Evaluation of the stress and strain during transition layer formation between a particle and a matrix.pdf При получении композитов состав и ширина переходного слоя между включениями и матрицей изменяются в процессе синтеза и зависят от многочисленных технологических параметров процесса (температуры, давления, времени синтеза и т.п.). Используя подходящую модель формирования переходного слоя, можно изучить эволюцию размеров переходной зоны и свойств получаемых материалов в динамике в зависимости от условий синтеза [1, 2]. В общем случае такие модели могут быть реализованы лишь численно, в особенности для многокомпонентных сред и при условии формирования нескольких фаз. Один из вариантов постановки задачи о росте новых фаз - задача реакционной диффузии, когда граница раздела движется вследствие роста новой фазы [3]. В этом случае явно принимается, что скорость собственно реакции много выше скорости диффузии, что позволяет заменить зону реакции поверхностью раздела [4]. Кроме того, процесс образования новой фазы и движение границы сопровождаются диффузией, приводящей к перераспределению концентраций. Эти процессы приводят к появлению диффузионных (концентрационных) напряжений из-за разницы в подвижности диффузанта в фазах и различия свойств фаз. В работах [5, 6] представлены примеры моделей с аналитическими решениями для описания реакционной диффузии в сферической и цилиндрической неоднородных оболочках. Там же продемонстрировано влияние напряжений на реакционную диффузию, следовательно, и на процесс формирования переходного слоя. В данной работе предложена модель, которая позволяет исследовать влияние условий синтеза композита на ширину формируемого переходного слоя между 1 Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013-2020 годы, направление III.23. Оценка напряжений и деформаций в процессе формирования переходного слоя 61 матрицей и включением и оценить возникающие при этом напряжения в динамике. Задача о росте новой фазы Постановка задачи Рассмотрим задачу в следующей постановке (рис. 1). Полагаем, что синтез композита осуществляется при заданных значениях температуры и давления. Включения имеют сферическую форму. Между материалами частицы и матрицы возможно образование переходной зоны (а) диффузионного типа или (б) в виде новой фазы (или последовательности новых фаз). Ширина этой переходной зоны зависит от условий синтеза и изменяется во времени. В случае (а) мы имеем диффузионную задачу вида [1]. В случае (б) мы должны учесть формирование новых химических соединений, опираясь, например, на диаграммы состояния. Примем для простоты, что между материалами может образоваться лишь одна новая фаза. Рост размеров фазы опишем на основе теории реакционной диффузии [4]. Рис. 1. Иллюстрация к постановке задачи Fig. 1. Illustration for the problem formulation Тогда задача о росте новой фазы между сферическими включениями и матрицей примет вид dCk = Dk d r 2 dC^ (1) ∂t r ∂r ∂r " где Ck - концентрация материала частицы в разных областях: в материале включения (o ≤ r < x1) - Ср, в материале матрицы (x1 ≤ r < x2) - Ст и в материале образовавшейся фазы (x2 ≤r 1; τ= r2 Df . R0 R0 R0 R0 R0 Полученные уравнения решаем численно методом Эйлера. На рис. 2 представлено распределение концентраций в начальный момент времени (а) и в процессе формирования новой фазы (b). Ck 1.0 0.6 0.4 0.2 ■R0 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I -I-----------'-----------і-----------'-----------1-----------'-----------1---------- 0.5 1.0 1.5 2.0 ξ Частица Матрица Ri Рис. 2. Распределение концентраций материала частицы и положение границ новой фазы в процессе роста переходного слоя для значений пределов растворимости С1 = 0.6 и С2 = 0.15 в моменты времени τ : а - 0, b - 0.05 Fig. 2. Distribution of the particles' concentration and the position of new phase boundaries during a transition layer growth for solubility limits of C1 = 0.6 and C2 = 0.15 at time instants τ: (a) 0 and (b) 0.05 Таким образом, ширина сформировавшегося переходного слоя h может быть рассчитана как разность между положениями границ в данный момент времени: h =ξ2 -ξ1. 