A refinement of the boundary element collocation method near the boundary of a two-dimensional domain using semianalytic.pdf В настоящей работе рассматриваются внутренние и внешние первые краевые задачи для уравнения теплопроводности (ПКЗУТ) dtu = а2Д2u - pu с постоянными а, p > 0 в открытой двумерной пространственной области Q при нулевом начальном условии. Предлагается полностью обоснованный коллокационный метод граничных элементов (КМГЭ) [1, c. 21], позволяющий получить равномерно сходящиеся и равномерно устойчивые в пространственно-временной области Qx IT (IT = [0, T]) приближенные решения двумерных ПКЗУТ. Решения ищутся в виде потенциала двойного слоя (ПДС) с неизвестной функцией плотности, определяемой из граничного интегрального уравнения (ГИУ) второго рода. Численные примеры решения двумерных ПКЗУТ с помощью КМГЭ на основе ГИУ второго рода рассматривались ранее в работах [2, с.269; 3; 4]. Доказательство равномерных сходимости и устойчивости такого решения в любой замкнутой области вида Q'xIT (Q'cD) приведено в работе автора [5]. Найти другие работы, посвященные теоретическому обоснованию решения ПКЗУТ с помощью КМГЭ на основе ГИУ второго рода, оказалось затруднительно. В то же время достаточно много работ, посвященных обоснованию решения аналогичных вторых краевых задач с помощью КМГЭ на основе ГИУ второго рода, а также обоснованию решения ПКЗУТ с помощью КМГЭ на основе ГИУ первого рода (см. работы [6-9] и [10-12] соответственно). Отметим, что в данном случае преимуществом использования ГИУ второго рода является устойчивая обратимость аппроксимаций оператора ГИУ (см. теорему 6 [5] или теорему 3 настоящей работы). Неустойчивая обратимость аппроксимаций оператора ГИУ первого рода, полученных на основе КМГЭ для ПКЗУТ, доказана в теореме 2 [13]. Уточнение ноллонационного метода граничных элементов вблизи границы двумерной области 31 Как и в двух предыдущих работах [5, 14], в этой работе также существенная роль при обосновании метода отводится аппроксимации коэффициентов приближенного оператора. Такой оператор здесь получается из интегрального оператора ПДС в результате кусочно-квадратичной интерполяции (ККИ) временной Co-полугруппы U (т), через которую выражается ядро интегрального оператора, с равным шагом hT, а также ККИ функции плотности, точки коллокации которой разбивают границу dQ на равные по длине граничные элементы (ГЭ). Коэффициенты имеют вид двукратных интегралов по параметру полугруппы т и длине дуги s, причем интегрирование по т осуществляется аналитически после ККИ множителя е~рт, также входящего в ядро интегрального оператора. На этапе решения ГИУ интегралы по s вычисляются как в работе [5]. А именно, для вычисления интегралов по s на сингулярном ГЭ, а также на околосингулярных ГЭ в некоторой фиксированной по длине дуги области, прилегающей к сингулярному ГЭ, используется точное интегрирование после перехода к новой переменной интегрирования r - расстоянию от точки коллокации до текущей точки интегрирования x'edQ (сингулярным называется ГЭ, в котором достигается значение r = 0). При этом в качестве весовой функции берется функция переменной r , порожденная фундаментальным решением уравнения теплопроводности (ФРУТ), а остальная часть подынтегральной функции аппроксимируется с помощью квадратичной интерполяции по r , и тогда интегрирование по r осуществляется точно для любой аналитически заданной границы dQ. На других ГЭ интегралы по s вычисляются с помощью простых квадратурных формул Гаусса (ПКФГ) [1, с. 79]. Такая аппроксимация позволяет в работе [5] доказать сходимость и устойчивость приближенных решений ГИУ. Аналогично аппроксимируются интегралы по s при вычислении ПДС в точках x eQ. А именно, если расстояние от точки x до точек некоторого ГЭ не превышает примерно трети радиуса Ляпунова, то для аппроксимации интеграла по s на этом ГЭ используется точное интегрирование по переменной р = Vr2 -d2 (r и d -расстояния от точки x до текущей точки интегрирования x' e dQ и границы SQ соответственно). На остальных ГЭ интегралы по s вычисляются с помощью