Holmgren problem for multudimensional elliptic equation with two singular coefficients.pdf Известно, что теория краевых задач для вырождающихся уравнений и уравнений с сингулярными коэффициентами является одним из центральных разделов современной теории уравнений в частных производных, которые встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера [1, 2]. Подробную библиографию и изложений исследований основных краевых задач для вырождающихся уравнений различного типа, в частности для двумерных эллиптических уравнений с сингулярными коэффициентами, можно найти в монографиях [3-5]. Исследованию краевых задач для многомерных (более двумерных) эллиптических уравнений с сингулярными коэффициентами посвящено сравнительно мало работ. Как известно, для эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом в конечной области рассматриваются две основные (классические) задачи: задача Дирихле и задача N (Хольмгрена, по имени ученого, впервые исследовавшего такую задачу для уравнения Лапласа). В 1937 году С. Агостинелли [6] рассмотрел задачу Дирихле для трехмерного уравнения с одним сингулярным коэффициентом 2α1 uxx + ux x + ux x +---ux = 0, X1X1 X2X2 X3X3 X1 1 в области, ограниченной в полупространстве X1 > 0, однако в 1949 году М.Н. Олевский [7] обнаружил ошибку в исследованиях С. Агостинелли и объявил в явном виде решение задачи Дирихле в многомерном полушаре для более общего многомерного уравнения m 2 α ∑ uχ X +--1 uχ = 0, 0 < 2α1 < 1, m ≥ 2, XkXk X1 1 k =1 1 X1 X1 0 0, x2 > 0}, где x :=( x1,..., xm), m ≥ 2; α1, α2 и λ - действительные числа, причем 00 соответственно. Введем следующие обозначения: ;V1 =( x2, x3, x4,.... xm )∈ Rm-1, x2 =( x1, x3, x4.... xm )∈ R„-1; dx := dx1 dx2...dxm, d5c1 = dx2dx3dx4...dxm, dxc2 = dx1 dx3dx4...dxm; x10 =(0,x2,x3,...,xm)∈Rm, x20 =(x1,0,x3,...,xm)∈Rm. Задача Хольмгрена. Найти в области Ω регулярное решение u (x) уравнения (2), удовлетворяющее условиям 2 α1 x12α1 2α2 x2 2 ∂x1 = ν1 (x1), ^x1 ∈ d1; x1 =0 (3) ∂u (x; ξ) = ν 1 (x2 ), x2 ∈ D2'; x2 =0 (4) dx2 ub = φ(x), x ∈ , (5) где ν1 (H1), ν2 (H2) и φ (x) - заданные непрерывные функции, причем функции V1 (H1) UV2 (H2) могут обращаться в бесконечность порядка меньше, чем 1 - 2α1 и 1- 2α2 на краях областей D1 и D2 соответственно. Докажем единственность решения поставленной задачи. Для этого рассмотрим тождество 2α1 2α2 I ∂w ∂u ' x, 1 x2 21 u--W------I . I dxk dxk Интегрируем обе части последнего тождества по области Ω, расположенной в Rm2+ и пользуясь формулой Гаусса - Остроградского, получим ⅛ x22α2 ruH(”’,0) (w)- wHam’0') (u)1 dx = 2 L α1α2 × ' α1α^ V ∕J 2α1 ∫ x12α1 Ω m 1x22α2∑ u -dw - Wdu'j cos (n, xk) dΓ, I k=1LV dxk dxk J _ где Γ - граничная поверхность области Ω, n - внешняя нормаль к поверхности Г. Нетрудно убедиться в справедливости следующего равенства: ∫ x12α1 x2^ uHama0 (u u)dx=-∫ x12α1 x2'^ ∑ I ∂u-1dx+∑ ∫ I x12α1 x2^u dχ. Ωι 12 Ωω k=1 Vdxk J k=1 Ωdxk V dxk J 2 α1 =∫ x12α1 Γ (6) 50 Т.Г. Эргашев, Н.Д. Комилова Пусть k - решение уравнения (2). Применяя опять формулу Гаусса - Остроградского, получим 2α1 J x1 ’ Ω + ∫ x^α2 V1 (jX∣ )u ( X0 ) dX:^ + ∫ x∣2αι ν (X2 )u (x0 ) dX:2. (7) D1D2 Если теперь рассмотреть однородный случай задачи Хольмгрена (т.е. φ (x) ≡ 0, ν (5c1 ) ≡ 0, ν (Xc2 )≡ 0 ), то из (7) получается -- - m C∂lJ2dX = 0. ∫ xfα' Ω dxk J Отсюда следует, что u (х) = 0 в Ω. Тем самым доказана единственность решения задачи Хольмгрена. 2. Существование решения задачи Хольмгрена функции является R, т.е. =R2}. Кроме того, для определенности положим Существование решения задачи Хольмгрена докажем методом Грина. Для этого положим, что a1=a2=bk=ck, k= 3,m, и S четвертью сферы с центром в начале координат и радиусом S={ x:x1>0,x2>0,x12+...+xm2 m > 2. Определение. Функцией Грина задачи Хольмгрена для уравнения (2) называется функция G0 (х; ξ), удовлетворяющая следующим условиям: 1) внутри области Ω , кроме точки ξ, эта функция есть регулярное решение уравнения (2); 2) она удовлетворяет условиям f χ2α1 ∂G0Cχ^ V 1 dxI ■J = 0, g0 (χ;ξ )| S = 0; j X2 =0 х2 =0 (8) X1 =0 V '^'2 3) функция может быть представлена в виде g0 (χ;ξ ) = qo (χ;ξ)+wo (χ;ξ), (9) где q0 (х;ξ) - фундаментальное решение уравнения (2), определенное формулой [15]: qo (χ;ξ ) = Yor ^2β0 f2 (β0, αι ,α2 ;2а1,2α2; σι, σ2), β0 = HL-1 + «, + о.,, γ0 = 22βo- rr

Скачать электронную версию публикации