Dirichlet problem for the multudimensional Helmholtz equation with one singular coefficient.pdf Известно, что теория краевых задач для вырождающихся уравнений и уравнений с сингулярными коэффициентами является одним из центральных разделов современной теории уравнений в частных производных, которые встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера [1, 2]. Подробную библиографию и изложений исследований основных краевых задач для вырождающихся уравнений различного типа, в частности для двумерных эллиптических уравнений с сингулярными коэффициентами, можно найти в монографиях [3-5]. При исследовании краевых задач для эллиптических уравнений всех (двух или более) размерностей с сингулярными коэффициентами важную роль играют фундаментальные решения данного уравнения. Фундаментальные решения двумерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом (уравнения Трикоми) были известны еще в первой половине прошлого столетия, и они успешно использованы при решении основных краевых задач и построении теории потенциала для этого уравнения. Для такого же уравнения с двумя сингулярными коэффициентами фундаментальные решения, которые выражаются через гипергеометрические функции Аппеля двух переменных, построены в [6] и, используя известные формулы разложения функций Аппеля двух переменных по гипергеометрическим функциям Гаусса, решения краевых задач найдены в явном виде. Настоящая работа посвящается исследованию задачи Дирихле для одного сингулярного уравнения Гельмгольца. Фундаментальные решения двумерных и трехмерных уравнений Гельмгольца с двумя и тремя сингулярными коэффициентами соответственно построены в работах [7, 8], и эти фундаментальные решения применены к нахождению явных решений основных краевых задач для уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициентами [9-13]. К такому направлению исследований примыкают также работы [14, 15]. В недавно опубликованных работах [16-18] представлены фундаментальные решения для многомерных (более трехмерных) уравнений Гельмгольца с одним, двумя и тремя сингулярными коэффициентами соответственно. Как известно, фундаментальные решения уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициен- 56 Т.Г. Эргашев, Н.М. Сафарбаева тами выражаются через конфлюэнтную гипергеометрическую функцию, число переменных которой зависит от числа сингулярных коэффициентов уравнения. Для исследования свойств любой гипергеометрической функции многих переменных необходимы формулы разложения, позволяющие представить эту функцию многих переменных через бесконечную сумму произведений нескольких гипергеометрических функций с одной переменной, а это, в свою очередь облегчает процесс изучения свойств функций многих переменных. В [19] введен в рассмотрение новый класс конфлюэнтных гипергеометрических функций многих переменных, через которые выписываются фундаментальные решения для одного многомерного уравнения Гельмгольца с несколькими сингулярными коэффициентами. Доказана формула разложения для нововведенных конфлюэнтных функций, дающая возможность