Asymptotic solution of the Dirichlet problem for a ring, when the corresponding unperturbed equation has a regular speci.pdf Многие физические процессы, связанные с неравномерными переходами, описываются дифференциальными уравнениями с большими или малыми параметрами. Примером, где малый параметр естественным образом находится при главной части дифференциального оператора, является уравнение Шредингера, в котором в роли малого параметра выступает величина кванта действия. Если эту величину устремить к нулю, то некоторые законы квантовой механики переходят в законы классической механики. Кроме того, сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения (дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной) выступают в качестве математических моделей многих задач механики, физики, техники, химии, океанологии и других областей науки [1]. Поэтому построение асимптотических решений сингулярно возмущенных задач представляют теоретический и практический интерес [1-10]. Обычно для построения асимптотических решений сингулярно возмущенных задач применяют либо метод сращивания Ван-Дайка (метод согласования А.М. Ильина), либо метод пограничных функций Вишика - Люстерника - Василевой - Иманалиева, либо метод регуляризации С.А. Ломова и др. Нами в работах [11-16] предложен аналог метода пограничных функций. В данной работе, используя эту идею, построим асимптотику решения нового класса бисингулярных задач, т.е. когда соответствующее невозмущенное уравнение имеет регулярную особую границу - окружность. Постановка задачи Рассмотрим задачу Дирихле для кольца ∂v (1) (2) ε∆v + (ρ - a)q(φ)-- q(φ)v = f (ρ, φ), (ρ, φ) ∈ D ; ∂ρ v(a,φ,ε) = ψ1(φ), v(b,φ,ε) = ψ2(φ), φ∈[0,2π], 38 Д.А . Турсунов, М.О. Орозов где 0 < ε - малый параметр, 0 < a, b, - const, D = {((ρ,φ))∣ a < ρ < b, 0 ≤ φ < 2π}, q(φ) > 0 φ∈[0,2π], v = v(ρ,φ,ε), f∈C∞(D ), q, ψk∈C∞[0,2π], k = 1,2, df(ρ,φ) Iρ=a ≠ 0, ρ=a ∂ρ a φ∈[0,2π]. Требуется построить полное равномерное асимптотическое решение задачи (1) - (2), когда ε→0. Докажем вспомогательную лемму. Лемма 1. Задача (P - a)q(φ)-d^(p.φ) - q(φ) z(ρ, φ) = f (ρ,φ), (ρ,φ) ∈ D ; (з) ∂ρ (4) z(b,φ) = ψ2(φ), φ∈[0,2π] имеет единственное решение, представимое в виде ρ-aρ f(s,φ) ρ-a (5) z(ρ, φ) = -- I b-----2ds+ψ 2(φ^-, q(φ)b (s-a)2 2 b-a а также справедливо соотношение z(ρ,φ) = Q0(φ)(ρ-a)ln(ρ-a)+Q1(ρ,φ), где 61 ∈ C”(D), Q0∈C∞[0,2π]. Доказательство. Отметим, что уравнение (з) на окружности ρ = а имеет слабую особенность. Эту окружность назовем регулярно особой окружностью. Уравнение (з) запишем в виде z (ρ, φ) = f (ρ, φ) dρl P- a J q(φ)(ρ- a) интегрируя последнее равенство по ρ, учитывая условие (4), получим равенство (5). Подынтегральную функцию в (5) запишем в виде f(s,φ) = f0(φ)+f1(φ)(s-a)+(s-a)2F(s,φ), (6) Здесь F0(a,φ) = F(s,φ) = ∑ fk(φ)(s-a)k-2, fk(φ) = ∙1 f |s=α ,k = 0,1,... . 