Resolving differential equations of physically nonlinear theory of elasticity in terms of stresses for a plane strain.pdf Оценка напряжённого и деформированного состояния многих ответственных частей зданий и сооружений выполняется в предположении, что эти части находятся в условиях плоской деформации. Сюда можно отнести, в частности, расчёт оснований под здания и сооружения, расчёт протяжённых фундаментов, расчёт канализационных каналов, расчёт трубопроводов больших диаметров и так далее. В настоящее время выполнение расчётов в предположении упругой работы материала конструкции уже нельзя считать достаточно удовлетворительным. В расчётах необходимо учитывать их реальные механические свойства, в частности физическую нелинейность, внутреннее трение в материале, взаимное влияние объёмного и сдвигового деформирования, геометрическую нелинейность и так далее. Тем более, что теоретические основы расчёта конструкций с учётом их реального механического поведения в настоящее время разработаны уже достаточно подробно [1- 6]. Однако от теоретических изысканий до практического внедрения разработанных методик проходит, как правило, достаточно длительное время. Это обусловлено и необходимостью экспериментальных обоснований разработанных методик, и необходимостью разработки расчётных соотношений для решения тех или иных задач или классов задач, и необходимостью выполнения поверочных расчётов, а также сравнения и анализ результатов решения тестовых задач по известным и предлагаемым методикам. Целью данной работы является получение разрешающих дифференциальных уравнений физически-нелинейной теории упругости в напряжениях в случае плоской деформации для математической модели сплошной среды, в которой переменный коэффициент объёмного расширения (сжатия) является функцией только среднего напряжения, а переменный коэффициент сдвига - только функцией интенсивности касательных напряжений. Разрешающие дифференциальные уравнения физически-нелинейной теории упругости 73 В настоящее время вопросам расчёта деформируемых твёрдых тел с учётом физической нелинейности уделяется пристальное внимание. В работе [7] представлена методика решения физически нелинейной плоской задачи теории упругости в перемещениях и её приложение к расчёту балок, взаимодействующих со средой, имеющих нелинейную диаграмму деформирования. Работа [8] посвящена разработке методики расчёта физически нелинейных пластинчатых систем типа призматических оболочек, взаимодействующих с упругой средой. В качестве примера рассмотрена П-образная система, контактирующая с упругой средой и представлена оценка влияния упругой среды и физической нелинейности на напряжённо-деформированное состояние пластинчатой системы. В статье [9] проанализированы вопросы целесообразности расчёта железобетонных конструкций по деформационной модели с учётом физической и геометрической нелинейности как конструктивных железобетонных систем в целом, так и их отдельных элементов. Работа [10] посвящена разработке разрешающих уравнений, описывающих напряжённо-деформированное состояние тонкостенных оболочечных конструкций, имеющих изломы поверхности, с учётом физически нелинейного деформирования. На базе использования обобщённых функций, содержащих разрывные функции Дирака и Хевисайда, предложен аналитический метод их решения. В статье [11], на основе решения плоской задачи физически нелинейной теории упругости, разработан метод расчёта нормальных нагрузок на крепь капитальных выработок и обделки тоннеля, проложенного в массиве, деформационные