Method for calculation of the stress-strain state for cable-membrane space reflector structures.pdf Для развития средств мобильной связи и других коммуникационных устройств необходимо создание космических развертываемых рефлекторных антенн с высоким коэффициентом усиления, способных обрабатывать высокочастотный широкополосный сигнал. Ввиду высокой стоимости проведения натурных экспериментов с конструкциями сетчатых рефлекторов, всегда актуален вопрос построения адекватной математической модели для расчета его напряженно-деформированного состояния (НДС). Кроме того, в математической модели важно учитывать геометрически нелинейное поведение, поскольку даже в зоне упругих деформаций у подобных конструкций возникают значительные перемещения их частей под действием нагрузок [1]. В данной работе задача определения НДС рефлекторов решается методами нелинейной теории упругости, где главным является уравнение равновесия относительно перемещений [2]. Аналитические решения этого уравнения можно получить только в самых простых случаях. По этой причине, в качестве численного метода его решения выбран метод конечных элементов (МКЭ) с учетом геометрической нелинейности [3]. Из опыта расчетов НДС сетчатых антенных рефлекторов [4, 5] установлено, что задача определения поля перемещений узлов конеч- 1 Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России, уникальный идентификатор RFMEFI57817X0257. А.В. Бельков, С.В. Белов, А.П. Жуков, М.С. Павлов, С.В. Пономарев, С.А. Кузнецов но-элементной модели (КЭМ) имеет небольшую область сходимости. Поэтому определение начального приближения, принадлежащего области сходимости, является важной задачей. В качестве начального приближения предлагается использовать решения метода плотности сил [6], позволяющих определить равновесные координаты узлов вантовых элементов отражающей поверхности рефлектора с заданными ограничениями по натяжениям на элементы. Метод плотности сил находит широкие приложения в расчетах вантовых мостов [7], вантовых структур сетчатых рефлекторов [8, 9] и других конструкциях. Заметим, что решаемые задачи в [8, 9] нацелены только на определение формы и точности отражающей поверхности рефлектора без учета деформаций силового каркаса. В работе предлагается двухэтапный метод расчета комплексной конструкции рефлектора, учитывающий как деформацию силового каркаса, так и влияние натяжений оболочки отражающей поверхности. Этап 1. Формулировка матричного нелинейного метода плотности сил для поиска начальной формы сети вантовых элементов отражающей поверхности рефлектора При поиске начальной формы сети вантовых элементов вводятся следующие допущения [6, 7]: элементы сети рассматриваются в трехмерной декартовой прямоугольной системе координат Oxyz и являются прямолинейными отрезками постоянного сечения, соединенные в узлах. Часть узлов считается свободными (с искомыми координатами), часть - фиксированными (с заданными координатами); отношение qi силы натяжения Ti і-го элемента сети к его длине li - постоянно (плотность силы элемента): Ti (1) qi =-i = const. Ii Элементы сети не имеют веса; внешние усилия сосредоточены в узлах. Начальная форма сети определяется решением линейной системы матричных уравнений равновесия относительно координат её узлов и нелинейной системой матричных уравнений, описывающих ограничения по натяжениям элементов [6]: '(ct QC )x + (ct QC )x f = ; ^ct Qc )y + (Ct Qc f)y f = f,; (2) (ct QC )z„ар +(Ct QC f )z) = f,; ,L(x(q), у (q), z(q))q - To = 0. Здесь CT[n×m], Cf[m×nf] - матрицы