0 k =2 kkk! ∂sk sa Учитывая разложение (6) из равенства (5) имеем ρφ=ρ-aρ f0(φ)+f1(φ)(s-a)+(s-a)2F(s,φ) +ψ φρ-a= z(ρ,φ)= ∫b 01 2 ds+ψ2(φ) = q(φ)b (s-a)2 b-a ρ-a ρ-a ρ-aρ f0 (φ)+(s-a)2 F(s,φ) ρ-a = φf1(φ)ln(ρ-a)- φf1(φ)ln(b-a)+ φ∫b 0 2 ds+ψ2(φ) - . (s-a)2 q(φ) q(φ) q(φ)b (s-a)2 b-a Если ввести обозначение Q0 = f1(φ)∕q(φ), ρ-aρ-aρ f0(φ)+(s-a)2F(s,φ) ρ-a q1 (ρ, φ) = -- f1 (φ)ln(Ь- a) 1 b-----------2------ds+ψ 2(φ^-, 1q(φ)1q(φ)b (s-a)2 2b-a то имеем z(ρ,φ) = Q0(φ)(ρ-a)ln(ρ-a)+Q1(ρ,φ). Лемма 1 доказана. Асимптотическое решение задачи Дирихле для кольца 39 Рассмотрим классическое внешнее асимптотическое решение задачи (1), (2), которое будем искать методом малого параметра в виде V(ρ,φ,ε) = v0(ρ,φ)+εv1(ρ,φ)+ε2v2(ρ,φ)+...εkvk(ρ,φ)+... . (7) Подставляя (7) в уравнение (1), учитывая граничное условие на внешней окружности ρ = b и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра ε, получаем (р - a)q(φ) dv0∂ρ, φ) - q(φ)vo (р, φ) = f (р, φ), ∂ρ (8) (ρ,φ)∈D, vo(b,φ) = ψ2(φ), φ∈ [0,2π]; ( ∂vk (р, φ) (р - α)q(φ) - --q(φ)vk (ρ, φ:) = -∆vk-1 (ρ, φ:), dP (9) (ρ,φ)∈D, vk(b,φ) = 0, φ∈[0,2π], k∈N. ( На основании леммы 1, для решения задачи (8) имеем vo(ρ,φ) = Qo(φ)(ρ-a)ln(ρ-a)+Qι(ρ,φ), где Qi ∈ C(D), Qo∈C∞[O,2π]. Отсюда следует, что ∆vo(ρ,φ) = O(1∕(ρ-a)), ρ→a. Из соотношения (9) при k = 1 имеем ∂v1 (р, φ) (ρ-a)q(φ)^--q(φ)Vι(ρ, φ) = -∆Vo(ρ, φ), (ρ,φ)∈D, Vι(b,φ) = o, φ∈[o,2π]. dP На основании леммы 1, эта задача имеет единственное решение и для решения справедлива асимптотическая оценка v1(ρ,φ) = O(1∕(ρ-a)) при ρ→a, следовательно, ∆v1(ρ,φ) = O(1∕(ρ-a)3) при ρ→a. Из (9) при k = 2 получим ∂v2 (р, φ) (ρ-a)q(φ)---;--q(φ)V2(P, φ) = -∆Vι(ρ, φ), (ρ,φ)∈D, v2(b,φ) = o, φ∈[o,2π], dP Решение этой задачи существует и для решения справедлива оценка v2(ρ,φ) = O(1∕(ρ-a)3) при ρ→a, следовательно, ∆v2(ρ,φ) = 0(1∕(ρ-a)5) при ρ→a. Аналогично, продолжая этот процесс, получим vk(ρ,φ) = O(1∕(ρ-a)2k-1), ρ→a, k∈N. Таким образом, внешнее решение (7) можно записать в виде εεk (ρ, φ, ε) = vo(ρ, φ)+------v^1(ρ, φ)+...+--------2k-τ vk (ρ, φ)+..., 0ρ-a 1(ρ-a)2k -1k где vk (ρ, φ) ∈ C(D), k ∈ N. Внешнее решение (7) имеет нарастающие особенности [7], поэтому задачу (1), (2) можно называть бисингулярной. 