On one approach to the assessing of the adhesive layer strength in a layered composite.pdf Слоистые композиционные материалы имеют важное значение в машиностроении, авиационной и ракетной технике. Поэтому для механики деформируемого твердого тела актуально построение моделей плоских слоистых материалов, в которых рассматриваются тела, объединенные в композит адгезионным слоем (АС) [1-4]. В слоистых композитах толщина адгезионного слоя (АС) является естественным линейным параметром (ЛП). В зависимости от толщины адгезионного слоя (ядра), относительной жесткости между ядром и сопрягаемыми телами, граничных условий применяют те или иные модели. Постановка и решение задач, учитывающих изгибную жесткость ядра слоистого композита, предложена в работах [5-7]. Так, в работах [5, 6] деформация обжатия ядра полагается постоянной по толщине, а в работе [7] - линейной. В настоящее время основным подходом в этом направлении является моделирование АС слоем нулевой толщины и использование критериальной базы механики квазихрупкого разрушения [8-12]. В этом случае, как правило, пренебрегают толщиной адгезива, а его механические свойства сводятся к силам взаимодействия склеенных материалов, которые могут иметь разные механические [13] или прочностные свойства [14, 15]. Однако, в этом случае теряется различие между когезионным разрушением АС (по его массиву) и адгезионным механизмом отслоения. Особая роль в этих моделях отводится определению адгезионных сил взаимодействия [16]. Кроме того, если сопрягаемые материалы контактируют не 1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и правительства Тульской области в рамках научного проекта № 19-41-710001 р_а, и при финансовой поддержке РФФИ проект № 1831-20053. 64 В.Э. Богачева, В.В. Глаголев, Л.В. Глаголев, О.В. Инченко, А.А. Маркин по всей длине, в модели будет присутствовать сингулярность. Аналитические решения для тел конечных размеров в этом случае получаются, как правило, в рамках упрощающих гипотез [17-21]. В работе [22] для консоли с центральной трещиной на основе гипотез теории пластин получено аналитическое решение задачи и на его основе в [23] исследовано значение J-интеграла. Для случая, когда учитывается размер АС при незначительной его изгибной жесткости, отметим модели с введением «мягкого слоя» [1, 24, 25] и слоя взаимодействия [26-28]. В данных моделях размер АС существенно меньше сопрягаемых им тел, кроме того, отметим, что он не является постоянной величиной в готовой продукции. В этом случае речь может идти об определенном допуске или диапазоне значений, в рамки которого укладывается толщина АС в образцах. Для нахождения напряженно-деформированного состояния (НДС) и связанного с ним критического состояния в рамках известных локальных критериев необходимо знать значение толщины АС, что проблематично. Поэтому представляется рациональным использовать критерий разрушения, независимый от толщины АС в определенном диапазоне ее изменения. В работе [29] было введено понятие энергетического произведения (ЭП) для материального слоя в виде произведения приращения удельной свободной энергии и толщины слоя. В данной работе, для случая сдвигового воздействия на АС, рассматривается зависимость ЭП от толщины слоя в зоне обрыва связей АС с сопрягаемыми телами при упругом деформировании. Показано, что, рассматривая ЭП в качестве критерия разрушения, можно проводить расчеты на