свойства которого описываются моделью физически нелинейного тела. В работе [12] рассматривается постановка физически нелинейно-пластической задачи о распределении напряжений вокруг выработки кругового очертания, сооружаемой в физически нелинейном массиве с начальным гидростатическим полем напряжений. Для исследования напряжённо-деформированного состояния использованы уравнения деформационной теории пластичности с условиями Кулона и А. Н. Ставрогина. Показано, что учёт нелинейности приводит к снижению размера области предельного состояния вокруг выработки. В работе [13] предлагается метод решения плоских задач физически нелинейной теории упругости, основанный на применении методов комплексного анализа, начатого в работах Колосова, Мусхе-лишвили, Векуа и их учеников. Работа [14] посвящена построению решения плоской статической задачи нелинейной теории упругости через комплексные потенциалы, обобщающие известные формулы Колосова. Решение строится для материалов с линейной зависимостью между деформациями Альманси и напряжениями Коши. В работе [15] рассматривается основанный на применении средств комплексного анализа в сочетании со стандартными численными методами оптимизации аналитико-численный метод решения трёхмерных краевых задач нелинейной теории упругости Мурнагана, позволяющий учитывать поведение материала при больших деформациях. Работа [16] посвящена общим подходам к решению пространственных физически нелинейных задач теории упругости, основанным на использовании аналитических функций - кватернионов. При квадратичном законе деформирования получены решения в напряжениях и смещениях. Авторы [17] рассматривают обобщённую плоскую задачу нелинейной теории упругости для полуплоскости, нагруженной на границе внешней сосредоточенной силой (нелинейная задача Фламана). Аналитические решения получены для двух моделей несжимаемого материала: неогуковского и Бартенева - Хазановича и одной модели сжимаемого полулинейного (гармонического) материала. В статье [18] 74 С.В. Бакушев описывается нелинейное поведение бетона как гиперупругого ортотропного материала на базе экспериментальных диаграмм деформирования при одноосном растяжении и сжатии: осевое напряжение - осевая деформация, осевое напряжение -поперечная деформация. В работе [19] рассматриваются вопросы проницаемости пород, составляющих резервуары хранения сланцевого газа. Показана исключительная чувствительность проницаемости породы от характера изменения её напряжённого состояния. Расчёты показали, что учёт нелинейной упругости материала породы наиболее точно описывает её сланцевую проницаемость, пористость, поровое давление и распределение эффективного напряжения. В работе [2o] рассмотрена проблема учёта физической нелинейности при расчёте конструкций и их элементов из анизотропных материалов. Методика расчёта конструкций и их элементов основана на деформационной теории пластичности с использованием модифицированного метода Ньютона - Рафсона. Работа [21] посвящена разработке методики расчёта предварительно напряжённых железобетонных ферм с учётом физической и геометрической нелинейности. В основу методики положены алгоритмы нелинейного расчёта, реализованные и апробированные в вычислительном комплексе ПРИНС на базе метода конечных элементов шаговоитерационным методом. В статье [22] предложена конечно-элементная итерационная процедура для анализа напряжённо-деформированного состояния стальных плоских рам с учётом упругопластической работы материала и влияния продольных сил в стержнях на деформации