40 Д.А. Турсунов, М.О. Орозов Равномерное асимптотическое решение задачи (1), (2) строим методом [1116], т. е. особенности внешнего решения выбрасываем во внутреннее решение. Для начала построим формальное асимптотическое решение, которое будем искать в виде v(ρ,φ,ε) = u(ρ,φ,ε)+w(t,φ,μ), (10) где t = (ρ-a)∕μ, ε = μ2. Уравнение (1) запишем в виде ∂v ε∆v + (р - a)^(φ½- ⅛(φ)v = f (ρ, φ) - h(ρ, φ, ε) + h(ρ, φ, ε), ∂ρ (11) ∞ где h(ρ,φ,ε)=∑εkhk(ρ,φ), hk(ρ,φ) - пока неизвестные функций. С помощью k=0 этих функций убираем особенности из внешнего решения и потребуем, чтобы оно было гладким. Подставляя (11) в (10) и учитывая граничные условия (2), имеем ∂u ε∆u + (ρ - a)q(φ,)- q(φ,)u = f (ρ, φ) - h(ρ, φ, ε), ∂ρ (ρ,φ)∈D, u(b,φ,ε) = ψ2(φ), φ∈[0,2π]; (12) ∂2w∂w22∂2w ∂w 2 --+μc--+μ c--+t^(φ)--^(φ)w = h(a + μt,φ,μ ); ∂t 2∂t∂φ2∂t w(0,φ,μ) = ψ1(φ)-u(a,φ,ε), w((b-a)∕μ,φ,μ) = 0, φ∈ [0,2π], где с = (a+μt)-1, b-1 < c < a-1, Асимптотическое решение задачи (12) ищем в виде u(ρ,φ,ε) = u0(ρ,φ)+εu1(ρ,φ)+ε2u2(ρ,φ)+...εkuk(ρ,φ)+... . (13) (14) (15) Подставляя (15) в (12) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра ε, имеем ∂u0 (ρ,φ) (ρ - a)q(φ>)-------q(φ) uq (ρ, φ) = f (ρ, φ), ∂ρ (ρ,φ)∈ D, u0(b,φ) = ψ2(φ), φ∈ [0,2π]; -uk (ρ,φ) (ρ - a )q(φ)- --q(φ) uk (ρ, ф:» = gk (ρ, ф:». -ρ (ρ,φ)∈ D, uk(b,φ) = 0, φ∈[0,2π], k∈ N, где gk (ρ, ф) = -(∆vk-1 (ρ, ф)+hk-1 (ρ, φ)), gk ∈ C^(D), k ∈ n . Решение задачи (16) представимо в виде (5). Дифференцируя, получаем ∆u0 (ρ, φ) = f (ф) + f (ф) ln(ρ -a) + 1.(ф) (ρ - a) ln(ρ - a) + ui0 (ρ, φ), ρ-a ρ ρ2 (16) (17) где Ui0 ∈ C∞ (D) . Пусть h0(ρ, φ) = - ln(ρ -1) - (ρ -1) ln(ρ -1) , ρ-a ρ ρ2 тогда g1(P, ф) = гїo(ρ, Ф). Асимптотическое решение задачи Дирихле для кольца 41 Из (17) при k = 1 получаем ∂u1 (ρ,φ) (ρ-a)q(φ)^--q(φ)u1(ρ,φ) = g1(ρ,φ), (ρ,φ)∈D, u1(b,φ) = 0, φ∈[0,2π], ∂ρ Решение этого уравнения, в силу леммы, представимо в виде u1(ρ, φ) = ρ-a fρ g1⅛φ)ds. q(φ) ∫b (s -a)' Дифференцируя, получаем δ , , g1,1(^) , g1,1(φ∖ . , g "1,1(Ф), ,,, , . ρ , ρ2 ∆u1 (ρ, φ) =--1--!n(ρ -a) +---- (ρ - a) !n(ρ - a) + z∕1(ρ, φ), ρ -a ρ 2 ' r-∞^ ∖ ∂g1(a, φ) где 1Л1 ∈ C (D), g11(,) =----------. ∂ρ Пусть g1,1(φ) g1,1(φ) g''1,1(φ) h1(ρ, φ) =----!n(ρ - a)---- (ρ- a) !n(ρ -a), ρ-a ρ ρ2 тогда g2(ρ, φ) = z∕1(ρ, φ). Аналогично продолжая этот процесс, получаем: ∆ ρφ = gk,1(φ)+gk,1(φ) ρ- +g''k,1(φ)ρ- ρ- + ρφ ρ-a ρ ρ2 ρφ =-gk,1(φ)-gk,1(φ) ρ- -g''k,1(φ)ρ- ρhk (ρ, φ) =----!n(ρ- a)------(ρ- a) !n(ρ -a), ρ-a ρ ρ2 gk -'

Скачать электронную версию публикации