прочность тонкого по сравнению с толщинами сопрягаемых тел АС, используя в качестве его толщины фиксированное значение из некоторого диапазона. Постановка задачи Рассматривается композитная пластина, состоящая из двух консолей 1 и 2 длиной / + a , в общем случае с разными толщинами h1 и h2, сопряженными адгезионным слоем 3 толщиной δ0 по длине согласно рис. 1. Один торец пластины жестко заделан от перемещений. На противоположных торцах консолей действует горизонтальная распределенная нагрузка постоянной интенсивности с противоположными векторами напряжений P. Вся остальная поверхность пластины свободна от напряжений. P P D C Рис. 1. Схема нагружения композитной пластины Fig. 1. Schematic diagram of a composite plate loading Об одном подходе к оценке прочности адгезионного слоя в слоистом композите 65 Для описания взаимодействия слоя 3 с телами 1 и 2 применим концепцию «слоя взаимодействия», развитую в работах [26-29]. В этом случае равновесие тел 1 и 2, согласно [26, 29], запишем в вариационной форме для тела 1: ∫σ∙∙δεds+∫σ22δu2+dx1 +∫σ12δu1+dx1 + S1 l l „ ,δ Ґ fσ ∂δu+ j∙σ ∂δu. (1) +°.5δ0∣ lσ1^^^^ dx1 + lσ12^ ∙^ι ∂X1 ∂X1 и тела 2: ∫ σ∙∙δεds-∫σ22δu2-dx1 -∫σ12δu1-dx1 + S2 l l + 0.5501∫σ11 dδ^1 dX1 + ∫σj2 ^dδ^^ dX1 ^ = ∫ P2 • δudl, (2) 11 dx1 l dx1 J L2 где L1, L2 - контуры приложения внешней нагрузки в телах 1 и 2; ∙ - скалярное умножение; ∙∙ - двойное скалярное умножение; S1 , S2 - площади поперечных сечений тел 1 и 2; σ, ε - тензоры напряжений и деформаций; σ, її - тензоры средних напряжений и деформаций слоя с соответствующими компонентами: σ 21 (X1 A = σ12 (X1 A=δ^ ∫ σ21 φx1, x2 }dx2, 50 -0.550 0.5δ0 _ 1 0.550 _ 1 0.550 σH (x1 )=-- ∫ σn (x1, x2 }dx2, σ11 (x1 )=-- ∫ σ11 (x1, x2 }dx2 , 50 -0.550 50 -0.550 ε22 (X1 ) = ґ u+(x1>-u-(x1>'|, E1 (,) = 0.5 ґ du⅛i)+dMXi)) 50 J dx1 dx1 J ¾1 (X1) = S12 (X1) = 0.5fu1 (x1)-u- (x1 > + +du⅛j)~I~I, (4) 50 dx1 dx1 J J где uk+ ,uk- - соответственно компоненты векторов перемещений верхней ней границ слоя; k = 1,2 здесь и далее. Постулируется жесткое сцепление между границами области 3 и областями 1, 2, а также равенство модулей и противоположность направлений векторов напряжений по границам слоя: u+ = u(χ1,^012}; σ2ie, =-σ2i (χ1,50∕2)ei; u-= u(χ1,-50l2}; σ-ιei =-σ2ι (χ1,5√2)ei; χ1 ∈[0;^]. где σ2+i, σ2-i - граничные напряжения слоя; ei,i = 1,2, - орты осей координат. Уравнения (1) и (2) замкнем определяющими соотношениями: σ = -E^fε +^Vk σij 1 + l ^ij + 1+νk l dx1 (3) ниж- (5) где Ek, νk - модуль упругости и ε=ε11 +ε22 +ε33 объемное расширение; δij '■'■5 I, 1 -2νk 'i) коэффициент Пуассона k-го тела; - символ Кронекера; i,j=1,2,3. (6) 66 В.Э. Богачева, В.В. Глаголев, Л.В. Глаголев, О.В. Инченко, А.А. Маркин Для материала слоя взаимодействия 3 определяющие соотношения считаем справедливыми для средних компонент тензоров напряжений и деформаций: = J+eV3 [¾ + iΞ⅛⅛ εδ∙ ]. (7) Таким образом, решение системы (1) - (7) сводится к определению поля перемещений u( x1,x2) в телах 1 и 2 (см. рис. 1) при заданных граничных условиях: на участках AB, CD, AB', C'D': Q22 =σ12 = 0; (8) на участке на участке AA : σ1j = P; Q12 = 0; CC : σ11 = -P; σ12 = 0; (9) (10) BD : u1 = u2 = 0. (11) на участке Постановка задачи (1) - (11) не содержит угловых точек в зоне обрыва связей консолей с АС в силу рассмотрения средних по толщине слоя характеристик НДС, и задача может быть решена при ограниченных значениях