изгиба. На каждой итерации решается линейная задача с использованием для конечных элементов секущих матриц жёсткости и матриц устойчивости. Статья [23] посвящена компьютерному моделированию деформированного состояния физически нелинейных трансверсально-изотропных тел с отверстием. Анизотропия механических свойств материалов описывается структурно-феноменологической моделью, согласно которой исходный материал представляется в виде комплекса из двух совместно работающих изотропных материалов: основного (связующего), рассматриваемого с позиций механики сплошной среды, и материала волокон, ориентированных вдоль направления анизотропии исходного материала. Для решения задачи теории пластичности применяется упрощённая теория малых упругопластических деформаций для трансверсально-изотропного тела, развитая Б.Е. Победрей. Работа [24] посвящена решению краевых задач обобщённой плоской деформации для упругого неогуковского тела, находящегося в поле объёмных сил. Общее решение, с использованием номинального тензора напряжений и функции напряжений, записывается через две голоморфные функции, а основные краевые задачи нелинейной теории упругости приводятся к задаче Римана - Гильберта для голоморфного вектора. Окончательное решение записывается в квадратурах с помощью интеграла Шварца. В работе [25] с использованием аналитических и численных методов рассмотрены фундаментальные вопросы математической корректности и численного решения краевых задач нелинейной теории упругости как в стационарной, так и в эволюционной постановках. Авторами [26] на основе комплексного подхода, позволившего получить более компактные и обозримые зависимости, была предложена предельно простая (без потери общности) версия общей нелинейной теории упругости. Предложенная теория позволяет получать точные решения двумерных краевых задач (плоская задача, антиплоская деформация, осесимметричная деформация тел вращения). В статье [27] представлен метод расчёта на динамическую устойчивость пластинчатых систем из физически нелинейных материалов, а также Разрешающие дифференциальные уравнения физически-нелинейной теории упругости 75 получена система нелинейных дифференциальных уравнений для исследования динамической устойчивости таких систем. В качестве примера выполнен расчёт на устойчивость П-образной оболочки. В работе [28] выполнен асимптотический анализ соотношений теории деформации сплошной среды с целью выявить возможности их упрощения. Критерий упрощения включает как масштаб изменения напряжённо-деформированного состояния, так и величину относительных удлинений и сдвигов. Это позволило конкретизировать и развить известный подход В. В. Новожилова к упрощению нелинейных соотношений механики сплошных сред, установить асимптотическую погрешность их приближенных вариантов. Разрешающие дифференциальные уравнения в напряжениях физически-нелинейной теории упругости в общем случае трёхмерного деформирования при произвольных перекрёстных зависимостях между первыми инвариантами тензоров σ, ε и вторыми инвариантами девиаторов T, Г напряжений и деформаций получены в работе [29]. Для случая плоской задачи, в частности обобщённого плоского напряжённого состояния, разрешающие дифференциальные уравнения в напряжениях физически-нелинейной теории упругости при произвольных перекрёстных зависимостях между первыми инвариантами тензоров σ, ε и вторыми инвариантами девиаторов T, Г напряжений и деформаций получены в работе [30]. Для случая плоской деформации разрешающие дифференциальные уравнения в