On the functor of probability measures and quantization dimensions.pdf Размерность финитной аппроксимации в пространствах вида F( X ) определена в [1]2. Пусть F - полунормальный метризуемый функтор, (X, ρ ) - метрический компакт и ρF - функториальное продолжение метрики ρ на F(X). Через Fn(X),n∈N, обозначим подпространство F(X), состоящее из точек ξ, носитель которых supp(ξ) содержит не более n элементов. Известно, что объединение подпространств Fn(X), n∈N, всюду плотно в F(X). Для каждого ξ ∈F(X) и числа ε > 0 положим N(ξ,ε) = min{n : (ξ, Fn^ (X)) ≤ ε} . Для точки ξ с бесконечным носителем число N(ξ,ε) неограниченно возрастает при ε → 0. Скорость этого возрастания характеризует величина lnN(ξ,ε) dimF (ξ) = limε→0-------, - ln ε которую мы называем размерностью финитной аппроксимации ξ (если указанный предел не существует, рассматриваются верхний или нижний пределы, и мы получаем соответственно верхнюю dimf (ξ) или нижнюю dim f (ξ) размерности финитной аппроксимации ξ ). Если в качестве F взять функтор экспоненты exp с метрикой Хаусдорфа, размерность финитной аппроксимации dimF(A) для любого A ∈ exp(X ) совпадает с 1 Финансовое обеспечение исследования осуществлялось из средств федерального бюджета на выполнение государственного задания КарНЦ РАН (Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН). 2 В [1] эта размерность названа «метрическим порядком». Такая терминология была заимствована из работы Л.С.Понтрягина и Л.Г.Шнирельмана [5], где данное понятие было впервые рассмотрено для функтора экспоненты exp. Однако в современных исследованиях в подобных случаях устойчиво используется термин «размерность». 16 А.В. Иванов емкостной размерностью dimB (A) , которая широко исследована и находит приложения в теории динамических систем (см. [2]). Размерность финитной аппроксимации для функтора суперрасширения λ была рассмотрена в [3]. В настоящей работе рассматривается функтор вероятностных мер P с метрикой Канторовича - Рубинштейна. Оказывается, что в этом случае размерность финитной аппроксимации dimP(μ) совпадает с размерностью квантования D(μ) меры μ ∈ P(X) . Теория размерностей квантования мотивирована задачами теории вероятностей и построена в терминах этой теории (см. [4]) для вероятностных мер, определенных в Rn (в том числе и мер с компактным носителем), где метрика задается с помощью нормы (при этом размерность D(μ ) не зависит от выбора нормы). Предложенный общий подход распространяет понятие размерности квантования на вероятностные меры, заданные на произвольном метрическом компакте (X,ρ) . В этом случае размерность D(μ) меры μ ∈P(X) зависит от выбора совместимой с топологией метрики ρ на X и может варьироваться в широких пределах. Показано, что ряд утверждений теории квантования, известных для мер в Rn , остается верным и в общем случае. При этом доказательства этих утверждений, проведенные в терминах метрики и топологии, оказываются более компактными. Для функтора P справедливо неравенство dimP(μ) = D(μ) ≤ dimB supp( μ) , связывающее размерность квантования меры μ с емкостной размерностью ее носителя, аналог которого выполняется также для суперрасширения и экспоненты (тривиально). С этим неравенством связан вопрос о промежуточных значениях размерности квантования: верно ли, что для