определить порядок особенности найденных фундаментальных решений. Настоящая работа посвящена к исследованию задачи Дирихле для уравнения m-1 2β 2 + Uyy +--Uy - У-, U = 0 y (1) h(U )i=∑ Ux^x^ k=1 в конечной односвязной области, ограниченной в полупространстве y >0, где m≥2- размерность пространства, β - действительное число, причем 0< 2β 0 обозначим через R+-{(x, у): у > 0}, где х - (^^1..... хш-1 + . Рассмотрим тождество у2β [uHβm,λ) (W) - wHβm,λ) (u)] - m-1 - у ’в ∑dΓ k-1 дх) ∂w∂u u-w k L ∂xk ∂xk . Интегрируем обе части последнего тождества по области Ω, расположенной в полупространстве y > 0, и, пользуясь формулой Гаусса - Остроградского, получим {ωу[uHβm,λ) (w) - wHβm,λ) (u)] dxdy = ∂w ∂u Л , . 2β Λ∂w ∂u Л Z u--W---I cos (n, xk) + у u--W- I cos (n,у) dΓ, dCk ∂xk J V dy dy J где dx:- dx1dx2...dxm-1, Г-граничная поверхность области Ω, n - внешняя нор m-1 k-1 (4) маль к поверхности Γ. Формула Грина (4) выводится при следующих предположениях: функции u( х,у) ,W( х, у) и их частные производные первого порядка непрерывны в замкнутой области Ω, частные производные второго порядка непрерывны внутри Ω и интегралы по Ω, содержащие H∣(m,λ) (u) и Hβ'",'λ^ (w), имеют смысл. Если Hβ(m,λ)(u) и Hβ(m,λ)(W) не обладают непрерывностью вплоть до Γ, то это - многомерные несобственные интегралы, которые получаются как пределы по любой последовательности областей Ωk, которые содержатся внутри Ω, когда эти области Ωk стремятся к Ω, так что всякая точка, находящаяся внутри Ω, попадает внутрь областей Ωk, начиная с некоторого номера k . Если u и W суть решения уравнения (1), то из формулы (4) имеем f у2βIudW-WЛdГ - 0, (5) Γ V∂n∂nJ ∂ где - означает нормальную производную: ∂n ∂m -1 ∂∂ 3-- =∑ cos (n, χk)-- + COS (n, у +∂-- . dn k-1 ∂xk dy Полагая в формуле (4) W ≡ 1 и заменяя u на u2 , получим Iω y2β L ∑ ui + u2+λ ^u2 Lk -1 dxdy - I у2βu dudΓ, Γ ∂ n (6) (7) где u( х, y) - решения уравнения (1). Равенство (7) играет важную роль при доказательстве единственности решения краевых задач. 58 Т.Г. Эргашев, Н.М. Сафарбаева Наконец, из формулы (5), полагая w ≡ 1 , будем иметь j у2β didΓ = 0. Γ ∂ n (8) Формула (8) утверждает, что интеграл от нормальной производной решения уравнения (1) по граничной поверхности равен нулю. Фундаментальные решения уравнения (1) найдены в [16]: q0 (x,y;ξ,η) = Y0r 2 h3 (β0,β;2β;θ,μ); (9) где q, (х,у; ξ,η) = Y1r-2β1 y'-2βη1-2βH3 (β1,1 - в;2 - 2β; θ,μ), β0 = 'mL - 1 + β, Y0 = 22β0-m r0. Задача Дирихле. Найти в области Ω регулярное решение u (х, y) уравнения (1), непрерывное в замкнутой области Ω и удовлетворяющее условиям u(х,0) = τ(х), X ∈ D, u∣5 = φ(х,y), (х,y)∈ 5, где τ (х) и φ (X, y) - заданные непрерывные функции, причем φ ( X, y)∣l = τ ( x)∣l . Задача Дирихле для многомерного уравнения Гельмгольца 59 Докажем единственность решения поставленной задачи. Нетрудно убедиться в справедливости следующего равенства: + ∫ Ly2β m∑-^fu ^^^+Afy2βu ∙"ωL k=1 ∂x^ I ∂x, J ∂y ∂y Jy ,x,y. Пусть U - решение уравнения (1). Тогда воспользовавшись формулой Гаусса -Остроградского, получим ∫Ω у 2' L∑r⅛ J+r∣y j2+λ2u ≈ y dxdy= = -∫D "(x)ry2e IyJ =0 dx + ∫5y2βφ (x, y^^∣ndS. k=1 [Jy =0 Если теперь рассмотреть однородный случай задачи Дирихле (т.