Kinematics of a power-law fluid flow in a pipe with a varying cross section.pdf Течение жидкости в осесимметричных трубах переменного радиуса является предметом исследования многих численных и экспериментальных работ [1 - 15]. Актуальность изучения характеристик течения неньютоновских сред в каналах с участком сужения/расширения обусловлена их широким распространением как в природе, так и в технических приложениях. Ряд работ по исследованию подобных течений выполнен в области биомеханики, где данная геометрия используется при моделировании различных сосудистых патологий в кровеносных системах. Развитие некоторых болезней сосудов связано с параметрами течения крови, что обуславливает интерес к исследованию характера и структуры течения крови в организме. Кроме того, трубы переменного сечения встречаются в промышленности в качестве комплектующих элементов бурильной техники, теплообменников и реакторов. Множество численных и экспериментальных исследований выполнено для ламинарных и турбулентных режимов течения в каналах c различной формой твердых стенок, образующих сужение, с использованием ньютоновской модели жидкости. Работа [1] является одной из первых по исследованию течения жидкости в канале переменного сечения. Авторами рассматривалось течение ньютоновской жидкости в трубе, в которой форма сужения задавалась Гауссовой функцией. Расчёты проводились для числа Рейнольдса в диапазоне от 0 до 25. При этом не удалось получить результаты для более высоких значений числа Рейнольдса по причине численной неустойчивости используемого алгоритма. В работе [2] содержатся экспериментальные данные о течении в трубе с локальным сужени-ем/расширением. Особое внимание уделяется исследованию характеристик течения в зависимости от геометрических параметров канала, а также от числа Рейнольдса. Кроме того, определяется критическое значение числа Рейнольдса, при 1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 18-19-00021). 126 И.А. Рыльцев, К.Е. Рыльцева, Г.Р. Шрагер котором происходит переход от ламинарного режима течения к турбулентному для заданных геометрических параметров сужения. Серия работ [3 - 5] посвящена исследованию течений ньютоновской среды в трубках, геометрия которых включает несколько участков сужения. Авторами исследуется влияние количества сужений и их положения относительно друг друга на кинематические и динамические характеристики потока. Анализ результатов численного моделирования гемодинамического потока в артериях, включающих стеноз, для различных режимов течения крови приводится в работе [6], целью которой является изучение параметров течения от формы стеноза. В отдельное направление изучения влияния формы стенозов можно выделить исследования течений жидкости в каналах с асимметричными сужениями. Например, в [7] представлено численное исследование течения ньютоновской жидкости через асимметричное сужение и показано его влияние на характеристики потока. Ползущие течения, реализуемые при малых числах Рейнольдса, хорошо описывают поведение различного рода смазок в технических установках, которые характеризуются наличием каналов с участками сужения/расширения [8]. В работе [9] исследуется течение в трубе, конструкция которой предполагает наличие жестких перегородок, моделирующих сужения. Особенность этой работы заключается в использовании трех различных реологических моделей жидкой среды. Пульсирующие течения ньютоновской и неньютоновской жидкостей в осесимметричных трубах с участком сужения/расширения рассматриваются в работах [10, 11]. В [11] приводятся результаты численного исследования течения жидкости, реологические свойства которой описываются моделью Балкли - Гершеля. Использование данной модели позволяет рассмотреть следующие частные случаи: модели Ньютона, Шведова - Бингама и Оствальда - де Ваале. Течения данных реологических сред реализуются в трубах, площадь перекрытия которых составляет 25 и 75 % как в стационарном, так и в пульсирующем режиме. Случай с пульсирующим течением в канале с двумя смежными сужениями рассматривается в [12].