любого метрического компакта (X,ρ) и любого числа a, удовлетворяющего неравенствам 0≤a≤dimBX, существует мера μa∈P(X), такая, что D(μa)=a и supp (μa)= X ? Для суперрасширения аналогичный вопрос решен положительно [3], для вероятностных мер в общем виде он остается открытым. При этом показано (теорема 1), что для любого b > 0 существует метрический компакт Xb размерности dimB Xb = b , на котором имеются вероятностные меры с носителем равным X , размерность квантования которых принимает все возможные значения из отрезка [0, b] . Автор выражает благодарность профессору А.М. Зубкову, который обратил его внимание на исследования в области квантования вероятностных мер. Предварительные сведения Через F мы будем обозначать полунормальный функтор, действующий из категории Comp компактов и непрерывных отображений в ту же категорию (см. [6]). Для любого полунормального функтора F и любого компакта X имеет место естественное вложение X ⊂ F(X), и для любого замкнутого подмножества A ⊂ X пространство F (A ) естественно вкладывается в F (X ). Для точки ξ ∈ F(X ) ее носитель supp (ξ) есть минимальное (по включению) замкнутое подмножество A ⊂ X , для которого ξ ∈ F(A). Для каждого n∈ N определено замкнутое подпространство Fn (X) = {ξ ∈ F(X) : ∣supp(ξ)∣ ≤ n} ⊂ F(X). Известно, О функторе вероятностных мер и размерностях квантования 17 что для любого полунормального функтора F и любого компакта X множество ∪n∈NFn(X) всюду плотно в F(X) (см. [7]). Функтор F называется метризуемым [8], если для любого метрического компакта (X,ρ) на F(X) определена совместимая с топологией метрика ρF так, что выполняются следующие условия: 1) для любого изометрического вложения i : (X1,ρ1) → (X2,ρ2) отображение F(i) : (F(X1),(ρ1)F ) → (F(X2),(ρ2)F ) также является изометрическим вложением; 2) естественное вложение (X, ρ) → (F(X), ρf ) является изометрией; 3) diam (F(X))=diam(X). Точки с конечными носителями можно считать «простыми» точками F(X) и число элементов в носителе простой точки трактовать как ее «степень сложности»: чем больше элементов, тем «сложнее» точка. Пусть ξ ∈ F(X) и ε > 0. Очевидно, что наименьшая «степень сложности» ε -приближения3 ξ определяется по формуле N(ξ,ε) = min{n : ρf (ξ, Fn (X)) ≤ ε} . Если точка ξ не является простой, то в силу замкнутости множеств Fn(X) число N(ξ, ε) неограниченно возрастает при ε → 0 . Скорость этого возрастания характеризуют верхняя и нижняя размерности финитной аппроксимации ξ : dimF (ξ) = inf{α: lim.∙; >uε'αN(ξ,ε) = 0} = sup{α: lim.∙; >uε'αN(ξ,ε) = ∞}, dimf (ξ) = inf{α: limε→∩εαN(ξ, ε) = 0} = sup{α: limε→∩εαN(ξ, ε) = ∞} . Очевидно, что 0≤ dimf (ξ) ≤ dimf (ξ) ≤∞. В случае выполнения равенства dimF (ξ) = dimf (ξ) для размерностей финитной аппроксимации используется обозначение dimF (ξ). В [1] показано, что имеют место следующие равенства: - f,. - lnN(ξ,ε^ . ,ε. f lnN(ξ,ε) dimF (ξ) = limε→0------, dim, f (ξ) = limε→0------. -lnε -lnε Справедливо также Предложение 1 [1]. Пусть монотонно убывающая последовательность εn такова, что limn→∞ εn= 0, и существует число c > 0, такое, что для любого n выполняется неравенство εn+1 ≥ cεn. Тогда limn→∞ lnN(ξ,εn) = dimF (ξ), limn→∞ lnNN(ξ,εn) = dimf (ξ). -lnεn -lnεn В ряде случаев требуется указывать компакт X , для которого определяются введенные выше понятия. Тогда для ξ∈ F(X) мы будем использовать обозначения N(ξ,ε,X) и dimF (ξ,X) соответственно. Определение 1 [3]. Размерности финитной аппроксимации для функтора F сохраняются при переходе к подпространству, если для любого компакта X , 3 Точка η называется 8-приближением ξ, если Pf (ξ,η) ≤ ε . 