Involutions of the general linear group GL₂ over a subring of the field Q.pdf Важным классом абелевых групп без кручения являются вполне разложимые группы. Себельдиным [1] был решён вопрос об определяемости вполне разложимых групп без кручения кольцами эндоморфизмов. Впоследствии появился цикл работ Вильданова [2-4], который был посвящён вопросу определяемости вполне разложимой группы конечного ранга её группой автоморфизмов. Большая часть полученных в этом цикле результатов установлена его автором в предположении, что рассматриваемые вполне разложимые группы 2-делимы. Настоящая статья представляет собой начальный шаг исследования, конечной целью которого является снятие требования 2-делимости для вполне разложимой группы. Непосредственная задача статьи - описать свойства инволюций полной линейной группы GL2 над произвольным подкольцом поля рациональных чисел, что в последующем позволит перейти к рассмотрению вопроса, определяются ли своими группами автоморфизмов вполне разложимые группы без кручения ранга два (и более высоких рангов). Для коммутативного кольца с единицей R через GL2(R), как всегда, будет обозначаться группа обратимых (2 × 2)-матриц с элементами из R; эта группа состоит из тех матриц A = I a b I, где а, b, с, d ∈ R, с d ) для которых определитель |A| = ad - bc обратим в R. Легко видеть, что множество ML2(R) ⊂ GL2(R) всех матриц с определителем ±1 является подгруппой в GL2(R). Пусть P - множество всех простых чисел. Для всякого множества L ⊂ P будем обозначать символом Q(L) то подкольцо поля рациональных чисел Q, которое порождается элементом 1 и числами p-1, где p ∈ L. Всюду ниже считаем, что R есть подкольцо с единицей поля Q; известно, что все такие подкольца исчерпываются кольцами вида Q(L). Нас будут интересовать инволюции группы GL2(R), т.е. матрицы A, у которых A2 совпадает с единичной матрицей E (что эквивалентно условию A-1 = A). Предложение 1. Для матрицы A следующие условия эквивалентны: 1) A - инволюция группы GL2(R); (1) 1 Работа второго автора выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (госзадание № 1.13557.2019/13.1). 20 В.А. Гайдак, Е.А. Тимошенко 2) A - инволюция группы ML2(R); 3) либо A = E, либо A = -E, либо A =IIab)I, где a, b, C ∈ R и a2 + bC = 1. (2) Доказательство. Ясно, что выполнено 2) ⇒ 1). Обратно, если A - инволюция группы GL2(R), то имеем ∣A∣2 = ∣A2∣ = ∣E∣ = 1 и, значит, A ∈ ML2(R). Таким образом, импликация 1) ⇒ 2) также справедлива. Пусть матрица A ∈ ML2(R) задана равенством (1). В случае ∣A∣ = 1 справедливы следующие эквивалентности: A-1=A⇔A*=A⇔a=d,b=C=0,ad=1⇔A=±II10I), где A* =I d - I. Если же ∣A∣ = -1, то справедливы эквивалентности ^-C a) A-1=A⇔-A*=A⇔d=-a,ad-bc=-1⇔A имеет вид (2). Тем самым доказана равносильность условий 2) и 3). ■ Для инволюций 11 °1∣ и 10 01 введём обозначения J и I соответственно. Предложение 2. а) Центр группы GL2(R) состоит из диагональных матриц, на главной диагонали у которых стоит один и тот же обратимый в R элемент. б) Центр группы ML2(R) состоит из матриц E и -E. Доказательство. Легко заметить, что перечисленные матрицы действительно принадлежат центрам групп GL2(R) и ML2(R) соответственно. Обратно, допустим, что матрица A вида (1) лежит в центре какой-либо из этих групп. Тогда из AJ = JA получаем b = C = 0, а так как AI = IA, то имеем a = d. Поскольку элемент ∣A∣ = ad = a2 должен быть обратимым, то и сам элемент a обратим в R. Остаётся заметить, что если A ∈ ML2(R), то a2 ∈ {-1, 1}, откуда a = ±1 и A = ± E. ■ Из предложений 1 и 2 ясно, что в каждой из групп GL2(R) и ML2(R) множество всех нецентральных инволюций совпадает с множеством инволюций вида (2). Лемма 3. Пусть A - инволюция вида (2). Тогда: а) если C = 1, то инволюции A и I сопряжены в ML2(R); б) если C ∈ {0, 2} и b ∈ 2R, то инволюции A и J сопряжены в ML2(R). Доказательство. а) Если c = 1, то a^ + b = 1. Для матрицы Х = ^ a °имеем χ"Aχ=(° -α)C1 -ba}χ-(0 -1a)-x=^1 (0)=i∙ Поскольку, очевидно, Х ∈ ML2(R), то инволюции A и I сопряжены в ML2(R). б) Пусть C = 0, тогда a^ = 1. Если a = 1, то для Х = |1 -b1^имеем Х-'АХ-=H b02}(0 -b1)χ=H b-2]χ=(0 -1)∙J-1 к I-1) если же a = -1, то, полагая Х =I 1 0 I, мы можем записать равенства x-Ax=C0 --02)(°'bIХ=(-0∣ b∕2Dx=j. Так как b ∈ 2R, то в обоих случаях Х ∈ ML2(R), что и требовалось. Инволюции полной линейной группы GL2 над подкольцом поля Q 21 ,, 2 , ,Λ Γ(a +1)∣2 (a -1)/2^ Пусть теперь c = 2, тогда a + 2b = 1. Полагая A =I I, имеем x-1 Ax = I 1 (1 -a)∣2a b χ = ∣1 (1 -a)∣2 λ χ _ j x = ∣-1 (1 + a)∣2 Л 2 -a J X = ^1 -(1 + a)∣2J X ^ и |X| = 1; поскольку a2 - 1 = -2b, то a ± 1 ∈ 2R и, следовательно, X ∈ ML2(R). Таким образом, инволюции A и J сопряжены в ML2(R). ■ Теорема 4. Пусть p равно -1 или простому числу, a, m, n ∈ R и A = I a m , B = ra pm^ (3) pn -a J n -a J - нецентральные инволюции. Пусть, далее, выполнено одно из условий 1) p ≠ 2; 2) p = 2 и m, n ∈ 2R. Тогда матрицы A и B сопряжены в ML2(R). Доказательство. Введём обозначения a+11-p a-1 g1 =---2^ + 1, g2 =---p 2 p Поскольку инволюция A нецентральная, то элемент (a + 1)(a - 1) = a2 -pmn и, значит, делится на p в кольце R. Заметим, что p является либо обратимым (если R = Q(L) и p ∈ L ∪{-1}), либо простым элементом кольца R, поэтому хотя бы один из элементов a + 1 и a - 1 принадлежит идеалу pR. Убедимся, что по меньшей мере один из элементов g1 и g2 лежит в R. В случае p ≠ 2 требуемое утверждение вытекает из условия 1 -p ∈ 2R и приведённых выше рассуждений ввиду (4). Пусть выполнено p = 2, тогда g1 = (3 - a)/4 и g2 = - (3 + a)/4. Считая, что 2R ≠ R (в противном случае сразу имеем g1, g2 ∈ R), запишем a в виде несократимой дроби с целыми числителем и знаменателем: a = x/y. Число y представляет собой обратимый элемент кольца R и, значит, является нечётным; кроме того, из сказанного ранее вытекает, что a ± 1 ∈ 2R, поэтому x тоже нечётно. Если число y - x делится на 4, то g2 = ( y - x - 4y)/4y ∈ R. Если же число y - x при делении на 4 даёт остаток 2, то g1 = (2y + y - x)/4y ∈ R. Выбрав g принадлежащим множеству {g1, g2}∩ R, положим x = ( p - 1)/2 и X = I2ax + pg mx^ = ra(p -1) + pg m(p -1)∣2 1 nx g Jt n(p -1)∣2 g J. =(a±1)(1-p)±2p=a(1-p)±(p+1) Поскольку g ---\\ --- ---, имеем a-1 1-p-1. 2 (4) 1 равен 2p 2p IJ| = a(p -1) + a(1 - p)±(p +1> g - mn(p4-1)2 = a(p -1) ± (p +1) a(1 - p) ± (p +1) + -pmn(p -1)2 22p4p (p +1)2 - a2(p -1)2 + (a2-1)(p -1)2 = (p +1)2 - (p -1)2 = 1 4p4p4p Если при этом выполнено какое-то из условий 1) и 2), то все элементы матрицы X принадлежат R и, значит, X ∈ ML2(R). Наконец, ввиду равенств 22 В.А. Гайдак, Е.А. Тимошенко X f a m ^ = I 2a2 x + pag + pmnx amx + pmg | = ґa pmχ pn -a J anx + png mnx - ag J vn -a имеем A = X -1BX, т.