напряжений. Постановка задачи с ограничениями Для упрощения задачи и получения аналитического решения принимаем, что поле перемещений в телах 1 и 2, с учетом условия (5), определено следующим образом: (12) u1 (x1, x2 )= u1 (x1 )-Φ2 (x1 )(x2 +δ0І2), u^ (x1 ) = u2 (х1 ) . (13) Входящие в представления (12) и (13) параметры ψk имеют геометрический смысл малых углов поворота материальных нормалей к плоскостям x2 =±δ0∕2 в телах 1 и 2. Согласно распределению (12), (13), отличные от нуля деформации в теле 1 будут определяться в виде ε1? = )-φj(χ1 )(χ2-δ0∣2), ε12 =ε2'1^= 0.5 (x- ) (χ )1 (14) dx1 а в теле 2 - ε(2) = dUd{^χ^ )-φ2 (χ1 )(χ2 +δ0∣2), εA =εA} = 0.5 Ґ du2χ^ )-φ2 (j^ )| . (15) dx1 1 dx1 J Выражения (14), (15), как и теория Тимошенко [20], учитывают сдвиговые деформации и повороты нормалей в телах 1 и 2. Условие (11), с учетом (12), (13), приводит к следующим ограничениям на компоненты векторов перемещений границ слоя и функций φ1 и φ2 : uk(x- ⅛Х1=I = θ, φk (х1 X1 =I = °. Из (1) и (2), с учетом представлений полей деформаций (14), (15), приходим к системе дифференциальных уравнений для двух тел на участке x1 ∈ [-a;0), где их взаимодействие отсутствует: dx1 (16) Об одном подходе к оценке прочности адгезионного слоя в слоистом композите 67 ' dMj,;1 dx1 dM(21 dx1 dQχl=0; dx1 -q'2>-0; dQ1L dx1 Взаимодействие тел, связанных слоем на уравнениями - qO’ = 0; ^q1E+o.5δo dσ11 = σ dx1 dx1 dx1 - qX = 0; ddQ^ + 0.5δ0 dσ11 = -σ. dx1 dx1 dx1 -Q1(21) = 0; =0; dQ(L=0; dx1 dQS)=0. dx1 участке X1 ∈(0;/], описывается (17) d^Q\\'2 I 0 5δ dσ21 = σ • +0.5δ0=σ22; dx1 dx1 .; dQxL + o.5δθ dx1 dx1 Условия сопряжения уравнений (17), (18) при x1 = 0 принимают вид 21 (18) Uk, Φklx1=-o = Uk, φklx1=+o; Q1,k1∣ x=-0 = Q1d+0.5δ0 σ1klx1=+o; m11' x,=-0 = "lk ’I X, .+0-. Q1,k^∣ x=-0 = Q(d+0.5δ0 σ1klx1=+o, где Q1k (x1 ’ = ∫δ^∕ζ2^^ σ1kdx2 , q12^ (x1 ’ = ∫- 2 σ1k^dx2 Mn’ (x1 ’ = σ∏ (x2 -δ0∣22^dx2 , m' 2 (x1 ’ = ∫- ∣2 обобщенные моменты. Исходя из определяющих соотношений (6), (7), выражений деформаций (14), (15), а также представления обобщенных сил и моментов, условия равновесия (17), (18) сводятся к замкнутым системам дифференциальных уравнений относительно шести неизвестных функций: U±, φk с условиями сопряжения (19). (19) - обобщенные силы; Построение частных решений Рассмотрим решение поставленной задачи в случае плоской деформации для консолей с одинаковыми механическими свойствами E1= E2, ν1=ν2 и высотами h1= h2. В этом случае на неизвестные функции наложим связи U1+=-U1-, Ф1 = -ψ2, U+ = U-. Для решения задачи достаточно рассмотреть только систему уравнений (17), (18) для тела 1 на участке x1 ∈ [-a;0): dMff- qo>=„■ dQ(11=„■ dQff= 0 dx112 dx1 dx1 и на участке x1 ∈ (0;/]: dMXX^-Q1,21=O; ddQx^+O.5δod∣u =σ21; +0,5δo,d∣2L = σ,, dx1 dx1 dx1 dx1 dx1 dx1 (20) (21) 68 В.Э. Богачева, В.В. Глаголев, Л.В. Глаголев, О.В. Инченко, А.А. Маркин при следующих выражениях обобщенных сил и обобщенного момента: ) χχ1)=∫v∕^ σ"dχ2=Dh u1- 2 φ1}; (22) (23) "!')(χ') I σ11 (x2 -δ^2)dχ2 = Dh^ (24) E1 x1-ν1) E1 где D =--------; L = . (1 + V1 )(1-2ν') 2(1 + V1) Принимая закон распределения перемещений границ слоя из (12), (13), получим выражения средних напряжений в виде σ12 σ" =0; (25) σ22 =0; (26) Ґ 2u,+ +'^ = L1∣ττ^ + u+ I, (27) 0 где L =η:-^-) . 