18 А.В. Иванов любого его замкнутого подмножества A и любой точки ξ ∈ P (A) выполняются равенства dimp (ξ,A) = dimp (ξ,X), dim, p (ξ,A) = dimp (ξ,X). Аппроксимационным спектром точки ξ∈P(X) мы будем называть множество as(ξ) = {N(ξ,ε):ε > 0}. Спектр as(ξ) всегда содержит единицу и является бесконечным множеством, если бесконечен носитель ξ . Рассмотрим в качестве P функтор экспоненты exp (напомним, что exp(X) -пространство непустых замкнутых подмножеств компакта X с топологией Вье-ториса), метризованный метрикой Хаусдорфа ρH . Тогда для любого A∈exp(X) и ε > 0 число N(A,ε) есть наименьшее количество ε -шаров4, покрывающих A . Таким образом, размерности финитной аппроксимации для функтора exp совпадают соответственно с верхней dims^ и нижней dimg∠4 емкостными размерностями множества A (см. [2]). Нетрудно показать, что емкостные размерности сохраняются при переходе к подпространству. Пример. Аппроксимационные спектры подмножеств отрезка. Легко проверить, что для функтора exp и стандартного канторовского совершенного множества Π∈exp I , где I - отрезок [0,1] , имеет место равенство as(Π) = {2”-1 : n ∈ ^} . При этом as(7) = N . Пусть X - компакт и P(X) - пространство вероятностных мер на X со слабой топологией. Для μ∈P(X) и непрерывной функции g: X→ R через μ(g) обозначается ∫ gdμ . Для всякого непрерывного отображения компактов X f : X→Y определено отображение P(f ):P(X) → P(Y), действующее по формуле P(f )(μ)(4) =μ(f-14), где μ∈P(X) и 4 - борелевское подмножество Y . Известно, что P - нормальный функтор в категории Comp (см. [7]). Функтор P метризуем метрикой Канторовича - Рубинштейна ρP (см. [8]), которая определяется следующим образом: Pp (μ1, μ2) = inf{ ∫ ρ(X1, X2 )dη:η ∈ P(∏1 )-1 (μ1) ∩ P(∏2 )-1 (μ2)}, X2 где πi, i = 1,2 , - проекции X 2 на 1-й и 2-й сомножители соответственно. Известно [9], что Pp(μ1, μ2) = sup{∣ μ1 (f) - μ1( f) |: f ∈ Lip1 (X)}, где Lip1(X) - множество нерастягивающих отображений метрического компакта (X,ρ) в R1: f ∈ Lip1 (X) →∀x,y ∈ X | f (X) - f (у) ∣≤ p(X, y). 4 -ε-шаром с центром в точке x в метрическом пространстве (X, ρ) называется множество -S(x,ε) = {y : Ρ(x,у) ≤ ε} . О функторе вероятностных мер и размерностях квантования 19 Свойства размерностей квантования Предложение 2. Пусть (X ,ρ) - метрический компакт, A - конечное подмножество X и μ ∈ P(X). Тогда ρP(μ,P(A))- ∫ ρ(x, A)dμ. X Доказательство. Пусть A - {a1 ,..., an} . Положим Ci = {x ∈ X : ρ(x,ai) = ρ(x,A)} и Di = Ci \\∪j∫ρ(x,A')dμ=ρP(μ,Pn+1(A')). XX Утверждение предложения тем самым будет доказано. Пусть a = ρ( >>, A). Рассмотрим множество U = {z ∈ X : ρ( >>, z) < a /3} . Поскольку U - окрестность точки y ∈ supp(μ) , μ(U)>0. Для любой точки x∈U 21 ρ(x, A) ≥ 3 a и ρ(x, A') ≤ 3 a. 20 А.