Left-invariant para-Sasakian structures on Lie groups.pdf Левоинвариантная почти комплексная структура на группе Ли H - это левоинвариантный эндоморфизм J касательного расслоения, удовлетворяющий условию J2 = -Id. Почти комплексная структура J является интегрируемой (комплексной), если ее тензор Нейенхейса Nj(X,Y) = [JX, JY] - [Х, Y] - J[X, JY] - J[JX, Y] обращается в нуль. Левоинвариантная кэлерова структура на группе Ли H - это тройка (h, ω, J), состоящая из левоинвариантной римановой метрики h, левоинвариантной симплектической формы ω и ортогональной левоинвариантной комплексной структуры J, причем h(X,Y) = ω(X,JY) для любых левоинвариантных векторных полей Х и Y на H. Поэтому такую структуру на группе H можно задать парой (ω, J), где ω - симплектическая форма, а J - комплексная структура, согласованная с ω, т.е. такая, что ω(JX,JY) = ω(X,Y). Если ω(X,JX) > 0, ∀ X # 0, то получается кэле-рова метрика, а если условие положительности не выполняется, то h(X,Y) = ω(X,JY) является псевдоримановой метрикой и тогда (h, ω, J) называется псевдокэлеровой структурой на группе Ли H. Из левоинвариантности рассматриваемых объектов следует, что псевдокэлерова структура (h, ω, J) может быть задана значениями ω, J и h на алгебре Ли h группы Ли H. Тогда (h, ω, J, h) называется (псевдо)кэлеровой алгеброй Ли. Условие существования левоинвариантной положительно определенной кэлеровой метрики на группе Ли H накладывает серьезные ограничения на структуру ее алгебры Ли h. Такая алгебра Ли не может быть нильпотентной за исключением абелевого случая. Хотя нильпотентные группы Ли и нильмногообразия (за исключением тора) не допускают левоинвариантных кэлеровых метрик, но на таких многообразиях могут существовать левоинвариантные псевдоримановы кэлеровы метрики. Почти пара-комплексной структурой на 2й-мерном многообразии M называется поле P эндоморфизмов касательного расслоения TM, таких, что P2 = Id, причем 28 Н.К. Смоленцев ранги собственных распределений T^M : = ker(Id + P) равны. Почти пара-комплексная структура P называется интегрируемой, если распределения T±M инволютивны. В этом случае P называется пара-комплексной структурой. Аналогом тензора Нейенхейса почти комплексной структуры для случая любого тензорного поля T типа (1,1) является кручение Нейенхейса [5] [T, T](X,Y) = T2[X, Y] + [TX, TY] - T[X, TY] - T[TX, Y]. В частности, тензор Нийенхейса NP почти пара-комплексной структуры P определяется равенством NP(X,Y ) = [X,Y ] + [PX, PY ] - P[PX,Y ] - P[X, PY ], для всех векторных полей X, Y на M. Как и в комплексном случае, пара-комплексная структура P интегрируема тогда и только тогда, когда NP = 0. В работе [6] представлен обзор теории пара-комплексных структур и подробно рассмотрены инвариантные пара-комплексные и пара-кэлеровы структуры на однородных многообразиях. Пара-кэлерово многообразие можно определить как псев-дориманово многообразие (M,g) с кососимметрической пара-комплексной структурой P, параллельной относительно связности Леви-Чивита. Если (g,P) - пара-кэлерова структура на M, то ω = g^P является симплектической структурой. В работе [7] изучались левоинвариантные почти пара-комплексные структуры на шестимерных нильпотентных группах Ли, которые не допускают ни симплектиче-ских, ни комплексных структур. В нечетномерном случае аналогом симплектической структуры является контактная структура [5]. Левоинвариантные контактные структуры на группах Ли изучались в работах [8, 9]. Известно, что контактные алгебры Ли (g, η) с нетривиальным центром являются центральными расширениями симплектических алгебр Ли (h, ω) при помощи невырожденного коцикла ω. Левоинвариантые контактные структуры с положительно