напряжениях физически-нелинейной теории упругости представлены в работе [31]. Вывод расчётных уравнений. Рассмотрим сплошную среду, находящуюся в условиях плоской деформации, механическое поведение которой описывается математической моделью, в которой переменный коэффициент объёмного расширения (сжатия) является функцией только среднего напряжения, а переменный коэффициент сдвига - только функцией интенсивности касательных напряжений, то есть K=K(σ); G=G(T). (1) В формуле (1), в частности, обозначено: σ=σx+σy+σz; ε=εx+εy; (2) T =J= √6 7-π 1 ∣~2 2 3 2~ εx-ε xε y +εy+ 2 γ xy. Физические соотношения при этом запишем в следующей форме: εx = aσx+ bσy; εy = aσy+ bσx; γxy = Gτxy, причём σz =c(σx +σy). (3) Здесь = 3K - 2G = 2 (3K + G) = 3K + 4G . b = 2G - 3K . a = 4G (3K + G); = 4G (3K + G); Ввиду этого коэффициенты a=a(σ,T); b=b(σ,T); c=c(σ,T). (4) (5) 76 С.В. Бакушев С учётом формул (3), соотношения (2) получают вид σ=(1+c)(σx+σy); ε=εx +εy; t =~13^(c2 - c +1) (σ2 + σ2 ) + (2c( - 2c -1) σxσy + 3t2X ; (6) J-' 2 l~2 ~2 3 ~ Г = εx -εxεy +εy + 2γxy. Подставляя физические соотношения (3) в уравнение неразрывности деформаций ∂ 2ε x +∂^ = ∂^ ∂y2 ∂x2 ∂x∂y (6) (7) и учитывая уравнения равновесия при постоянных объёмных силах: ∂σx ∂τyx ∂τxy ∂σy -+ Fx = 0; + -y + Fx = 0, ∂x∂yx∂x∂yy (Fx = const, Fy=const), получим уравнение неразрывности деформаций для физически нелинейной теории упругости для случая плоской деформации, записанное в напряжениях: 2 I 1 ∂G ∂b'∂σx I 1 ∂G ∂b'∂σy ∂a∂σx∂a∂σy V2 (σx +σy ) = ^ ---2- I-- + I ---2- I--2--x-2--yx y VG2∂x ∂xJ∂x VG2∂y ∂yJ∂y ∂y∂y ∂x∂x (8) -(δ^ ∂2⅜I -(,∂^ ∂^bI ( ∂^G -∂GδG' VI∂y2∂x2IJxIV∂x2∂y2JIyG2IV∂x∂y G ∂x ∂y JI xy. V2 =∂2+∂2- Здесь V = -- +--- - гармонический оператор. ∂x2∂y2 ∂a∂σ+∂a∂T В правой части уравнения (8) производные определяются соотношениями: ∂a ∂y ∂σ∂y ∂T∂y ∂b ∂a=∂a∂σ+∂a∂T; ∂x ∂σ∂x ∂T∂x ∂b=∂b∂σ+∂b∂T; ∂x ∂σ∂x ∂T∂x ∂b∂σ+∂b∂T ∂y ∂σ∂y ∂T∂y ∂2a(∂T'2 ∂2a∂σ∂T∂a∂2σ∂a∂2T + +-TI - I + 2-------T ' ^, ∂T2V∂xJ ∂σ∂T ∂x ∂x ∂σ ∂x2 ∂T ∂x2 ∂2a(∂T'2∂2a∂σ∂T∂a∂2σ∂a∂2T (9) ∂T2V∂yJ ∂σ∂T ∂y ∂y ∂σ ∂y2 ∂T ∂y2 ∂2b(∂T'2∂2b∂σ∂T∂b∂2σ∂b∂2T +-TI - I + 2----1---+---; ∂T2V∂xJ ∂σ∂T ∂x ∂x ∂σ ∂x2 ∂T ∂x2 ∂ ^b _c2^ (∙∂σ∣2 +∂2L (∂TV +1 ∂ ^b δσδT ^Sb_ + ∂y2 ∂σ2 1 ∂y 1 ∂T V ∂y J ∂σ∂T ∂y ∂y ∂σ ∂y∂T ∂y Разрешающие дифференциальные уравнения физически-нелинейной теории упругости 77 При этом, как это следует из зависимостей (4) ∂a = - 9G ∂K . = 3 (6K - G) ∂K . = 3 (6K - G) ∂K . ∂σ 4G (3K + G)2 ∂^ ∂σ 4G (3K + G)2 ∂^ ∂σ 2 (G + 3K)2 ∂σ ’ ∂a = 4G(3K + G)-(3K + 4G)(3K + 2G) ∂G. ∂T 4G2 (3K + G)2 G’ 4G2 (3K+G)2 GT 2G(3K+G)-(2G-3K)(2G+3K) GG. 4G2 (3K+G)2 GT. ∂c 18K ∂G . GT (2G + 6K)2 GT ’ 9G ∂2 K 27G f∂K ∖ 2 2 + 3 I I 4G(3K+G)2Gσ22G(3K+G)3VGσ J 9G G2 K 27 G f∂K ∖ 2 2 + 3 I I 4G(3K+G)2Gσ22G(3K+G)3VGσ J 3 (6K - G) ∂2K 27G f∂K J2. 2(3K + G)2 Gσ2 (3K + G)3 l∂σJ . 4G(3K+G)(4G+3K)(2G+3K)G2G 4G2 (3K+G)2 GT2 -2G )-(3K + 4G )[g 2 + G (3K + G ) + (3K + 2G3 (3K+G)3 2G(3K+G)+(3K-2G)(3K+2G)G2G 4G2 (3K+G)2GT2 h2G ) + (3K - 2G )[g 2 + G (3K + G ) + (3K + 2G3 (3K+G)3 = 9K G2G + 2 (6K - G)∣∂G Y 2 2 2(3K + G)2 ∂T 2 (3K + G)3 V ∂T ∂b ∂T ∂2 a ∂σ2 ∂2b ∂σ2 ∂ 2c ∂σ2 (10) ∂ 2 a ∂T 2 4G(3K+G)(3K + ∂ 2b ∂T 2 2G(3K + G)(3K ∂ 2c ∂T 2 причём GG=GGGT. GxGTGx GG = GG GT . G2G _G2GGL^ GG ∂2T Gy GT Gy ’ GxGy GT2 Gx Gy GT GxGy (11) В формулах (9), (10) и (11) в соответствии с зависимостями (2) f ∂σ x dσ y y VxGxyGxJ 6 dτχy ^ χy Gx 78 С.В. Бакушев г∣σ d∑X- + σ β(α-γδ)^ ∂T = dx β-^^- α α +6τ x^-^^ + І1+^ P Xy ∂y α l∖∂y В формулах (12) введены обозначения: + 6τ ^Tχy +

Скачать электронную версию публикации