В. Иванов Следовательно, ∫ρ(x,A)dμ>∫ρ(x,A')dμ. При этом всегда ρ(x,A)≥ρ(x,A'). UU Поэтому ∫ρ(x,A)dμ≥∫ρ(x,A')dμ, откуда следует неравенство (3). X\\U X\\U Для вероятностных мер, заданных на Rn (метрика в Rn при этом порождается нормой), широко исследованы верхняя и нижняя размерности квантования D и D , которые не зависят от выбора нормы (см. [4]). Эти размерности могут быть определены и для мер μ∈P(X), заданных на произвольном метрическом компакте (X,ρ): lnn lnn D(μ) = limn→∞----------------, D(μ) = limn→∞ (4) - In Ρp(μ,Pn (X ))^^ -n→∞- In ρp(μ,Pn (χ)) У выражений (4) есть недостаток: они не работают для мер с конечным носителем (выражение под знаком логарифма в знаменателе обращается в ноль). При этом имеет место Предложение 4. Для всякой меры μ∈ P(X) с бесконечным носителем, заданной на метрическом компакте (X,ρ), размерности квантования совпадают с размерностями финитной аппроксимации: D(μ) = dimp (μ), D(μ) = dimp (μ). Доказательство. Положим ρP(μ,Pn(X))=εn. В силу равенства as(μ)=N последовательность εn монотонно стремится к нулю при n →∞. При δ∈[εn,εn-1) N(μ, δ) = n . Следовательно, In n ≤ lnN(μ, δ) In n (5) - ln ε^ - ln δ - ln εn-1 при δ∈[εn,εn-1). Переходя в неравенствах (5) к верхнему и нижнему пределам при n →∞ и δ → 0, получаем искомые равенства. Предложение 5. Размерность квантования сохраняется при переходе к подпространству. Для любого замкнутого подмножества A ⊂ X и любой меры μ ∈ P(A) выполняются равенства D(μ, A) = D(μ, X), D(μ, A) = D(μ, X). Доказательство. Пусть n= N(μ, ε,X). Существует мера с конечным носителем μ1=∑in=1aiδxi ∈Pn(X), такая, что ρP(μ,μ1)≤ε. Для каждой точки xi из носителя меры μ1 выберем точку yi∈A так, что ρ(xi,yi)=ρ(xi,A), и рассмотрим меру μ2 = ∑in=1 aiδyi ∈Pn(A). Функция g(x)=ρ(x,A) принадлежит Lip1(X) . Кроме того, μ(g)= 0, поскольку supp (μ) ⊂ A и g(x)= 0 при x∈ A. Возьмем произвольную функцию f ∈ Lip1(X) . Имеем 1 μ1 (.f)-μ2(.f)| =1 ∑aI(.f(xi)- fCVi)) 1 ≤ ∑ai l(.f(xi)- f(Уг) l≤ ≤ ∑ aI р( χi, Уі) = ∑ aiP( χi, А) =l μ1(g) - μ2(g) l ≤ Pp(μ1, μ) ≤ε. О функторе вероятностных мер и размерностях квантования 21 Следовательно, ρP(μ1,μ2)≤ε и, значит, ρP(μ,μ2)≤2ε . Таким образом, мера μ2 является 2ε -приближением μ. Следовательно, N(μ,2ε,A)≤N(μ,ε,X). Кроме того, очевидно, что N(μ, ε,X)≤ N(μ, ε,A). Из этих двух неравенств следует утверждение предложения. Предложение 6. Для любой меры μ ∈ P(X) D(μ) ≤ dim^supp (μ), D(μ)≤ dimBsupp(μ) . Доказательство. Поскольку размерности квантования и емкостные размерности сохраняются при переходе к подпространству, без ограничения общности можно считать, что supp (μ) = X. Пусть N(X,ε) - наименьшее число ε -шаров, покрывающих X, и A - подмножество X мощности N(X,ε), для которого ρ(x, A) ≤ ε для любого x ∈ X . Тогда ρp(μ,P(^)) = ∫ ρ(х, A)dμ ≤ ε .Таким образом, X для любого ε > 0 N(μ, ε)≤ N(X,ε) , откуда следует утверждение предложения. Пусть μ∈ P(X) и ε > 0. Меру ν ∈ P(X) будем называть оптимальным ε -приближением μ, если ∣supp (ν)∣ = N(μ,ε) и ρP(μ,ν)=ρP(μ, PN(μ,ε) (X)). Будем говорить, что конечное множество A ⊂ X является n -оптимальным для меры μ∈P(X), если ∣A∣=n и ρP(μ,Pn(X))=ρP(μ,P(A)). Предложение 7. Пусть μi ∈ P(X), i= 1,...,k , - конечный набор мер и для каждого i определена размерность D(μi) . Тогда для любой вероятностной меры вида μ= ∑i piμi, где pi > 0 и ∑i pi =1, справедливо равенство D(μ)= maxiD(μi). Доказательство. Фиксируем ε > 0. Пусть νi - оптимальные ε -приближения мер μi соответственно (i=1,...,k). Тогда мера ν=∑ipiνi является ε-приближением меры μ. При этом supp (ν) = ∪isupp (νi) . Следовательно, N(μ,ε)≤∑iN(μi,ε). (6) Пусть j таково, что D(μj)= maxiD(μi) и ν' - оптимальное pjε -приближение меры μ. Пусть supp (ν')= A, тогда ∣A∣= N(μ, pjε). Имеем: pjε≥ρP(μ,ν')=ρP(μ,P(A))= ∫ρ(x,A)dμ= ∑ i pi∫ρ(x,A)dμi. Отсюда следует, что XX ρp(μj ,P(^)) = ∫ ρ(х, A)dμj ≤ ε .