е. φ(x,y) ≡ 0,τ(x) ≡ 0), то k=1 Отсюда следует, что и (x, y) = 0 в Ω. Тем самым доказана единственность решения задачи Дирихле. Существование решения задачи Дирихле Существование решения задачи Дирихле докажем методом функции Грина. Для этого положим, что ak=bk=R, k =1,m-1, и S является полусферой с центром в начале системы координат, радиусом R , т.е. = {(x,y):∑’к. =-11xk2+y2=R2}. Определение. Функцией Грина задачи Дирихле для уравнения (1) называется функция G1 (x, у; ξ,η), удовлетворяющая следующим условиям: 1) внутри области Ω , кроме точки (ξ,η), эта функция есть регулярное решение уравнения (1); 2) удовлетворяет граничному условию (14) g1 (x, у; ξ,η)| 5 ∪D = 0, 3) может быть представлена в виде ^1 (x, у; ξ,η) = q1 (x, у; ξ,η)+ ^1 (x, у; ξ,η), (15) где q1 (x,у; ξ,η) = γ1r "β'' y'^2βη1-2βH3 (β1,1 - в;2- 2β; θ,μ) - фундаментальное решение уравнения (1), определенное формулой (10), а γ1,r,θ и μ определяются формулами (11) - (13). Здесь w1 (x,у; ξ,η) - регулярное решение уравнения (1) везде внутри Ω. 60 Т.Г. Эргашев, Н.М. Сафарбаева Построение функции Грина сводится к нахождению ее регулярной части Wj (x, y; ξ,η), которая в силу (14) и (15) должна удовлетворять граничным условиям Wj (x, y; ξ,η)∣s = -qj (x, y; ξ,η)∣, wj (χ,0;ξ,η) = °. Для области Ω, ограниченной плоскостью y = 0 и полусферой 5, функция Грина задачи Дирихле имеет вид где P2 =∑ m=-Jξ2 + η2, ξ = ( ξj,...ξm-j), ξk = ξk, η=^^η. ρρ Пусть (ξ,η) ∈ Ω. Вырежем из области Ω m-мерный шар малого радиуса ε с центром в точке (ξ,η), оставшуюся часть Ω обозначим через Ωε, а через Cε -m-мерную сферу вырезанного шара. Используя формулу (4), получим ∂Gj g ∂u 1 и-- Gj- dCε = ∂n ' ∂n ≡ ∫ rβ Cε {y2β ddyGJ(x, y; ξ,η-}' dx - ∫y2βφ(S)dGj (x, ) dS. y=0 5∂n = ∫τ (x )iy2β D Используя формулы дифференцирования ∂ ab -H3 (α,b', C, z,t) = - H3 (α +1,b +1; c +1; z, t), ∂z3c3 (16) ∂1 -H3 (^a,b;c;z,t) =-----H3 (a -1,b;c;z,t), ∂ta-1 и смежное соотношение αbzH3 (α +1,b +1;c +1;z,t)--1- tH3 (α -1,b;с;z, t) = c3a-1 3 = a H3 (a +1,b; с; z, t)- aH3 (α,b; с; z,t), -2β1 Y1 (x⅛ - ξk )y'^2βη1-2βr-2β1 -2H3 (1 + β1,1 - β;2 - 2β; θ,μ), k = 1, m -1, нетрудно вычислить частные производные фундаментального решения qj (x,y;ξ,η): dqj = dxk Задача Дирихле для многомерного уравнения Гельмгольца 61 Теперь, воспользовавшись определением нормальной производной (см. формулу (6)), окончательно находим ∂⅛1 ∂n + 2β1 γ1 y^^2βη2-2β r^2β1 -2H3 (1 + β1,2 - β;3 - 2β; θ,μ) --(1 - 2β) Y1 у-2βη1-^βr-2β1 H3 (β1,1 - β;2 - 2β; θ,μ). Левую часть равенства (16) разделим на три интеграла: ∫ у≡β Cε ∂G1 ∂u 1 и--G1 dCε - J^[ + J2 + J3, дп дп (17) (18) где J, = ∫ y^βu (х, у )д^'( х:,у; ξ,η> dC,, (19) Cε дп j3 = -∫ У2βG1 (х,у;ξ,η)∂u∂х^’у) dCε. C дп Cε Сначала выражение нормальной производной (17) подставим в (19), затем в правой части полученного равенства (19) переходим в обобщенную сферическую систему координат вида х1 = ξ1 + εΦ1, ..., хт-1 = ξm-1 + εΦm-1, у = П + εΦm , m-1m-1 где Φ1= cos φ1, Φ2= sinφ1cosφ2, Φ3= sin φ1 sin φ2 cos φ3 , ..., Φm-1= sinφ1sinφ2...sinφm-2 cosφm-1, Φm= sinφ1sinφ2...sinφm-2sinφm-1 [ε ≥0, 0 ≤ φ1 ≤ π,...,0 ≤ φm-2 ≤ π,0≤ φm-1 ≤ 2π]. После несложных преобразований первое слагаемое J1 принимает вид J1=J11+J12+J13, где 2ππ π J11 = 2β1γ1η1-2βε-2β1-2+m ∫dφm-1∫sinφm-2dφm-2 ∫sin2 φm-3dφm-3... 