Modified formulation of the iterative algorithm for solving linear viscoelasticity problems based on separation of time .pdf Многие конструкционные материалы проявляют вязкоупругие свойства. Чаще всего необходимость учета таких свойств возникает в отношении полимеров и композиционных материалов с полимерной матрицей. Тем не менее вязкоупругие свойства проявляют также и традиционные материалы, например дерево, бетон или стекло. Помимо этого, необходимость учета ползучести и/или релаксации в механически нагруженных телах может возникать в самых разных областях, таких как, например, дорожное строительство, геология, разработка автомобильных шин, биомедицинские исследования [1], аэрокосмические разработки [2] и т.д. Начало изучения влияния времени на напряженно-деформированное состояние изделий из металлов, резины и стекла положено в конце девятнадцатого - начале двадцатого веков Кельвином, Максвеллом, Больцманом и другими [3]. Максвелл сформулировал закон деформирования с течением времени в дифференциальном виде [4, 5]. Несколько позже разработан Больцманом и развит Вольтерра общий математический аппарат для описания линейной ползучести [4, 6-8]. В связи с развитием индустрии полимерных материалов с начала 30-х годов XX века началось более интенсивное изучение вязкоупругости [1]. К настоящему моменту математический аппарат линейной и нелинейной вязкоупругости в значительной степени разработан. Формулировка определяющих соотношений и методов анализа для вязкоупругих тел содержится в фундаментальных монографиях различных авторов, например [1, 4, 9-15]. Для вязкоупругих тел связь между напряжениями и деформациями описывается с помощью интегральных уравнений Вольтерра, содержащих ядра того или иного вида. На сегодняшний день наиболее популярными являются интегральные ядра ползучести и релаксации в виде суммы убывающих экспонент (рядов Прони) [1, 16-18]. Такой вид ядра позволяет достичь высокой точности анализа путем Модифицированная формулировка итерационного алгоритма решения задач 83 аппроксимации большого объема экспериментальных данных за счет увеличения числа слагаемых. Кроме того, представление ядер ползучести и релаксации в виде рядов Прони удобно для программирования при численном анализе. Построение точных решений для краевых задач напряженно-деформированного состояния вязкоупругого тела возможно только в некоторых простейших случаях. Поэтому при анализе изделий из вязкоупругих материалов главным образом применяются приближенные методы, большинство из которых можно отнести к одной из трех следующих групп. В первую группу входят методы, подразумевающие прямое интегрирование физических уравнений [19, 20], во вторую -использующие замену тем или иным способом вязкоупругой задачи на упругую [21, 22], и третью группу составляют итерационные методы [23 -28]. Целью настоящей работы является развитие итерационного метода решения краевых задач напряженно-деформированного состояния вязкоупругих тел, приведенного, в [27, 29]. В основе метода лежит разделение временных и пространственных переменных. Последнее, в свою очередь, позволяет ускорить решение за счет разделения его на два параллельных процесса на этапе постановки задачи. Формулировка граничной задачи линейной вязкоупругости В настоящей работе при записи уравнений используется общепринятое положение о суммировании по повторяющимся индексам. Физические соотношения для изотропного вязкоупругого материала в общем виде можно представить, например, следующим образом: σαβ=^ K * - 2 G* ^θδαβ+ 2G*εαβ, где σαβ, εαβ - компоненты тензоров напряжений и деформаций соответственно, индексы α, β соответствуют номерам пространственных координат; δαβ - символ Кронекера; θ = εαβδαβ - объемная деформация; K*, G* - операторы объемной и сдвиговой релаксации соответственно. (1) t K*θ≡∫K (t -τ)dθ(τ) ; (2) 0 t G*εαβ ≡∫R(t-τ)dεαβ(τ). 0 Здесь K(t), R(t) - функции объемной и сдвиговой релаксации, R(0) = G0, K(0) = K0, где K0, G0 - упругомгновенные модули объемного сжатия и сдвига. Уравнения равновесия в области и условия на границе * + 3G*^θ,α+G*∆Uα= Pα ; =sα, (3) (4) uα Γ2 =uα . (5) σαβnβ Γ1 Здесь ∆ - оператор Лапласа, Pα, S0α - соответственно массовые и поверхностные силы; nβ - направляющие косинусы нормали к границе; Γ1, Γ2 - участки граничного контура, на которых заданы усилия S0α и перемещения u0α соответственно. Заменив в вязкоупругой задаче (1), (4), (5) операторы K* и G* на специальным образом выбранные константы k и g, получим вспомогательную задачу, в которой 84 М.С. Павлов, А.А. Светашков, Н.