Таким образом, N(μj, ε) ≤ N(μ, Pjε). Откуда в силу X (6) получаем, что N(μ j ) ≤ N(μ, ε) ≤∑ N(μi, ε). (7) jpj i i Из неравенств (7) и выбора меры μ j следует утверждение предложения. Предложение 8. Для любого метрического компакта (X,ρ) существует мера μ ∈ P(X) такая, что supp (μ) = X и D(μ)=0. Доказательство. Пусть {x^ : к ∈ X} - счетное всюду плотное подмножество X , состоящее из попарно различных точек (для конечного X утверждение пред- 22 А.В. Иванов ложения очевидно). Положим μ = ∑∞=ι -!-δx . Очевидно, что supp (μ) = X. Пусть k =1 2k k An={x1,...,xn}. В силу предложения 2 Pp(μ,P(.4n)) = ∫ р(χ, An )dμ = ∑∞=n+1-1^Ρ(xk, An) ≤ diam (X) = εn. X 22 Следовательно, N(μ, εn) ≤ n. Откуда limn→∞ ln N(μ,εn) = 0. Таким образом, в -lnεn силу предложения 1 D(μ)= 0. Теорема 1. Для любого b: 0≤b≤∞ существует компактное метрическое пространство Xb с единственной неизолированной точкой, такое, что dim^ Xb = b , и для любого a ∈ [0,b] существует вероятностная мера μa ∈ P(Xb), для которой β(μα) = a и supp (μa )= Xb. Доказательство. Положим Xb=∪i∈NZi∪{p}, где Zi - попарно дизъюнктные конечные множества, не содержащие точку p. При этом |Zi |= [2bi], если b ρP(μb,P(B')), противоречащее оптимальности B. Таким образом, nk -оптимальное множество B , которое заведомо существует, совпадает с A, что и требовалось. Положим εk=ρP(μb,P(A))=∑i>k∫ρ(x,A)dμb=∑ 1 i>k 2ici ■ (13) Из определения ε k и N(μb, ε k ) = nk =∑, ≤k | Zr | +1. Zi nk -оптимальности A следует равенство Обозначим для краткости через a. i-й член ряда из (13): a. = -1-. Поскольку 2ici2 limi→∞ -i+1 = -, для больших i заведомо выполняется неравенство ai+1 > - a^. ai 2 4 24 А.В. Иванов Откуда следует, что ε⅛+1 > -4- εпри больших k . Таким образом, в силу предложения 1 при b k2i ci2 -lnεk ln[2bk] =b. ln(2k+1c(k + 1)2) b. Следовательно, β(μb) = b . Поскольку dim^ Xb ≥ β(μb) ≥ β(μb).. имеют место равенства β(μb) = ^(μb) = b . Аналогично, при b =∞ ln(∑i≤k2i2 +1) ln2k2 S(μb) = Iimk-→∞ -in∑i≤ ≥!imk→. ,n(2k+1c(k +1)≈) = ” zLi >k 2ici i-и, следовательно, D(μb) =∞. Пусть теперь a< b. В каждом множестве Zi выберем подмножество Z 'i мощности |Z 'i |= [2ai ] и положим Xa=∪iZ 'i∪{p}. Очевидно, что Xa является замкнутым подпространством Xb. На Xa рассмотрим меру μa , которая определяется аналогично мере μ b на Xb. Поскольку размерность квантования сохраняется при переходе к подпространству, мы получаем, что D(μa) = a в P(Xb). При этом supp( μa) = Xa. Рассмотрим вероятностную меру ν на Xb, для которой D(ν)= 0 и supp(ν) = Xb (ν существует в силу предложения 8). Положим μ'a = '2'(μa + ν) ∈ P(Xb) . Очевидно, что supp( μ'a)= Xb . При этом в силу предложения 7 D(μ'a)= a. Теорема доказана. Замечание. Все пространства Xb гомеоморфны сходящейся последовательности S . Из теоремы 1 и предложения 6 следует, что размерность квантования фиксированной меры μ ∈ P(S) зависит от метрики на S и может варьироваться от нуля до бесконечности (включительно).

Скачать электронную версию публикации