Poincare-Tricomi problem for the equation of a mixed elliptico-hyperbolic type of second kind.pdf Рассмотрим уравнение (1) MSC 35M10, 35M12 2020 ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика № 65 МАТЕМАТИКА УДК 517.956.6 DOI 10.17223/19988621/65/1 sgny\\yTuxx + иуу + АуТ u = 0 (-1< m 0 уравнение (5) принимает вид ymuxx + Uyy = 0, -1 < m < 0. (32) Рассмотрим следующую вспомогательную задачу. Задача РТ.+ Найти решение u(x,у)е C(d+)oC1 (D+ и сu JC2 (d+) уравнения (32), удовлетворяющее краевым условиям (15) и u|y=0 = Т(x), 0 < x < 1, (33) где т(x) - заданная непрерывная функция, причем т(х) удовлетворяет условию Гельдера с показателем у0 > 1 - 2р в интервале (0,1) и представима в виде 1 т(x) = J(t - x) в T(t)dt, (34) ч-2Р, где T (x) - непрерывная и интегрируемая в (0,1) функция. Для дальнейшего удобства обозначим через D0 нормальную область, ограни- -733 - „ ( 1Y 4 m+2 1 ченную отрезком AB и нормальной кривой с0:^ x - ^ j +--у у = 4. Решение задачи РТ+ с условиями (15) и (33) для уравнения (32) в области D+ существует, единственно и представимо в виде [19] і (x, у) = f т(4) dL G2 (4,0; x, у)d4 + f G2 (4, n; x, у)ds, 0 dn 0 5(s) 1 l , ч (35) •ф(А), где G2(4, n; x, у) - функция Грина задачи РТ+ для уравнения (32), и она имеет вид G2 (4, n; x, у) = Gq2 (4, n; x, у)+#2(4, n; x, у). Здесь G02(4,n; x,у) - функция Грина задачи РТ+ для уравнения (32) в нормальной области D0 ; H 2 (4 n;x, у ) = G2 (4, n;x, у)- gq2 (4 n;x, у ) = = f ^ 2(s;4, n) |л [gq2 (4 (s) n(s);x, у )]+ ]) gq2 ( (s) n (s);x, у )}ds, (36) где ^2 (s; 4, n) - решение интегрального уравнения i ^ 2 (s; 4 n)+2f ^ 2 (t;4, n){As [ (4 (t) n (t);x(sX уО?))] + 42 (4(t),n(t);x(s),у(?)) Idt = -2^2(4(s),n(s);4,n), + p(s) +--< S( s) q2 (x, у, x0, у0) - фундаментальное решение уравнения (32): А.А. Абдуллаев, Т.Г. Эргашев 14 ( 4 ѴР-2 q2 (х, у, х0,уо ) = к2 |-- I гх V m + 2 ) ( r 2 > 1-2P ■ - ^ V r1 ) F 1 - р,1-р,2-2Р;1-m+2 m+2 ^ у 2 + Уо2 2 к2 = " 2 (37) 2 2 = (x - хо)2 + Xm + 2) 1 ( 4 )2-2р Г2 (1 - в) 4п V m + 2 ) Г(2 - 2в) F (a, b, c; z) -гипергеометрическая функция Гаусса, определенная формулой (10). Дифференцируя по у уравнение (35), затем устремляя у к нулю с учётом (36) и (37), получим функциональное соотношение между т(х) и ѵ+(x), принесенное из области D+ на интервал J в виде ѵ h (х) = к2 j\\t - х|2р 2 T(t)dt - к2 j T(t) dt (t + x - 2tx) 2-2P (38) + f T(,)д 2 x.Q) dt + j x( s) dq2-(t -n x-°) ds, j 3n?V J° ду где x (s) - есть решение интегрального уравнения х(s)+2 j x(t) j 4 [q2 X(t), n(t);x( s\\ у( s))] + q2 ((t), n(t);x( s), у( s)) dt = ===. После выполнения некоторых преобразований, с учетом (34), из (38) получим функциональное соотношение между T(x) и ѵ +(x), принесенное из области D+ на интервал J: к2 г (tч1 2в ѵ+ (x) = - М&ЁЕ T (x) + JBL. f|il T(t) 1 - 2P V 2 1 - 2P ° V x) W 1 1 x -1 x +1 - 2 xt dt+ 4 T (t d j (t - z)-2e

Скачать электронную версию публикации