фильтрационных сил. Авторы работы [4] рассматривали задачи теории упругости с заданными объемными и поверхностными силами в функциональных энергетических пространствах тензоров напряжений и деформаций. Методом ортогональных проекций решены конкретные задачи. Объемные силы рассматривались и в механике разрушения [5]; дается решение задачи о зарождении трещин в метал- 1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Липецкой области в рамках научного проекта № 19-41-480003 "р_а". 46 Д.А. Иванычев лическом круговом диске под действием объемных сил. В работе [6] для перемещений получено условие эквивалентности поверхностных и объемных сил при использовании вариационного уравнения Лагранжа. Авторами работы [7] было построено поле перемещений для изотропного упругого тела, ограниченного концентрическими сферами и находящегося под действием осесимметричных нестационарных объемных сил. Автором [8] получены точные аналитические решения задач о равновесии толстостенных трансверсально-изотропных составных сфер с жестко закрепленной или закрепленной только в радиальном направлении внешней поверхности, находящихся под действием массовых сил и внутреннего давления. В работах [9, 10] редуцирован обратный метод определения напряженно-деформированного состояния изотропных упругих тел от действия непрерывных непотенциальных объемных сил. Метод граничных состояний (МГС) с участием объемных сил для изотропной среды применен в работе [11]. А в работе [12] продемонстрирован прием включения в круг расчетных вопросов МГС объемных сил, составляющих линейную комбинацию «эталонных» воздействий на односвязное ограниченное тело. В работе [13] разработана методика получения полнопараметрических решений для анизотропных тел, где возникновение фиктивных массовых сил являлось следствием применения метода Пуанкаре. Методом граничных состояний вопрос кручения анизотропных стержней сложного сечения исследовался в работе [14]. Этот метод оперирует понятием внутренней энергии упругой деформации. C помощью метода минимизации полной энергии деформации в работе [15] решена задача по определению напряженно-деформированного состояния, возникающего при осадке жесткопластической тонкой квадратной заготовки. Авторами [16] представлено решение уравнения Лапласа в осесимметричных областях с осесимметричными граничными условиями с помощью непрямого метода граничных элементов рассмотрено в работе. В работе [17] рассмотрены контактные задачи для трансверсально-изотропного цилиндра в условиях одновременного действия массовых сил и условий на границе. В рамках настоящей работы предполагается применение энергетического метода граничных состояний для решения осесимметричной второй основной задачи теории упругости с массовыми силами для трансверсально-изотропных тел вращения. Особенность искомого упругого поля состоит в том, что его след одновременно удовлетворяет заданным условиям на границе и внутри области, т.е. массовым силам, а не представляет собой сумму отдельных полей в задаче эла-стостатики и в задаче от действия массовых сил. 1. Постановка задачи U Рис. 1. Трансверсальноизотропное тело вращения Fig. 1. A transversely isotropic body of revolution Рассматривается трансверсально-изотропное тело, ограниченное одной или несколькими коаксиальными поверхностями вращения с заданными перемещениями точек границы и = {u, w} и массовыми силами X = {R,Z}, симметричными относительно оси вращения (рис. 1). Решение поставленной задачи можно провести простым путем: сначала решить краевую задачу механики в зависимости заданных на границе перемещений [18], затем отдельно решить задачу по определению упругого состояния под действием массо- Метод граничных состояний в решении второй основной задачи 47 вых сил и полученные поля характеристик напряженно-деформированного состояния сложить. Однако в этом случае сложно проводить анализ полученного результата исходя из теорий прочности и жесткости, возникает необходимость дискретно корректировать граничные условия в краевой задаче, что составляет непростую и трудоемкую задачу, особенно если граница тела частично или полностью защемлена. Например, естественно, что напряжения внутри тела, находящегося, например, под действием сил инерции со свободной границей, отличаются от напряжений в том же теле с защемленной границей, вопрос состоит в том, каким образом происходит это перераспределение. Целью работы является создание подхода на основе метода граничных состояний, позволяющего получить заданное перераспределение напряжений, деформаций и перемещений. 2. Определяющие соотношения для среды Для однородной трансверсально-изотропной среды в цилиндрических координатах имеют место следующие соотношения [19]: Дифференциальные уравнения равновесия в цилиндрической системе координат z , r , θ : ∂τ-r ∂σr 1 ∂τrθ σr-σθ --z- + +--rθ + -r---θ + R = 0 ; ∂- ∂r r∂θ r ∂σz∂τzr1 ∂τzθ τzr -- +---z- +---zθ+-z- + Z = 0; ∂z ∂r r∂θ r (1) ∂τ-θ+∂τrθ ∂-∂r где R, Z, Q - массовые силы. Соотношения Коши: ∂w εZ =^; εr z ∂z r τrθ+Q =0, r ∂u ∂r ’ 1 ∂vu ---1-; γ zr r∂θ r-r ∂w∂u ∂r ∂z ’ (2) ∂v 1 ∂w ∂z r ∂θ 1 ∂u∂vv γ rθ = дм ; γ zθ = r∂θ ∂rr Обобщенный закон Гука: ε Z = [’ Z-ν Z (’r +σθ)]; -E- --r ε=1 σ-νσ -νZ σ (3) ε=1 σ-νσ -νZ σ ErEZ 1 1 1 2(1+νr) γZr =^ TZr ; γzQ ~ τZθ ; γrQ ~ τrθ γ-ι τrθ , Zr GZ Zr ZGZ ZrGrrErr 48 Д.А. Иванычев где Ez и Er - модули упругости соответственно в направлении оси z и в плоскости изотропии; ν z - коэффициент Пуассона, характеризующий сжатие вдоль r при растяжении вдоль оси z; νr - коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное сжатие в плоскостях изотропии при растяжении в этих же плоскостях; Gr и Gz - модуль сдвига в плоскостях изотропии и перпендикулярных к ним. 3. Задача эластостатики С помощью метода интегральных наложений установлена зависимость между пространственным напряженным и деформированным состоянием упругого трансверсально-изотропного тела и определенными вспомогательными двумерными состояниями, компоненты которого зависят от двух координат z и y (переменных) [19]. В качестве плоских вспомогательных состояний используется плоская деформация, возникающая в цилиндрах бесконечной длины, имеющих в каждой точке плоскость упругой симметрии, параллельную плоскости zy (направление η ⊥ плоскости zy): где константы q1 и σzp =- Re[y12 Φ1 (ς1 )+У2 φ2 (ς2)]; σyp = Re[φ1 (ς1 )+φ2 (ς2)]; σ zyp =-Re[γ1φ1 (ς1 )+у 2 φ2 (ς2)]; = νrσp + ν z e σ p; τ zθ =0; τrθ =0; Ez uzp' = Re[ P1Φ1 (ς1)+P2^2 (ς2)]; uyp' = Re['⅛1φ1 (ς1)+iq2 Φ2 (ς2)], (4) σηpl η p1 определены упругими параметрами материала, ςj = z / γ j + iy , γj - комплексные корни характеристического уравнения, функции φ j (ς j) - аналитические по своим переменным. Переход к осесимметричному пространственному состоянию в цилиндрических координатах осуществляется по зависимостям [18] 1 r σPl 1 r σzPyl ’==^π∫~rσ^y; σ-r = ∏I ∣2z' гdy; σ'θ=σrθ; -^r - y ‘'■-r^r - y σ-σ=1 r (σyPl -σηPl)(2y2-r2) (5) 2 Γl. 2 r y∣r - >" + ση' )dy I dy; -r y∣r- y2 π *' -r =і f

Скачать электронную версию публикации