е. инволюции (3) сопряжены между собой в ML2(R). ■ Теорема 5. Всякая инволюция A вида (2), для которой b, c ∈ 2R, сопряжена с J в группе ML2(R). Доказательство. Пусть c ≠ 0 (в противном случае нужное утверждение будет справедливо в силу леммы 3). Многократно применяя теорему 4, в которой была установлена сопряжённость инволюций вида (3) для m, n ∈ 2R и p ∈ P ∪{-1}, мы можем «перенести» множитель c/2 ∈ R из левого нижнего угла матрицы в правый верхний, получив в результате инволюцию A', имеющую элемент 2 в левом нижнем углу и сопряжённую с матрицей A в группе ML2(R). Остаётся лишь заметить, что ввиду пункта б) леммы 3 инволюции A и J сопряжены в ML2(R). ■ В работе Вильданова [2] отмечался следующий факт: если R - подкольцо поля рациональных чисел Q такое, что выполняется 2R = R, то все не равные ± E инволюции группы GL2(R) сопряжены в этой группе с матрицей J (а значит, и между собой). Из теоремы 5 видно, что указанный факт остаётся справедливым и в том случае, когда речь идёт о сопряжённости инволюций в группе ML2(R). Справедливо также Следствие 6. Пусть 2R ≠ R. Для инволюции A вида (2) эквивалентны условия: 1) матрицы A и J сопряжены в GL2(R); 2) матрицы A и J сопряжены в ML2(R); 3) b, c ∈ 2R. Доказательство. Ясно, что 2) ⇒ 1); импликация 3) ⇒ 2) была доказана ранее в теореме 5. 1) ⇒ 3). Для произвольной матрицы X = I U V txy 1 -0i' имеем X-1JX=1 1 -∙f ∣x∣ t-χ Поскольку |X | есть обратимый элемент кольца R, отсюда вытекает, что во всякой матрице, сопряжённой с J в GL2(R), на побочной диагонали находятся элементы, принадлежащие идеалу 2R (что и требовалось). ■ Теорема 7. Всякая инволюция A вида (2), для которой выполняется b ∉ 2R или c ∉ 2R, сопряжена с I в группе ML2(R). Доказательство. Пусть b ∉ 2R или c ∉ 2R, тогда 2R ≠ R. Поскольку b Jf01 -aJt10 I-1AI= -а V 0 1 ^ = ∣-a c b 1 0J = L b аJ , то мы можем с самого начала считать, что c ∉ 2R; в этом случае c можно записать как дробь с нечётными числителем и знаменателем. Применяя теорему 4 столько раз, сколько потребуется, можно перейти от инволюции A к сопряжённой с ней в группе ML2(R) инволюции A', у которой в левом нижнем и правом верхнем углах находятся элементы, равные 1 и bc соответственно. Чтобы завершить доказательство, остаётся заметить, что инволюции A' и I сопряжены в группе ML2(R) в силу пункта а) леммы 3. ■ Следствие 8. Пусть 2R ≠ R. Для инволюции A вида (2) эквивалентны условия: 1) матрицы A и I сопряжены в GL2(R); 2) матрицы A и I сопряжены в ML2(R); 3) b ∉ 2R или c ∉ 2R. Инволюции полной линейной группы GL2 над подкольцом поля Q 23 Доказательство. В силу теоремы 7 выполняется 3) ⇒ 2); импликация 2) ⇒ 1) очевидна. имеем 1) ⇒ 3). Для произвольной матрицы Нам надо показать, что хотя бы один из элементов побочной диагонали матрицы X -1IX не лежит в 2R. Если это не так, то y2 - v2 ∈ 2R и u2 - x2 ∈ 2R. Тогда |X |2 = (uy - vx)2 = u2( y2 - v2) - v2(u2 - x2) + 2u2v2 - 2uvxy ∈ 2R, что невозможно, поскольку |X | - обратимый элемент кольца R. Полученное нами противоречие завершает доказательство следствия. ■ Замечание. Мы показали, что если 2R ≠ R ⊂ Q, то всякая нецентральная инволюция с элементами, принадлежащими кольцу R, сопряжена в GL2(R) и в ML2(R) ровно с одной из инволюций J и I. Близкие результаты, касающиеся возможности приводить нецентральные инволюции к некоторому «каноническому» виду, были установлены ранее Коном в предположении, что R представляет собой квазисво-бодную область целостности (подробнее см. [5]). Прямое применение указанных результатов к случаю R ⊂ Q, к сожалению, невозможно: в статье [6] показано, что из всех подколец поля Q квазисвободными будут только само Q и кольцо целых чисел