инцидентности, определяющие топологию вантовой системы; m - общее количество элементов сети; п, nf - количество свободных и фиксированных узлов соответственно; Q[m×m] = diag(q) - диагональная матрица плотностей сил элементов сети; x[n×1], y[n×1], xf[nf×1], yf[nf×1], zf[nf×1] -векторы-столбцы искомых и фиксированных координат узлов элементов сети; z∏aр[n×1] - вектор-столбец координат узлов сети на поверхности офсетного параболоида отражающей поверхности рефлектора по оси О,; fx[n×1], fy [n×1], f, [n×1] - векторы-столбцы координат внешних сил, действующих в искомых узлах сети; L [г × r] = diag(l) - диагональная матрица длин первых r элементов, на которые наложены ограничения равномерного распределения натяжений (здесь и далее на Метод расчета напряженно-деформированного состояния вантово-оболочечных конструкций 7 это будет указывать знак черты сверху), q[r × 1] - вектор-столбец плотностей сил, T0[r×1] - вектор-столбец требуемых значений натяжений элементов сети. В последнем уравнении системы (2), запись L(x(q), y(q), z(q)) означает, что значения длин элементов зависят от вектор-столбца плотности силы. То есть это уравнение является нелинейным относительно q. Матрицы инцидентности CT, Cf определяются выражением [6]: +Ідляузлаi элемента e=1..m; (3) C^(e,i, j) = [C,Cf ] = j -Ідляузла j элемента e=1...m (i < j); 0 в остальных случаях. Пусть D = CTQC, Df = CTQCf и det(D)≠0. Тогда решения первых двух уравнений системы (2) имеют вид [6] / = D-1 (fx- D f χf); (4) > = D-1 (f(- D f y f). Координаты вектор-столбца znap узлов вантовых элементов отражающей поверхности рефлектора определяются уравнением поверхности офсетного параболоида, который является вырезкой из параболоида вращения (родительского параболоида) круговым цилиндром с диаметром D. Схема поверхности офсетного параболоида показана на рис. 1: Рис. 1. Схема поверхности офсетного параболоида Fig. 1. Offset paraboloid surface diagram Ось вырезающего цилиндра проходит через точку XO = D/2+XA и начало технической системы координат Oxyz офсетного параболоида. Ось Ox является касательной к поверхности родительского параболоида в точке О и расположена под углом φ к оси ОродХрод. Преимущество офсетной конфигурации отражающей поверхности над осесимметричной заключается в том, что в ней система облучения рефлектора, расположенная в точке фокуса F, не загораживает отраженные электромагнитные лучи [8]. Пересечение родительского параболоида и кругового цилиндра происходит по эллипсу с точками, лежащими в плоскости, параллельной Oxy. При этом А.В. Бельков, С.В. Белов, А.П. Жуков, М.С. Павлов, С.В. Пономарев, С.А. Кузнецов ось аппликат Oz не проходит через центр этого эллипса. Такая конфигурация офсетного параболоида называется стандартной [10]. В данной работе офсетный параболоид рассматривается в системе координат O'x' y'z, полученной из Oxyz параллельным переносом по оси Ox на величину ∆x таким образом, чтобы ось O'z' уже проходила через центр эллипса. Выражение для ∆x имеет вид [11] XA2 - 2X02 +XB2 ∆χ = -A-----о----B sin φ . (5) 8F Уравнение поверхности офсетного параболоида в смещенной технической системе координат определяется меньшим решением квадратного уравнения [10]: Az'^^ + BZ + C = 0, (6) A = sin2 φ; B = -(4F cos φ + 2sinφ(X^ + X cos φ)); C = Д’’2 + x'(2Xo cos φ + X cos2 φ- 4F sinφ). В (7) полагаем X = x + ∆x; д' = у; z ’ = z. Меньшее решение (6) имеет вид , -B-4B-4AC z =---------------------. 