1 2x1+ν3) Рассмотрим правую часть уравнения (1). Работа внешних напряжений с учетом (8), (9) и (12) равна δ0 2 ++ ∫ p1 ∙δudl = - ∫ (P^u1+(χ1 )-P1 Xχ1 )(χ2 -δ0∕2) + 0δu↑Y-dχ2 )χ1=-a = L1h+δ02 +Ph2 + (28) = -Phδu,+ +--δφ1 +0δu+ 1χ1=-a 2 1χ1=-a 2χ1=-a Граничные условия для системы (20), (21), с учетом (28) и (16), запишем в виде e(1)| = Ph; χ1 =-a (29) = 0; χ1 =-a (30) Mf’l = PL; χ1 =-a 2 (31) u+l =0; 1 1x1 = ^ (32) u?l = 0; 1X1=^ (33) p1 L=^ =0. (34) Об одном подходе к оценке прочности адгезионного слоя в слоистом композите 69 Из (20), с учетом (29) - (31), находим распределение перемещений и угла поворота на участке x1 ∈[-α;0): φ 6 (C1 - C2 ) , φ. = h ’ (35) u1 = 4C. - 3C2 + p x. ; 112D 1 (36) U+ = (C.-C- ) X.+ C1. h (37) где C1,C2,C3- постоянные. Из (21), с учетом (32) - (34), находим распределение перемещений и угла поворота на участке x1 ∈(0;/]: (39) и2 ( 1_1 2s 1+δoLι Iк +δo∣ 3 i 2hL L L 2h J J -x + / ∣+_c6l._ ■ J „VLh ÷ + ,1 ( 2hsm1 m 1 -ґ-------7 ; m2 = h( L+^o^ 2 V Li 2h j L1 2Dh 2 L1 2Dh m ∣Lh + δ02l1J sιm m ∣Lh +^okIj sιm ,, m2 2 (2s 1 1 M1 = -2 ; m = h^DI I; m1 = - 1 k^ I 3 2 У 1 δo 1 + δ0,1 ’ 2hL J m1,1 ms1 2M1+ m4 к 70 В.Э. Богачева, В.В. Глаголев, Л.В. Глаголев, О.В. Инченко, А.А. Маркин Решение (38) - (40) получено при следующем ограничении: ~^> 0. В этом случае k2 > 0 и λ1 =-k , λ2 =k . Для выражений (35) - (37), (38) - (40), с учетом шести условий сопряжения (19) для консоли 1, определим шесть постоянных интегрирования C1,C2,C3,C4,C5,C6 из решения системы линейных уравнений. Рассмотрим упрощение постановки задачи в виде (20), (21), положив в аппроксимации поля перемещений (12), (13) φ1=-φ2=0; и2+=и2-=0. В этом случае система уравнений (20), (21) сводится к одному уравнению на участке x1 ∈ [-a;0): dQ1(11) = 0 (41) dX1 и на участке X1 ∈ (0; £]: с граничными условиями q11^∣ X1=- U1+ X1= и условиями сопряжения участков консоли U14 = u1+ ; 1 X1=-0 1 X1=+0 Q(14 = Q(1)| Q1k Ix1 =-0 = Qlk Ix1 =+0 dQ1P dX1 =0 (41) =σ21 (42) = Ph; a (43) =0 -Л (44) (45) X1=-0 Решение (41) - (45) на участке консоли, сопряженном со слоем, получено в виде + Peq2X1 q2 D (1 + e(q2-q1 (46) 2L1 где q1,2 =^ hDδ0l Результаты решений Проведем сравнение полученных аналитических решений в рамках упрощающих гипотез и численного решения задачи (1) - (11), полученного методом конечных элементов (МКЭ) с квадратичным законом распределения поля перемещений на элементе. В качестве исследуемого композита рассмотрим образец с механическими характеристиками консолей, соответствующими сплаву Д16, имеющие модуль упругости E1 = E2 = 7.3 ■Ю10 Па и коэффициент Пуассона ν1 =ν2 = 0.3 . Механические свойства АС выбираем соответствующие эпоксидной смоле: E3 =3.1 ■109 Па, ν3 =0.2. Геометрические характеристики выбираем следующими: h1=h2=0.03 м; І = 0.1 м; a = 0.05 м; δ0 = 5 ■Ю-4 м. Распределенная внешняя нагрузка бралась единичной P = 1 Па. Об одном подходе к оценке прочности адгезионного слоя в слоистом композите 71 На рис. 2 построены графики горизонтальных перемещений верхней границы АС. График 1 построен для случая решения задачи МКЭ, график 2 - по формуле (39), а график 3 соответствует решению (46). Для конечноэлементного решения (КЭР) размер грани конечного элемента (КЭ) в зоне обрыва связей с АС выбирался равным толщине слоя. Решения отнесены к модулю значения перемещения на торце слоя в КЭР. Координата X1 отнесена к толщине слоя δ0. Рис. 2. Горизонтальные перемещения границы слоя Fig. 2. Horizontal displacements of the layer boundary Как видно из представленных графиков, решения 1 и 2 