Z. Авторами [5] был также установлен тот факт, что при некоторых ограничениях на R (более жёстких, чем свойство квазисвободы) для любых двух антикоммутирующих инволюций группы GL2(R) существует внутренний автоморфизм данной группы, переводящий рассматриваемые инволюции в пару антикоммутирующих инволюций {J, I}. Убедимся, что указанный факт верен и для подколец поля Q. Предложение 9. Если R - подкольцо поля Q, то для любых инволюций C и D группы GL2(R), таких, что выполнено равенство CD = -DC, найдётся внутренний автоморфизм этой группы, переводящий множество {C, D} в множество {J, I}. Доказательство. Так как выполняется CD = -DC, то C и D - нецентральные инволюции. Через φX будем обозначать внутренний автоморфизм группы GL2(R), переводящий всякую матрицу W в X -1WX (несложно заметить, что φX переводит антикоммутирующие инволюции в антикоммутирующие). Рассмотрим сначала случай, когда по крайней мере одна из инволюций C и D сопряжена с J; пусть это выполнено для инволюции C. Тогда существует матрица X ∈ GL2(R), для которой φX (C) = J. Будем считать, что нецентральная инволюция A = φX (D) задана условием (2). Подставляя эту инволюцию в равенство JA = -AJ, получаем, что a = 0 и, значит, bc = 1 (в частности, элемент b обратим в R). Для матрицы Y = f θ j ∈ GL2 (R) справедливы следующие равенства: Y-1JY= Y-1AY= Таким образом, φxγ(C) = Y '∖ (W= = Y -^JY = J и φxγ (D) = Y -^χ-^DXY = Y -1AY = I, т.е. φXY - требуемый внутренний автоморфизм. 24 В.А. Гайдак, Е.А. Тимошенко Остаётся возможность того, что ни матрица C, ни матрица D не сопряжена с J. Тогда ввиду теорем 5 и 7 имеем 2R ≠ R, а инволюции C и D сопряжены с I. Зафиксируем матрицу X ∈ GL2(R), такую, что φx (C) = I, и введём обозначение A = φx (D). Матрица A является нецентральной инволюцией; будем считать, что она задаётся условием (2). Подставляя эту матрицу в равенство IA = -AI, получаем, что c = -b, поэтому имеем a2 - b2 = 1. Так как инволюции D и I сопряжены, то инволюция A также сопряжена с I. В силу следствия 8 отсюда вытекает, что b ∉ 2R. Представим a и b в виде дробей с целыми числителями и знаменателями: a = a'/k и b = b'/k, где b' и к - нечётные числа. Тогда из α2 - b^^ = 1 получаем α'2 = b'^ + ≡ 2 (mod 4), что невозможно. Полученное противоречие завершает доказательство. ■ В заключение мы покажем, что утверждение предложения 9 перестанет быть верным, если заменить в нём группу GL2(R) её подгруппой ML2(R). Пример 10. Пусть p ∈ P и p ≠ 2. Для инволюции D = ( 0 | имеем W p 0 J = -(v0p P}(0 -01)=(-Op P}=(1 0ι](vθP PJ=JD. Положим R = Q(L), где множество L ⊂ P таково, что выполнено 2 ∉ L, p ∈ L. Пусть матрица A ∈ ML2(R) задаётся равенством (1) и обладает тем свойством, что автоморфизм φA переводит пару инволюций J, D ∈ ML2(R) в пару {J, I}. Так как 2R ≠ R, то в силу следствия 8 инволюции J и I не сопряжены в ML2(R). Поэтому матрица φA (J ) = A-1JA должна совпасть с J (так как она не может совпадать с матрицей I ). Подставляя матрицу A в соотношение JA = AJ, мы получаем, что b = c = 0. Отсюда следует, что инволюция A -1DA, в которую φA переводит инволюцию D, равна f1∕ a 0 D Ґ a 0 2j = ґ 0 p∣a V a 0 2j=Γ 0 pd/a^ 0 0 1/dJ 00 dJ pd 0 J00 dJ 0apd 0 J С другой стороны, автоморфизм φA должен переводить D в I, а значит, a = pd, откуда |A| = ad - bc = ad = pd 2 ≠ ±1 и A ∉ ML2(R). Итак, не существует внутреннего автоморфизма группы ML2(R), который переводил бы {J, D} в {J, I}.

Скачать электронную версию публикации