64 М.А . Анисимова, А.Г. Князева Очевидно, что скорость движения границ зависит от значений пределов растворимости. Из рис. 3 видно, что изменение предела растворимости на границе с материалом частицы (рис. 3, а) более интенсивно влияет на скорость роста новой фазы, чем изменение предела на границе с материалом матрицы (рис. 3, b). Рис. 3. Движение границ новой фазы в процессе роста переходного слоя относительно начального положения при разных значениях пределов растворимости: а - С2 = 0.15; С1 = 1 -0.7; 2 - 0.6; 3 - 0.5; b - С1 = 0.7; С2 = 4 - 0.15; 5 - 0.3; 6 - 0.4 Fig. 3. The movement of the new phase boundaries during the transition layer growth relative to the initial position at various solubility limits: а) С2 = 0.15; С1 = (1) 0.7, (2) 0.6, and (3) 0.5; b) С1 = 0.7; С2 = (4) 0.15, (5) 0.3, and (6) 0.4 Задача об оценке напряжений и деформаций Для оценки напряжений и деформаций рассмотрим частицу как «упругий» шар с неоднородным распределением концентраций, симметричным относительно центра шара, так что Ck = Ck(r) (поскольку диффузия и рост новой фазы - процессы необратимые, то напряжения называем упругими, так как их приращения линейно связаны с изменением концентрации) [8]. Обобщенные соотношения между компонентами тензоров напряжений и деформаций и концентрацией имеют вид σij =2μεij +δij[λεkk -Kω], (11) Eν μ= E λ= - коэффициенты Ламе; E - модуль Юнга; ν где μ =-------, λ = 2 (1 + ν) (1 + ν)(1 -2ν) E коэффициент Пуассона; K = --n - объемный модуль; ω= 3∑ αk (Ck - Ck0 ) 3(1-2ν) k=1 - объемное изменение состава вследствие изменения концентраций; αk = 1-d^ I - коэффициент концентрационного расширения; δjj - символ 3Vl∂Ck J Кронекера (δij = 1, если i = j; δij = 0, если i ≠ j). Массовые силы отсутствуют, и условия симметрии позволяют считать, что σθr=σθφ=σφr=0 , Оценка напряжений и деформаций в процессе формирования переходного слоя 65 а остальные компоненты тензоров напряжений и деформаций являются функциями только радиальной координаты и времени как параметра. В этих условиях du u (12) εrr =~^ , εθθ = εφφ = ~ dr r С учетом соотношений (11) и (12) получим уравнения, связывающие напряжения и перемещения: E du + νE f du + 2 u J E ''r' 1 + ν dr (1 + ν)(1 - 2ν)v dr rJ 3 (1 - 2ν) ’ u νE (13) E u νE f du u E φφ 1 + ν r (1 + ν)(1 -2ν)v dr r J 3 (1 -2ν) В сферической системе координат уравнение равновесия имеет следующий вид: ∂σrr + 2σrr -σθθ -σφφ = 0 ∂rr Подставляем (13) и (14) в уравнение равновесия (15). Полагая, что свойства не зависят от координаты, придем к уравнению равновесия в перемещениях в сферической системе координат νE (14) (15) d ∣^_£ d (r^u) = dr r2 dr 11+νdω 31-ν dr (16) Последующее интегрирование дает 11+ν 1 r ()2 A B (17) u =---- ∫ω(r)r dr +- r W- , 31-νr2 x 3 r2 где A и B - константы интегрирования. Так как в предыдущем разделе было принято, что концентрация в частице и в матрице постоянная, то объемное изменение состава в этих областях равно нулю. В области переходного слоя концентрация задана функцией (9), в объемное изменение состава отлично от нуля и имеет вид [9] ωf=3(αp-αf)(Cf-Cf0). этом случае В безразмерных переменных u1 u1 . σ =σrr σ =σ =σee ; σrr = , σθθ =σφφ = R0 rr E1 E1 σ^^ задача E1 имеет следующее решение: - в частице: - Aw B1 u1 =1ξ+1, 1 3 ξ 2 11 σrr,1 = 31- 2ν1 A1 -2B1 1, -2ξ3 1+ν1, 1 σθθ,1 = σφφ,1 = -■ 31-2ν A1 +B31 +ν 1ξ3 1+ν1 66 М.