On the theory of represantable varieties of lattice-ordered groups.pdf 1. Введение Напомним, что решеточно упорядоченная группа (£ -группа) - это алгебраическая система G сигнатуры £ = (в, 1, •, л, , совмещающая в себе структуру группы и решеточного порядка, связанные естественными соотношениями x(u ѵ v)y = xuy ѵ xvy, x(u л v)y = xuy л xvy. Если всякие два элемента решеточно упорядоченной группы сравнимы, то группу называют линейно упорядоченной. Решеточно упорядоченные группы, их многообразия и связанные с этим вопросы представлений £ -групп порядковыми автоморфизмами подходящих линейно упорядоченных множеств интенсивно исследовались различными авторами. Результаты этих исследований отражены в монографической литературе (см., например, [1, 2]). Одним из важных классов решеточно упорядоченных групп является многообразие R всех о-аппроксимируемых £ -групп, т.е. £ -групп, которые аппроксимируются линейно упорядоченными группами. Хорошо известно (см., например, [1]), что R определяется тождеством ( x л ylx- y )ѵ e = в. (1) Любое многообразие £ -групп, содержащееся в R, называется о-аппроксими-руемым многообразием £ -групп. Множество L0 всех о-аппроксимируемых многообразий частично упорядочено относительно теоретико-множественного включения; более того, L0 - решетка относительно стандартно определяемых операций пересечения и объединения многообразий. Отметим, что L0 является полной подрешеткой решетки L многообразий всех £ -групп. Целью работы является уточнение свойств о-аппроксимируемых многообразий, которые были введены и изучены в работах [3-5], и рассмотрение новых о-аппроксимируемых многообразий, которые представляются достаточно интересными. Напомним некоторые стандартные обозначения и факты о решеточно упорядоченных и линейно упорядоченных группах, которые будут использоваться в дальнейшем. Пусть x - произвольный элемент £ -группы G. Тогда |x| = x ѵ x-1 -его модуль, x+ = x ѵ e - положительная часть. Для положительных элементов К теории многообразий о-аппроксимируемых решеточно упорядоченных групп 23 х, y е G запись x у и у > х, то элемент х архимедово эквивалентен элементу у, этот факт символически обозначается х ~ у. Всюду подгруппа H линейно упорядоченной группы G линейно упорядочена посредством индуцированного порядка, т.е. х 1 и не содержит Гр, если р < 1, а многообразие C не содержит Гр при р > 1 и содержит Гр при р < 1. Из сказанного выше, очевидно, следует, что H ф C. Несложно показать, что (Гр )* = Г j Следовательно, многообразие C* содержит Гр при р > 1 и не содержит Гр, если р < 1. Как обычно, лексикографическое произведение линейно упорядоченных групп G и H обозначаем G х H . Ясно, что G х H является линейно упорядоченной группой. Предложение 2 работы [4] утверждает, что многообразие C (а следовательно, и C*) замкнуто относительно лексикографических произведений. Следующее утверждение показывает, что это не так. Предложение 1. При любых р, а ф 1 линейно упорядоченная группа Гр х Га не принадлежит многообразию C. Доказательство. Возможны следующие случаи: 1) р, а < 1, 2) р > 1 > а , 3) Р, а > 1, 4) р < 1 < а. Рассматривая первый случай, полагаем а = ((1, r), (1,0)), где r > 0 и b = ((Р-2,0), (а,0)). Из определения лексикографического порядка и порядка на группе Гр следует e < а e. Следовательно, а [а, b] = ((1,p-2r), (1,0)) > e и а л [а, b] = ((1, rj), (1,0)), где r1 = min(r,( р-2 - 1)r), что влечет а л [а, b]~ а [а, b]. Противоречие с системой неравенств (3); поэтому в рассматриваемом случае многообразие C не замкнуто относительно лексикографических произведений. Во втором случае рассмотрим а = ((1,r), (1,0)), r > 0 и b = ((р2,0), (а,0)). Очевидно, что e < а e. Теперь, как и выше, получаем а л [а, b] = ((1, r1),(1,0)), где r1 = min(r,( р-2 - 1)r), а [а, b] = ((1, p2r),(1,0)) > e, что противоречит системе неравенств (3). В двух последних случаях берем а = ((1,0), (1, r)), r > 0 и b = ((1,0), (а, 0)). Ясно, что e a > e, что для них не имеет места система неравенств (3). Если [a, b] < e, то [a, b]+л a = e и a [a, b]+= a, следовательно, система неравенств (3) выполнена. Поэтому [a,b] >e, что влечет ab >a. Если ab >>a, то [a,b] >> a, и в этом случае, имеет место система неравенств (3). Следовательно, O’ ~ a. Предположим, что b ~ a. Тогда [a, b] 3, что |[х,у]|2 пк, a), где a е A, k е Z. Теперь в группе ТрХ Та для натуральных п, m можно рассмотреть подгруппу Твп x Tam . Upn am = var^ (Ten x Tam ). Предложение 3. Для подходящих натуральных чисел п, m многообразие I- групп U^n am строго содержится в многообразии I- групп Up а. Доказательство. Рассмотрим случай р e и, более того, k2 > 0. Следовательно, |[x,y]||x|v|y| = ((1,pnk1 a3),(1,аmk2a4)). Так как аmk2 >аm >t, то |[x,y]||x|v|yl >|[x,y]|t. Далее, пусть a4 = 0 и a3 > 0. Тогда k1 ф 0. Если k1 < 0, то pnk1 = p-n(-k1) >k. Следовательно, pnk1 a3 >ka3, что влечет |[x,y]||x|v|y| >|[x,y]|k . Если k1 > 0, то pnk1 x > e. Поэтому | x | v| y| = y и [x, y] = ((1,0), (1, r)) > e, так как r1 = (а -1) r > 0. Следовательно, выполнено (| x | v | y |)-1 |[x, y]| (| x | v | y |) = ((1,0), (1, а^)). Так как а < t, то а^ < tr1. Значит, имеет место следующее неравенство: (| x | v| y|)- |[x,y]| (| x | v| y|)

Скачать электронную версию публикации