00 0 π ...J(η+εΦm)u(ξ1 +εΦ1,...,ξm-1 +εΦm-1,η+εΦm)H31(ε)sinm-2 φ1dφ1, 0 2ππ π J12 = 2β1γ1η2-2βε-2β1-3+m ∫dφm-1∫sinφm-2dφm-2 ∫sin2 φm-3dφm-3..., 00 0 62 Т.Г. Эргашев, Н.М. Сафарбаева π ...J(η + εΦда }и ((1 + εΦ1,..., ξ да-1 + ε Φда-1, П + εΦда ) H32 (ε ) sin Φ1 dΦ1, 0 2 ππ π j13 =-(1 - 2β h'1η1-2βε-2β1 -1+да J dΦrn-1 J sin Φrn-2dΦrn-2 J sin2 Φда-3^Φда-3... 00 0 ...J u (ξ1 + εφ1 ξда-1 + ε φ∞-1 , η + εΦда ) h33 (ε) sinΦ1dΦ1, 0 H31 (ε) = H3 '1 + β1,1 -β;2-÷β;1 -r∣,-λ^ε2 J, H32 (ε) = H3 '1 + β1,2-β;3-2β;1 -r∣,-ε21, H33 (ε) := H3 ∣β1,1-β;2-2β;1 -∏l,-λ^ε2 J, r2 = ε2∑ξ2 +(2η + εΦда)2. Для полного вычисления J1 сначала вычислим J11. Воспользовавшись формулой разложения (3), получим H3,(ε)=F'1+β,,1 -β;2-2βu-4Ji-,(^)+∑∑ ;-;);+'>1)^■)4-p⅛ × V∣ε2 J) k=1 l=1 (k -l)!l!(l - 1)!(2 - 2β)k (-β1 )l ×xky^F '1 + β1 + k,1 - β+k;2 - 2β+k;1 -r1εJ ∕j-a(λε). (20) Теперь применяем к каждой гипергеометрической функции Гаусса, входящей в формулу (20), известную формулу Больца [20]: F (a,b; c; z) = (1 - z)^b F |c - a,b; c;““у) . В результате получим '2 Iβ -1 H31 (ε) = I⅝J F∣1 -2β-β1,1 -β;2-2β;!“!2)^1-^ (λε) + + ∑^∑h (-1)k + (k -1)!(1 - β)k ∑ ∑∑1(k -1 )!l !(l -1)!(2 - 2β)k (-β1)/ 'r2 Iβ-1-k ' ε2 I ×Xkyl I J F11 - 2β - β1,1 - β+k; 2 - 2β+k; 1 --^J i1-a,2 (λε). Теперь функцию H31 (ε) подставим в интеграл J11 и после этого в правой части J11 переходим к пределу при ε → 0 : Задача Дирихле для многомерного уравнения Гельмгольца 63 2ππ π ×J dφm-1Jsinφm-2dφm-2Jsin2 φm-3dφm-3 00 0 В силу известной формулы суммирования [20] Γ(C)Γ(C-a-b) F (a, b;c;1) =-----------, c - a - b > 0 Γ(C-a)Γ(C-b) .J sinm-2 φ1dφ1. 0 будем иметь F (1 - 2β - β1,1 - β:2/2β:∣)-ΓCβ∣÷ β)rc 2~ 2β). 1 Γ(1-β)Γ(1+β1) (21) Нетрудно вычислить, что ∫ dΦm-1 ∫ sin Φm-2dΦm-2 j sln2 Φm-3dΦm-3 j slnnm^^ Φ1dΦ1 =I2^Vx ' i i i i γ (m '2 Принимая во внимание (21) и (22), а также имея в виду значения β1 (см. (11)), получим (22) и γ1 (23) lim J11 = u(ξ,η). ε→0 Аналогичным образом можно доказать, что lim J12 =lim J2 =lim J3 =0. ε →0 ε →0 ε →0 τ li 2β ∂G1 ∂G1 (X, ξ) (24) Теперь вычислим предел Iim у и нормальную производную -------y →0 ∂y ∂n на полусфере 5 . После этих вычислений, с учетом (18), (23) и (24), из (16) имеем u C⅞,η) = (1 - 2β )Y11 ∫'r(1 - β1 )η1-2β ∫ τ (х)[ X -β11-β1 (λ^-)→'-β1 '-β1 Р-У)] Y + (25) m-1 где X2 :=∑(Xk -ξk)2 + η2, к=1 2 m-1 m-12 m-1m-12 m-1 Y2:= ∑I R-I ÷Rr∑ ∑ Xiξ2÷⅛∑xi -(m-2)R2; к=1 v r k=1 j=1, j Φ к r к=1 ∞ 1 Iz Iα + 2n Iα (z) = ∑------------1 ~ I - известная модифицированная функция Бесселя. n-0 Γ(1 + α + n П}к! V 2 J Итак, мы доказали следующую теорему: Теорема. Существует единственное решение задачи Дирихле для уравнения (1) и оно представляется формулой (25).

Скачать электронную версию публикации