определенной римановой метрикой существуют далеко не всегда [8]. Псевдоримановы структуры Сасаки на семимерных нильпотентных группах Ли изучались в работе [10]. В данной работе мы будем рассматривать левоинвариантные параконтактные структуры на группах Ли. Параконтактная метрическая структура на многообразии задается четырьмя объектами (η, ξ, φ, g), η - контактная форма, ξ - векторное поле Риба, g - псевдориманова метрика и φ - аффинор, которые связаны определенными соотношениями (см. ниже). Псевдориманова контактная метрическая структура называется ^-контактной, если векторное поле Риба ξ является киллин-говым. Пусть V - связность Леви-Чивита соответствующая (псевдо)римановой метрике g. Она определяется из шестичленной формулы [11], которая для левоинвариантных векторных полей X,Y,Z на группе Ли принимает вид 2g(VXY, Z) = g([X,Y],Z) + + g([Z,X],Y) + g(X,[Z,Y]). Напомним, что тензор кривизны определяется формулой R(X,Y) = [VX, VY] - V[X,Y] . Тензор Риччи - это свертка тензора кривизны по первому и четвертому (верхнему) индексам, Ricjk = Rijki . Для псевдоримановой метрики g тензор Риччи Ric(X,Y) может быть также определен по формуле Ric(X,Y) = Σi εi g(R(ei,Y)Z, ei), где {ei} - ортонормированный репер и εi = g(ei, ei). Мы предполагаем, что внешнее произведение и внешний дифференциал определяются без нормирующего множителя. Тогда, в частности, dx∧dy = dx®dy -dy®dx и dη(X,Y) = Xη(Y) - Yη(X) - η([X,Y]). Это обуславливает некоторые отличия формул от тех, что приведены в книге Блэра [5]. Левоинвариантные пара-сасакиевы структуры на группах Ли 29 2. Контактные и параконтактные структуры Дифференцируемое (2п+1)-мерное многообразие M класса C∞ называется контактным многообразием, если на нем задана дифференциальная 1-форма η, такая что η∧(dη)n ≠ 0 всюду на M2n+1. Форма η называется контактной. Контактная форма определяет на многообразии M2n+1 распределение D = {X ∈ TM2n+1 | η(X) = 0} ранга 2n, которое называется контактным распределением. Контактное многообразие M2n+1 имеет всюду ненулевое векторное поле ξ, которое определяется свойствами η(ξ) = 1 и dη(ξ,X) = 0 для всех векторных полей X на M2n+1. Поле ξ называется полем Риба или характеристическим векторным полем контактной структуры. Легко видеть, что Lξη = 0. Если M2n+1 контактное многообразие с контактной формой η, то контактной метрической структурой называется четверка (η, ξ, φ, g), где ξ - поле Риба, g -риманова метрика на M2n+1 и φ - аффинор на M2n+1, для которых имеют место следующие свойства [5]: 1) φ2 = -I + η0ξ; 2) dη(X,Y) = g(X,φY); 3) g(φX, φY) = g(X,Y) - η(X)η(Y), где I - тождественный эндоморфизм касательного расслоения. Риманова метрика g контактной метрической структуры называется ассоциированной с контактной структурой η. Из третьего свойства сразу следует, что ассоциированная метрика для контактной структуры η полностью определяется аффинором φ: g(X,Y) = dη(φX,Y) + η(X)η(Y). Если характеристическое векторное поле ξ порождает группу изометрий, т. е. ξ - векторное поле Киллинга, Lξ g = 0, то такую контактную метрическую структуру называют К-контактной [5]. Это эквивалентно условию Lξφ = 0. Напомним [11], что почти контактной структурой на многообразии M2n+1 называется тройка (η, ξ, φ), где η -1-форма, ξ - векторное поле и φ - аффинор на M'^n+^, обладающие свойствами η(ξ) = 1 и φ2 = -I + η0ξ. Пусть M2n+1 - почти контактное многообразие. Рассмотрим прямое произведение M2n+1×R. Векторное поле на M2n+1×R представим в виде (X, f∂t), где X - касательное к M2n+1, t - координата на R, ∂t - координатное векторное поле на R и f -функция класса С“ на M2n+1×R. Определим почти комплексную структуру J на прямом произведении M2n+1×R