On the derivative of the double-layer logarithmic potential.pdf Известно [1], что краевые задачи для уравнения Лапласа приводятся к сингулярному интегральному уравнению, зависящему от нормальной производной логарифмического потенциала двойного слоя W(x) = ∫dφnx^y^P(y)dLy, x ∈ L, L ∂n(y) где L ⊂R2 - простая замкнутая кривая Ляпунова с показателем 0 0, τ≥δ τ где ω(φ,т) = max р(х)-φ(y). |х - у| ≤τ х, y∈L Теорема 1. Пусть L ⊂R2 - простая замкнутая кривая Ляпунова с показателем 00 есть радиус стандартной окружности для L [9] и Ld (x) = {y ∈ L : ∣y - < d}, x ∈ L . Так как существует такая точка У = x + θ (y - x), что ρ(у) - Р(x) = (gradρ(y), xy), x, y ∈ L, поэтому О производной логарифмического потенциала двойного слоя 41 P (gradρ(y) - gradρ(х), xy) ∣. (gradρ(х), xy)^^ + J I P dLy + J I P dLy, Ld(х) Iх - y| Ld(х) Iх - y| где θ = (θ1, θ2) и θi ∈ (0,1), i = 1,2 . Как видно, интеграл f Р( y) -Р( x)dr J ~1 (r~dLy L∣Ld (,x) Iх yI существует как собственный. Кроме того, принимая во внимание формулу вычисления криволинейного интеграла, получим (gradρ( y) - gradρ( х), xy) ∫ I P Ld(X) Iх-.y Теперь докажем, что интеграл ∣. (grad р(X), Xy ∂ρ(х) C J ..|2 d^y J dLy ≤M J 0 y1-x1 d ω(gradρ,t) --'-dt < +∞ . t y2-x2 2 -у ∫ 2 dLy ∫ -"2 ^^2 dLy Ld(х) Iх - у| dх1 Ld(х) Iх - у| dх2 id∫:х) Iх - у| существует в смысле главного значения Коши. Известно (см.[9]), что для любой точки х ∈ L окрестность Ld (х) пересекается с прямой, параллельной нормали n(х), в единственной точке, либо вообще не пересекается, т.е. множество Ld (х) однозначно проектируется на промежуток Ωd (х), лежащий на прямой Γ(х), касательной к L в точке х. На куске Ld (х) выберем локальную прямоугольную систему координат (u,v) с началом в точке х , в которой ось v направим вдоль нормали П(х), а ось и направим вдоль положительного направления касательной прямой Γ(х). Тогда координатами точки х будут (0,0). Кроме того, в этих координатах окрестность Ld (х) можно задать уравнением v = f (u), u ∈Ωd (х), причем f ∈ H,αα (Ωd (x)) и f (0) = 0, f '(0) = 0. Здесь через H1 α (Ωd (x)) обозначено линейное пространство всех непрерывно дифференцируемых на Ωd (х) функций f , удовлетворяющих условию ∣f'(M1) -f'(U2^≤Mf U1 -U21“, ∀U1,U2 ∈Ωd(х), где M f - положительная постоянная, зависящая от f , а не от u1 и u2 . Обозначим через Γd(x) часть касательной прямой Γ(x) в точке x∈L, заключенной внутри окружности радиуса d с центром в точке x . Известно [10], что если У ∈Γ(х) есть проекция точки у ∈ L , то |х - у ≤ |х - у| ≤ C1 |х - y∣, mesLd (х) ≤ C2 mesΓd (х), где C1 и C2 - положительные постоянные, зависящие лишь от L, а через mesLd (х) обозначена длина кривой Ld (х). Пусть d0= d/ C1. Очевидно, что (-d0, d0) ⊂ Ωd (х). По формуле вычисления криволинейного интеграла, получаем 42 y1- x1 Э.Г. Халилов, М.Н. Бахшалыева 1 + (f')2 и ÷ df 2 + u2 +(:f(и))2 --0^ d0 и (41 + (f '(и))2 -1) d0 I -d0 и^ +(f(u))2 Jd0 I Слагаемые интегралы в правой части этого равенства обозначим через A1, A2 , A3 и A4 соответственно. Как видно, интеграл A1 существует как собственный, а интеграл A2 существует в смысле главного значения Коши и равен нулю. Кроме того, учитывая, что (см. [9]) (3) находим IA3∣ = d0 ∫0 и (f '(u))2 -d0 ("2 +(f (и)) )(1 + 'J1 + (f '(u')) ) d0 du ≤M ∫u 2α-1du ≤M . -d0 Так как I f (и) = f (и) - f (0^ ≤ M ∣u∣ '^α то для интеграла A4 имеем d0 IAJ = ∫ (4) и (f (и) )2 -^d, и(и+(f (и))2) d0 du ≤ M ∫ ∣u∣2α 1 du ≤ M . -d0 Следовательно, y1- x1 ∫ dLy Ld(x)x- y ≤M. Кроме того, принимая во внимание (4), имеем ∫ у2 - x2 d^L^ ∫ f (и),jl + (Г'(и))2 d,, Ld^(χ) Ix - у y Ωj (x) и 2 +(^f (и ) ≤ M ∫ и ∣α 1du

Скачать электронную версию публикации