А. Анисимова, А.Г. Князева - A1 B1 - A1 B1 εrr,1 = -2 ; εθθ,1 =εφφ,1 =+; rr,1 3 ξ3 ,1 ,1 3 ξ3 - в матрице: - A3 ≡ B3 u3 =3ξ+3, 3 3 ξ 2 σ 1 e3∣E1 a 2 b3 e3∣E1 σrr,3 =--A3 - --, 31-2ν3ξ3 1+ν3 - - 1 E3 E1- B3 E3 E1 σθθ,3 =σφφ,3 =----A3 ------, 31-2ν3ξ3 1+ν3 - A3 T B3 εrr,3 = -2 ; 3 B3; ξ3 ; “ “ A3 B3 εθθ,3 =εφφ,3 = +; ,3 ,3 3 ξ3 - в переходном слое: = 31+7 ⅛ Nf 'ξ>^^d ξ+3 σrr,2 =-∫ωf (ξ)ξ2dξ+1 A2 -2b3333 , , 3 1-V2 ξ3ξ1 31 -2ν^ ξ 1+ V2 σθθ,2 = σφφ,2 =------- ■ , 31-ν2Lξ ∫ωf (ξ)ξ2dξ-ω Lξξ1 (^\\ 1 E2IE1- B2 E2/E1 f (ξ) +--A2 -233, 3 1 -2v2 1 + ν2 - 1 + V2 ( εrr ,2 =------- 1-ν2 ~ ∫ωf (iYedi + 3ωf (ξ) + A2 ξξ1 J - 2 ξ, ξ3 - - 11 + ν2 A2 B2 εθθ,2 =εφφ,2 = 73 J ωf (.ξ)ξ dξ^^ + “^ . 31-ν2 ξξ1 3 ξ Так как границы раздела фаз - функции времени, а время в этой задаче - внешний параметр, то интегралы от концентраций легко берутся ξξ C .ξ.ξ2 ,ξ Γ(C2 -C1 )(ξ1ξ2 )(ξ2 -ξ12 ) (c2ξ2 -c1ξ1) (ξ3 -ξ13 )’ ∫ Cf (ξ)ξ dξ = ξ1 2(ξ2-ξ1) 3(ξ2-ξ1) Константы интегрирования определяются с помощью граничных условий: ξ = 0: u1 = 0; ξ = ξ1: u1=u2 и σrr,1 = σrr,2 ; ξ = ξ2; u2=u3 и σrr,2=σrr,3; ξ = R1 ; u3 = 0. Оценка напряжений и деформаций в процессе формирования переходного слоя 67 Подставив полученное решение в граничные условия, получим систему шести алгебраических уравнений относительно постоянных интегрирования: А1, B1, А2 , B2 , А3 , B3 . Окончательный результат не приводим в силу его громоздкости. Анализ результатов На рис. 4 представлено изменение напряжений в рассматриваемых областях относительно модуля упругости частицы. Из рисунка видно, что при увеличении ширины переходного слоя напряжения уменьшаются. Аналогичный результат наблюдается при расчете деформаций (рис. 5). При малой ширине образующейся фазы, деформации на границах раздела велики и они уменьшаются с ростом фазы. Это позволяет утверждать, что напряжения могут привести к локальным повреждениям на начальной стадии роста переходного слоя. Рис. 4. Отношение напряжений к модулю упругости частицы (сплошная) и положение границ (пунктиром) в моменты времени τ: 1 - 0.05, h = 0.53; 2 - 0.1, h = 0.76; 3 - 0.2, h = 1.18 Fig. 4. The ratio of the stress to the elastic modulus of the particle (solid lines) and the position of the boundaries (dotted line) at time instants τ: (1) 0.05, h = 0.53; (2) 0.1, h = 0.76; and (3) 0.2, h = 1.18 68 М.А . Анисимова, А.Г. Князева I o.o6 o.o4 o.o2 o.oo u/Ro o.o8 123 o 1 2 3 4 5ξ Рис. 5. Деформации (а, b) и отношение перемещений к начальному радиусу частицы (c) в моменты времени τ: 1 - o.o5, h = o.53; 2 - o.1, h = o.76; 3 - o.2, h = 1.18 Fig. 5. (a, b) Strains and (c) the ratio of displacements to the initial radius of the particle at time instants τ: (1) o.o5, h = o.53; (2) o.1, h = o.76; and (3) o.2, h = 1.18 Оценка напряжений и деформаций в процессе формирования переходного слоя 69 Заключение Таким образом, в работе предложена модель формирования поля напряжений в окрестности индивидуального включения, окруженного растущим слоем новой фазы. Показано, что максимальные значения напряжений наблюдаются в начальной стадии роста. Предложенная модель может быть использована в задачах с многоуровневым подходом при исследовании механических свойств композитов [10, 11], в том числе при описании процесса синтеза композита из порошковых смесей, когда реальный материал заменяется эффективным с выделением реакционной ячейки [12, 13]. В зависимости от исходного состава композита, переходный слой может содержать несколько фаз, последовательность формирования которых зависит от условий синтеза. Усовершенствование модели возможно за счет учета динамики изменения температуры и условий нагружения.

Скачать электронную версию публикации