следующим образом [2]: J(X, f∂) = (φX - fξ , η(X) ∂t). Почти контактная структура (η, ξ, φ) называется нормальной, если интегрируема определенная выше почти комплексная структура J. На почти контактом многообразии определены четыре тензора [5] N(1), N(2), N(3) и N(4) следующими выражениями: N(1)(X,Y) = [φ,φ](X,Y) + dη(X,Y)ξ, N(2)(X,Y) = (LφX η)(Y) - (LφY η)(X), N(3)(X,Y) = (Lξφ)X, N(4)(X,Y) = (Lξη)(X). Почти контактная структура (η, ξ, φ) является нормальной, если эти тензоры обращаются в нуль. Однако из обращения в нуль тензора N(1) следует, что и остальные тензоры N(2), N(3) и N(4) также обращаются в нуль. Поэтому условие нормальности только следующее: N(1)(X,Y) = [φ,φ](X,Y) + dη(X,Y)ξ = 0. Псевдориманова контактная метрическая структура (η, ξ, φ, g) называется К-контактной, если векторное поле Риба ξ является киллинговым. Псевдоримано-ва контактная метрическая структура (η, ξ, φ, g) называется сасакиевой, если N(1)(X,Y) = 0. Таким образом, многообразие Сасаки - это нормальное контактное метрическое многообразие. Многообразие Сасаки всегда является К-контактным. 30 Н.К. Смоленцев Определение 1. Параконтактной структурой на контактном многообразии M2n+1 называется тройка (η, ξ, φ), где η - контактная 1-форма, ξ - поле Риба и φ - аффинор на M2n+1, обладающий свойством φ2 = I - ηΘξ. Кроме того, предполагается, что ранги ±1-собственных распределений D± равны (аффинор φ действует на распределении D = Ker(η) как пара-комплексная структура). Определение 2. Если M2n+1 контактное многообразие с контактной формой η, то параконтактной метрической структурой называется четверка (η, ξ, φ, g), где ξ - поле Риба, g - псевдориманова метрика на M2n+1 и φ - аффинор на M2n+1, для которых имеют место следующие свойства: φ2 = I - ηΘξ, dη(X,y) = g(φX,T), g(φX,φY) = -g(X,Y) + η(X)η(Y). Из третьего свойства сразу следует, что ассоциированная метрика g для пара-контактной структуры полностью определяется аффинором φ: g(X,Y) = dη(φX,Y) + η(X)η(Y). Легко видеть, что dη(φX,φY) = -dη(X,Y). Пусть M2n+1 - параконтактное многообразие. Рассмотрим прямое произведение M2n+1×R. Векторное поле на M2n+1×R представим в виде (X, f∂t), где X - касательный к M2n+1, t - координата на R и f - функция на M2n+1×R. Следуя [5 (Блэр)], дадим Определение 3. Параконтактная структура (η, ξ, φ) называется нормальной, если интегрируема почти пара-комплексная структура J на M2n+1 ×R, определенная формулой J(X, f∂t) = (φX - fξ, -η(X)∂t). Выразим условие интегрируемости пара-комплексной структуры J в терминах аффинора φ на M2n+1. Условием интегрируемости является обращение в нуль кручения Нейенхейса: NJ(X,Y) = [X, Y] + [JX, JY] - J[X, JY] - J[JX, Y] = 0. Вычислим это кручение сначала на векторных полях типа (X,0), а затем для пар (X, 0) и (0, ∂t): [J, J]((X,0),(Y,0)) = ([X,Y],0) + [(φX,-η(X)∂t),(φY ,-η(Y)∂t)] - - J[(X,0), (φY, -η(Y)∂t)] - J[(φX , -η(X) ∂ t), (Y,0)] = = (φ2[X, Y] + η([X, Y])ξ, 0) + ([φX,φY], (-φX( η(Y)) + φY(η(X))) ∂t) - - (φ[X,φY] + X(η (Y))ξ, - η([X,φY])∂t) - (φ[φX,Y] - Y(η(X))ξ, -η([φX,Y])∂t) = = ([φ,φ ](X, Y) - dη(X,Y) ξ, (-(LφX η)(Y) + (LφY η)(X)) ∂t); [J, J]((X,0), (0, ∂t)) = [(X,0), (0, ∂t)] + [(φX, -η(X)∂t), (-ξ ,0)] - - J[(X, 0), (-ξ, 0)] - J[(φX , -η(X) ∂t), (0, ∂t)] = = (-[φX, ξ], -ξ(η(X)) ∂ t) - J(-[X, ξ],0) = ((Lξφ)(X), - (Lξη)(X) ∂t). Таким образом, условие интегрируемости пара-комплексной структуры J выражается обращением в нуль четырех тензоров: N(1)(X,Y) = [φ,φ](X,Y) - dη(X,Y)ξ, N(2)(X,Y) = (LφX η)(Y) - (LφY η)(X), N(3)(X,Y) = (Lξφ)X, N(4)(X,Y) = (Lξη)(X). Левоинвариантные пара-сасакиевы структуры на группах Ли 31 Однако из обращения в нуль тензора N(1) следует, что и остальные тензоры также обращаются в нуль (доказательство этого полностью повторяет аналогичное доказательство из [5]). Поэтому условие нормальности параконтактной структуры только следующее: N(1)(X,Y) = 0. Определение 4. Нормальная параконтактная метрическая структура (η, ξ, φ, g) называется пара-сасакиевой. Эквивалентное условие: N(1)(X,Y) = [φ,φ](X,Y) - dη(X,Y)ξ = 0. Определение 5. Параконтактная метрическая структура (η, ξ, φ, g) называется K-контактной, если векторное поле Риба ξ является киллинговым. Многообразие Сасаки всегда является K-контактным. 