2A где (7) (8) Таким образом, задача поиска формы сети вантовых элементов отражающей поверхности рефлектора сводится к определению такого вектор-столбца плотности силы q, который бы удовлетворял всем четырем уравнениям (2). Для решения последнего нелинейного уравнения (2) применяется метод Ньютона, в котором по итерационной формуле qk+1 =qk+∆q определяется требуемое значение вектора плотности силы qk+1. (9) Шаг итерации ∆q рассчитывается следующим образом. Обозначив g*(q) = L(x(q), y(q), z(q))q - T0, запишем разложение функции g*(q) в ряд Тейлора в окрестности начального приближения q0, ограничившись линейными членами [6]: g*(qo)+^g∂q0^∆q = 0. , (10) ∂q Выражение (10) преобразуется к системе линейных алгебраических уравнений GT∆q=r0, (11) ∂g* (q) где G^ =------ [г × да] - матрица Якоби, r0 = [r×1] = -g*(q0) - вектор-столбец ∂q правой части. Система (11) является неопределённой, так как в общем случае количество ограничений г меньше количества неизвестных да. Поэтому из всех возможных решений ∆q выбирается минимальное по норме L2 из задачи оптимизации вида [6] J f (∆q) = ∆q^ ∆q →min, lh(∆q) = 0, (12) Метод расчета напряженно-деформированного состояния вантово-оболочечных конструкций 9 где h(∆q) = GT∆q-r0 - функция связи. Задача (12) решалась методом множителей Лагранжа, где минимизировался функционал [7]: L(∆q,λ)=∆q"∆q-2λ"h(∆q), (13) где λ[r×1] - вектор-столбец множителей Лагранжа. Стационарные точки (13) находятся из системы уравнений Г ∂L - = 2∆q-2Gλ = 0; ∂∆q (14) ∂λ = G" ∆q-ro =0. ∂λ Если det(GTG)≠0, то минимальное по евклидовой норме решение (14) имеет вид: λ = ((" G )-1 ro; ∆q = G(G^ G)-1 r0 (15) Единственность ∆q можно доказать от противного. Действительно, пусть существует какое-то другое решение ∆q*, такое, что ∫G" ∆q = G" ∆q* = r0; (16) ∖∣∣∆q^∣ 0, где гA = rank(GτG). Использование псевдообратной матрицы позволяет найти минимальное решение по норме первой системы линейных алгебраических уравнений в (15) независимо от её вырожденности либо невырожденности и от числа обусловленности матрицы этой системы. В случае, когда det(GTG) ≠ 0 имеет место равенство (GTG)= (GTG)[13]. Вектор-функция g* (q) = g(x(q), у(q), z(q), q) = L(x(q), у(q), z(q))q - T0 является сложной функцией. Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим выражение для матрицы Якоби GT: G T = ∂g*(q) = ∂g _dx +∂g _ду + ∂g _dz +_dg (21) ∂q ∂x ∂q ∂y ∂q ∂z ∂q ∂q ∂x ∂y ∂z Выражения для -,-,- имеют вид [6] ∂q∂q∂q = -D-1CtU; ^y = -D-1CtV; = -D-1Ct W , ∂q ∂q ∂q Метод расчета напряженно-деформированного состояния вантово-оболочечных конструкций 11 где U= diag(u), V= diag(v), W= diag(w), u=Cx+Cf xf , v=Cy+Cf yf ; w=Cz+Cf zf . Дифференцируя функцию g(x(q),y(q),z(q),q) по x, y, z, q, получим ∂g ττ∂ l ∂g - ∂ l ∂g - ∂ l ∂g - =Q;=Q;=Q;=L. ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂z ∂q ∂x ∂y ∂z На основании выражений для --, (21) и (22) имеем выражение для ∂q∂q∂q (22) матрицы Якоби [6] G"=Lrm - QL-1 ( UCD-1Ct U + VCD-1Ct V + WCD-1C" W) где Lrm [r×m] - расширенная матрица L на m - r нулевых столбцов, чтобы вычитание в (23) было определено. Итерационная формула (9) применяется до тех пор, пока ∣∣g* (qk+1 )| ≤ ε, где ε -точность вычислений. (23) Этап 2. Формулировка процедуры определения НДС рефлектора геометрически нелинейным МКЭ В общем случае задача определения НДС рефлектора основана на нелинейных уравнениях теории упругости (уравнении равновесия, уравнении связи перемещений и деформаций, законе Гука) [11]: ∂dT lδ"' 1 Ґ ∂ui і-εij = i+ i 2 ' (24) (25) Emνm mm σij =--(εij +-ij 1+νmij 1-2νm mm ∙δijεll)- (26) где δij - символ Кронекера; Ui, σj,

Скачать электронную версию публикации