А. Куприянов левые части уравнений равновесия и граничных условий соответствуют задаче линейной упругости, тогда как правые содержат слагаемые, определяемые действием вязкоупругих операторов на искомые перемещения. Конкретный вид правых частей вспомогательной задачи зависит от способа определения упругих констант k, g и подчиняется требованию тождественности решений основной и вспомогательной задач. Если правые части уравнений вспомогательной задачи определены, то решение вязкоупругой задачи сводится к решению вспомогательной линейно упругой задачи. Это условие, вообще говоря, не выполняется, так как искомые перемещения находятся в обеих частях уравнений. Однако возможно организовать итерационный процесс, в котором правые части уравнений на текущем шаге вычисляются через решение, полученное на предыдущем. Формулировка и доказательство теоремы о сходимости алгоритмов такого типа имеются в [30]. Скорость сходимости зависит от конкретного вида вспомогательных упругих констант и будет обсуждаться далее. Формулировка итерационного алгоритма для случая упругих объемных свойств материала Будем рассматривать случай, когда объемная релаксация отсутствует, то есть K* = K0 = K. Вспомогательные физические соотношения зададим в виде σα =(^ k - 3 g >θδαβ+ 2 g εαβ . (6) Здесь g - некоторый заранее выбранный модуль сдвига для вспомогательного упругого тела. Уравнения равновесия (4), с использованием (6) могут быть записаны в эквивалентном виде: K + 3 G* >θ,α +G*∆Uα +^ K + 3 g >θ,α +g ∆Uα -^ K + j g ^θ,α -g∆Uα = Pα . (7) Или, в отсутствие массовых сил Pα, k + 3g^θ,α +g∆uα =(g - g*)Qθ,α +∆uα> (8) Правая часть (8) является невязкой основной и вспомогательной задач. Аналогично записываются граничные условия σαβnβ nβ . (9) Далее можно записать соотношения для итерационного процесса, снабдив входящие в (8), (9) параметры напряженно-деформированного состояния соответствующими верхними индексами K+3 g ^θ,αn+1)+g∆uαn÷1)=(g - G*)^3 θ,αn^+∆uαn )^; (10) σ0(n+1)n σαβ nβ nβ. (11) Решение исходной задачи определяется как суперпозиция всех n+1 решений, полученных на соответствующих итерациях. Начальное приближение может быть выбрано из произвольных соображений. Модифицированная формулировка итерационного алгоритма решения задач 85 Следует обратить внимание на то, что в левых частях (10), (11) отсутствуют интегральные операторы. Кроме того, можно показать, что в случае представления каждого из граничных условий исходной вязкоупругой задачи в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от пространственных переменных, а другая - только от времени, в задачах (10), (11) пространственные и временные переменные оказываются разделенными на каждой итерации. В качестве критерия сходимости авторы предлагают использовать значение функционала работы напряжений на деформациях за время нагружения t: t w (’5τ = ∫σαβ (t)’2αβ (t)^τ . (12) 0 При практическом решении задач значения производных по времени от компонент тензора деформаций, как правило, неизвестны. При этом, если положить в каждой точке вязкоупругого тела представление εαβ(t) в виде кусочно-постоянной функции m ε(tm)= ∑[h(tm -ti )- h(tm -ti+1 )]εiαβ , (13) i=0 где εiαβ - некоторые постоянные величины, а m - целое число, то значение функционала (12) будет приближенно равно удельной потенциальной энергии деформаций W0(εαβ) =σαβ(t)εαβ(t). (14) Пример реализации алгоритма Поясним реализацию сформулированного алгоритма на простом примере. Для этого зададим оператор сдвиговой релаксации в виде (15) G*X ≡ G01^1 - λЭ'* (λ + γ)J X, где λ, γ - материальные константы; Э0* - интегральный оператор вида Э0* (ζ)X ≡ ∫e-ζ(t-τ)X(τ)dτ . (16) 0 Оператор невязки правых частей (10), (11) принимает наиболее простой вид, если в качестве вспомогательного модуля сдвига g использовать мгновенный модуль G0. Тогда выражения невязок, входящих в (9), будут - g = g* - g0 =-^^G0^* (λ + γ). (17) В этом случае уравнения (10), (11) принимают вид K + 3G0^θ,αn+1τ +G0∆uαn+1) = λGoЭo* (γ + λ)^3θ(nτ,α +∆uαn; (18) σ0(n+1)n σαβ nβ nβ. (19) Также будем считать, что заданные на соответствующих участках границы перемещения всюду нулевые. В этом случае они остаются таковыми на каждой ите- 86 М.С. Павлов, А.А. Светашков, Н.А. Куприянов рации, В свою очередь, силовые граничные условия заданы в виде произведения функций координат на функцию времени: soo=sαo (x, У )φo (t). (20) В качестве начального приближения будем рассматривать недеформированное состояние, то есть при n = 0, uα(0) = 0. Тогда K + 3 Goo ^θ(1α^+ Goo ∆ui1^= 0; (21) σ0(1)n=S0 αβ βα Решение вязкоупругой задачи (21), (22) в силу (20) может быть представлено в виде (22) ua^= ^

Скачать электронную версию публикации