3. Параконтактные структуры на центральных расширениях Контактные алгебры Ли могут быть получены в результате центральных расширений симплектических алгебр Ли h. Напомним эту процедуру. Если имеется симплектическая алгебра Ли (h, ω), то центральное расширение g = h ×ωR есть алгебра Ли, в которой скобки Ли задаются следующим образом: • [X, ξ]g = 0; • [X, Y]g = [X, Y]h +ω(X, Y)ξ для любых X, Y ∈ h, где ξ = ∂t - единичный вектор из R. На алгебре Ли g = h ×ωR контактная форма задается формой η = ξ*, а ξ = ∂t -поле Риба. Если x = X + λξ и y = Y + μξ, где Y,Y ∈ h, λ, μ ∈ R, тогда dη(x, y) = -η([x, y]) = -ξ*([X, Y]h+ω(X,Y) ξ) = -ω(X, Y). Как известно, классы изоморфизмов центральных расширений алгебры Ли h находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами H2(h, R). Невырожденные элементы ω из H2(h, R) (симплектические алгебры Ли ) определяют контактные структуры на h ×ωR. Для задания аффинора φ на g = h ×ωR можно использовать почти пара-комплексную структуру J на h следующим образом: если x = X + λξ, где X ∈ h, то φ(x) = JX. Если эта почти пара-комплексная структура J на h будет еще и согласованной с ω, т. е. обладать свойством ω(JX, JY) = -ω(X, Y), то мы получим паракон-тактную (псевдориманову) метрическую структуру (η, ξ, φ, g) на g = h ×ωR, где g(X,Y) = dη(X, φY) + η(X)η(Y). Пусть h(X, Y) = ω(X, JY) - ассоциированная (псевдо)риманова метрика на симплектической алгебре Ли (h,ω) . Тогда для x = X + λξ и y = Y + μξ, где Y,Y ∈ h, имеем g(X,Y) = -dη(X,φY) + η(X)η(Y); g(x,y) = ω(X, JY) + λμ = h(X,Y) + λμ; ω(X, Y) = h(X,JY). Предложение. Центральное расширение g = h ×ωR почти пара-кэлеровой алгебры Ли h является K-контактной алгеброй Ли. Доказательство. Как известно [5], контактное многообразие называется K-контактным, если Lξφ = 0. Для левоинвариантных полей вида x = X + λξ и y = Y + μξ и где Y,Y ∈ h имеем g((Lξφ)x,y) = g(Lξ(φ x) - φ(Lξ x),y) = 0, поскольку Lξ x = [ξ, X + λξ] = 0. Поэтому Lξφ = 0. ■ 32 Н.К. Смоленцев Теорема 1. Пусть (h,ω,J) - почти пара-кэлерова алгебра Ли h и (η, ξ, φ, g) -соответствующая ей параконтактная метрическая структура на центральном расширении g = h ×ωR. Тогда кручение Нейенхейса [φ, φ] на g следующим образом выражается через тензор Нейенхейса NJ почти пара-комплексной структуры J на h: [φ,φ](x,y) = Nj(X,Y) + dη(x,y)ξ, где x = X + λξ и у = Y + μξ и где Y,Y ∈ h. Доказательство. Непосредственные вычисления: [φ,φ](x,y) = [φ,φ](X + λξ, Y + μξ) = = φ2[X + λξ, Y + μξ] + [φ(X + λξ), φ(Y + μξ)] -- φ[X + λξ, φ(Y + μξ)] - φ[φ(X + λξ), Y + μξ] = = φ2([X, Y]h) + [J(X), J(Y)] - φ[X + λξ, J(Y)] - φ[J(X), Y + μξ] = = + [X, Y]h + [J(X), J(Y)]h + ω(JX, JY)ξ - φ[X, J(Y)] - φ[J(X), Y] = = + [X, Y]h + [J(X), J(Y)]h + ω(X, Y)ξ - φ([X, J(Y)]h + + ω(X, JY)ξ) - φ([J(X), Y]h +ω(JX, Y)ξ ) = = [X, Y]h + [J(X), J(Y)]h - J([X, J(Y)]h) - J([J(X), Y]h) - ω(X, Y)ξ = = Nj(X,Y) - ω(X, Y)ξ = Nj(X,Y) + dη(X,Y)ξ = Nj(X,Y) + dη(x,y)ξ. ■ Следствие 1. Тензор N(1)(x,y) параконтактной метрической структуры (η, ξ, φ, g) на центральном расширении g = h ×ωR выражается через тензор Ней-енхейса NJ почти пара-комплексной структуры J на h по формуле N

Скачать электронную версию публикации