Особенности физиологического пульсирующего течения крови в артериях со стенозом, выявленные в ходе численного моделирования, отражены в [13]. Исследование динамических и кинематических характеристик течения неньютоновской жидкости при наличии неровности поверхности приведено в работе [14]. Показано, что падение давления в артерии со стенозом практически не зависит от неровностей на поверхности артерии при малых числах Рейнольдса. В случае больших чисел Рейнольдса влияние поверхности артерии становится существенным. Целью данной работы является исследование кинематических характеристик течения степенной жидкости в цилиндрической трубе с участком сужения/расши-рения в зависимости от числа Рейнольдса, степени нелинейности и геометрических параметров области течения. Постановка задачи Рассматривается установившееся ламинарное течение несжимаемой степенной жидкости в осесимметричном канале с локальным сужением/расширением заданной формы. Геометрия канала схематично представлена на рис. 1. Математическая постановка задачи формулируется в переменных функция тока - вихрь, которая в безразмерном виде в цилиндрической системе координат записывается в виде [16] (2) +ω∂B, r∂r )(vω) B ω ∂r Re V r 2 2 ∂ψ У ψ---= -rω, r∂r =∂∂L ∂∂L 1А ∂z ∂r r ∂r ’ г, ,, ∂~2B f ∂v ∂B ∂ω ,^∂B ∂ω Ґ∂B ∂B S = 2---1- --+ 2--+ I------ ∂z∂r V ∂r ∂z∂z ∂r∂r V∂z2∂r2 где безразмерные компоненты скорости и вихрь определяются выражениями 1 ∂ψ 1 ∂ψ ∂v ∂u r∂r r∂z ∂z∂r Система уравнений (1), (2) замыкается реологическим уравнением Освальда -де Ваале [17], согласно которому выражение для безразмерной эффективной вязкости имеет вид B= Am-1. Здесь u, v - аксиальная и радиальная компоненты скорости соответственно, ρU2-mr0m Re =--число Рейнольдса, ρ - плотность, U - среднерасходная скорость, k A = (2eijeji )1 /2 , eij - компоненты тензора скоростей деформаций, k - консистенция жидкой среды, m - степень нелинейности жидкости. В качестве масштабов обезразмеривания приняты следующие величины: длины - радиус трубы r0; скорости - среднерасходная скорость U. В рассматриваемой задаче степенная жидкость подается в канал через входное сечение Г1 с постоянным расходом, профиль скорости при этом соответствует установившемуся течению в трубе. На границе Г2 выполняются условия прилипания, на оси симметрии Г4 задаются условия симметрии, на выходной границе Г3 используются мягкие граничные условия. Таким образом, граничные условия в переменных функция тока - вихрь имеют вид [16] 128 И.А. Рыльцев, К.Е. Рыльцева, Г.Р. Шрагер r Gu (Γ1): ψ = ∫ urdr , ω = --, 0 Gr (Г): gψ o ω 1 g2ψ (Г2): ^ = 0, ω =~:'2, Gn r Gn2 (Г3): =0, =0, 3 Gz Gz (Г4): ψ =0, ω = 0, где n - нормаль к границе Г2, u = [(3m +1)/ (m +1)](1- r1/m+1). Граница Г2 описывается функцией f (z) = < 1 -^L (1 -cosп(J, z∈[Li;l2], ,1, z ∈ [0.Li) ∪ (,L^∙,L]. Величины L1 и L2 задаются из условия достаточного удаления криволинейного участка от границ Г1 и Г3 с целью исключения его влияния на характер течения в окрестности входной и выходной границ. Таким образом, решение задачи определяется числом Рейнольдса (Re), степенью нелинейности жидкости (m) и геометрическими параметрами (α, Z0). Метод решения Численное решение задачи осуществляется конечно-разностным методом с использованием метода установления, в результате применения которого стационарная задача преобразуется в нестационарную и процесс сводится к пошаговому приближению решения нестационарной задачи к решению исходной стационарной задачи [18]. При этом в уравнения (1), (2) добавляются производные по времени искомых функций ψ, ω, расчет по времени продолжается до обнуления введенных производных. Физическая область течения с криволинейной границей f(z) преобразуется в прямоугольную введением новых координат ξ =z, η =r/f(z). r 1 3 2 z I L> nA N2 (ψ, ω) j+1 i-1 i+1 h{ (i, j) h j-1 Рис. 2. Преобразование геометрии области течения Fig. 2. Transformation of the flow region geometry Кинематика течения степенной жидкости в трубе переменного сечения 129 В координатах ξ, η уравнения (1), (2) с добавленными производными по времени перепишутся в виде ∂ω +∂(uω)-g ∂(uω) + 1 ∂(vω) = ∂t ∂ξ g ∂η f ∂η B ґ ∂ω -,- ∂^ , ∂ω ∂2ω 1 ∂ω ω S' (3) = -I -^ + H--2g---+ G-- ------ 1+-; Re ∂ξ2 ∂η ∂ξ∂η ∂η2 f2η ∂η f2η2 J Re (4) где где ε - заданный итерационный параметр, t - номер шага по фиктивному времени. Значение параметра ε принималось равным 10-5. S=S1+S2+S3+S4, I £ ∂ ^2 B - _g_ ∂B - g_ ∂2bSΓ 1 ∂v-∂ι ∂gS lf dξdη ∙∕η dη f ∂η2 Jlf dη d^gdηJ, S = 2 ґ ∂B ∂B SΓ∂ω ∂ω S 2 1 ∂B ∂ω l∂ξ g ∂η+ i ∂ξ g ∂η+ f2 ∂η ∂η ’ 3 =lδξ^ + δη-g∂ξ∂η+|g -+δη^Jt?∂η+∂ξ-g∂η+, s = ω ∂B s4 = . В области решения строится равномерная в каждом направлении квадратная разностная сетка Ωh = {ξi = ih, η^ = jh, i = 0,...,N1, j = 0,...,N2}, где h - шаг сетки. Разностные аналоги уравнений (3), (4), записываются с использованием явной разностной схемы, производные по пространственным координатам аппроксимируются со вторым порядком точности. Для аппроксимации конвективных слагаемых в уравнении переноса вихря используется схема против потока. В качестве критерия сходимости итерационного процесса используются условия ωit,j 1-i+, j t+1 ωti,j1 1-ψit, j ψti,+j1 S1 =2 max i, j max i, j

Скачать электронную версию публикации