практически совпадают, что указывает на важность учета сдвиговых напряжений в консолях. На рис. 3 рассмотрены вертикальные перемещения слоя при КЭР и при решении в виде (40). Решения отнесены к модулю значения перемещения на торце слоя в КЭ, а координата X1 отнесена к толщине слоя δ0. Как и в случае с горизонтальными перемещениями, имеет место близость решений. Данное обстоятельство позволяет проводить анализ НДС слоя при малых относительно высоты консоли толщинах слоя в рамках решений (39), (40). Прямое КЭР задачи (1) - (11) в этом случае сопряжено с большим объемом вычислений при требовании соответствия размера грани КЭ толщине слоя. Следуя работе [29], введем в рассмотрение ЭП: 2Y = δ0ψ , где ψ - приращение удельной свободной (упругой) энергии. Для рассматриваемого случая распределения средних по слою напряжений (27) - (29) имеем C 2u1+ .' 2 C 2u1+ 2 ψ = 0.5L1I-+ U2 I для решений (39) - (40) и ψ = 0.5L11-I - для упрощён-I δ0 J I δ0 J ного решения (46). 72 В.Э. Богачева, В.В. Глаголев, Л.В. Глаголев, О.В. Инченко, А.А. Маркин Рис. 3. Вертикальные перемещения границы слоя Fig. 3. Vertical displacements of the layer boundary На рис. 4 построена зависимость относительного ЭП γ* на торце слоя от десятичного логарифма отношения 5^h для рассматриваемой нагрузки. График 1 соответствует решению (39), (40), а график 2 - решению (46). Значения ЭП отнесены к значению ЭП для упрощенного решения. Рис. 4. ЭП на торце слоя Fig. 4. Energy product (EP) at the end of the layer Об одном подходе к оценке прочности адгезионного слоя в слоистом композите 73 Из графиков видно, что при отношении δ^h ≤ 10-2 значение ЭП практически не меняется. Следовательно, результаты расчетов ЭП при толщинах слоя δ0 ≤10-2h будут приводить к одним значениям. Однако значения ЭП при использовании упрощенной схемы будут существенно превышать значения, вычисленные с учетом сдвиговых деформаций в консолях. Заключение На основе вариационной постановки задачи о равновесии двух тел, сопряженных тонким слоем, получены упрощенные постановки задач в дифференциальном виде. Из сравнения упрощенных аналитических решений с конечноэлементным решением показано, что учет сдвиговых напряжений в сопрягаемых телах вносит существенный вклад в формирование НДС слоя при рассматриваемом нагружении. При этом распределения полей перемещений границы АС, в рамках КЭ решения и упрощенного аналитического решения на основе гипотез типа Тимошенко, оказались близки друг к другу. Из найденных аналитических распределений полей перемещений границы АС получены зависимости ЭП на торце слоя от отношений толщины слоя к толщине консоли. Таким образом, рассматривая критическое значение ЭП в качестве критерия разрушения тонкого АС, можно в определенном диапазоне проводить расчеты без фиксации значения толщины АС. В этом случае методика расчета критического состояния АС может быть следующей. В образце с заданными геометрическими и механическими характеристиками при δ0 =δ0∕h ≤ 10 2 из эксперимента определяется внешняя критическая нагрузка. По данной нагрузке находится критическое значение ЭП. Для образцов, выбирая любой относительный параметр из диапазона δ0 ≤δ0, при данном виде нагружения можно найти критическую внешнюю нагрузку, сопоставляя значение ЭП на торце слоя с критическим. Вопрос об универсальности предлагаемого критерия может быть решен экспериментально.

Скачать электронную версию публикации