ПКФГ. Точное интегрирование по р уже использовалось в работе [14] для аппроксимации потенциала простого слоя. Для того чтобы обеспечить равномерные в области QxIT сходимость и устойчивость аппроксимаций ПДС, интеграл по s здесь представляется в виде суммы двух интегралов по р , в каждом из которых берется своя весовая функция переменной р, порожденная ФРУТ. Оставшиеся части подынтегральных функций аппроксимируются с помощью квадратичной интерполяции по р, после чего интегрирование по р осуществляется точно для любой аналитически заданной границы dQ. Дискретный оператор, разрешающий ПКЗУТ, вычисляется в алгебре полиномов, образованных степенями полугруппового оператора U(hT), с помощью приближенного оператора, разрешающего ГИУ, и приближенного оператора ПДС. С помощью дискретного оператора, разрешающего ПКЗУТ, и значений граничной функции, взятых в точках коллокации nhT С0-полугруппы U(т), вычисляются решения ПКЗУТ в тех же точках nhT, что позволяет осуществить ККИ реше- Д.Ю. Иванов 32 ния по времени. Доказано, что полученные таким образом приближенные решения ПКЗУТ сходятся к точным с кубической относительно шагов по времени и длине дуги скоростью равномерно в области Qx IT. Доказана равномерная в Qx IT устойчивость приближенных решений ПКЗУТ к возмущениям граничной функции. Полученные результаты справедливы для границы SQ с гладкостью C5. Обычно интегралы по s при х eQ рекомендуется вычислять с помощью ПКФГ, так как подынтегральная функция при хeQ, строго говоря, гладкая [1, с. 173]. В настоящей работе для более простого случая кусочно-постоянной интерполяции доказано, что использование для вычисления интеграла по s на ближайшем к точке хeQ ГЭ целого ряда квадратурных формул, включая ПКФГ и квадратурные формулы Ньютона - Котеса (КФНК), влечет нарушение равномерной по d сходимости аппроксимаций ПДС вблизи границы dQ. Приведены результаты вычислительных экспериментов по решению ПКЗУТ в круговой пространственной области, которые подтверждают, что применение точного интегрирования по р обеспечивает равномерную в области Qx IT сходимость, близкую к кубической, в то время как использование вместо этого квадратурных формул, ПКФГ или КФНК, приводит к серьезному нарушению точности вблизи границы dQ. Отметим, что уточнение решений краевых задач, полученных в рамках КМГЭ для уравнений Лапласа и Гельмгольца вблизи границы области, рассматривается в работах [15, 16]. При этом уточнение основано на регуляризации решения с помощью сглаживания ядра интегрального оператора в области сингулярности. Предварительные замечания Пусть Q+ - двумерная открытая ограниченная односвязная область и Q- = R2\\ Q+ (R = ( -ж, +ж)). Кроме того, пусть dQ, граница области Q+ , является кривой класса гладкости C2, если не оговорено особо. Рассмотрим внутренние и внешние задачи Дирихле: а2Д2и± - p u± = Bu± (х = (Xj, x2) eQ±), u± = w± (х edQ), (1) где u± (х) и w± (х) - векторные функции со значениями в гильбертовом пространстве L2 = L2 (It ), заданные на множествах Q± и dQ соответственно (все пространства функций здесь комплексные); Д2 =d2Xл + д^ (непрерывность и дифференцируемость векторных функций предполагается здесь в норме пространства их значений, в данном случае - L2); p > 0, a > 0 (коэффициент температуропроводности) - постоянные; B - замкнутый оператор в L2 : (Bf) (t) = f '(t), заданный на множестве D(B) классов функций f e L2, эквивалентных абсолютно непрерывным на промежутке IT функциям f (t), таким, что f (0) = 0. Пусть C(Q') и Ck (Q') - пространства непрерывных и к раз непрерывно дифференцируемых на некотором множестве Q' с R2 векторных функций со значениями в пространстве L2. В работах [17, 18] доказана однозначная разрешимость Уточнение ноллонационного метода граничных элементов вблизи границы двумерной области 33 задач (1) в классе C(Q±) n C2(Q±) при любых w± е C(dQ). Решения имеют вид векторных потенциалов: и± (х) = G(х) ѵ± (x eQ± ), где функции ѵ± е C(dQ) находятся из соответствующих ГИУ: (g± ѵ±) (х) = w± (х) (х едQ), G± =+2-1 +G, G(х) f = (Gf)(х) = f K(х,х') f (х')ds' (f е C(dQ)); (2) dQ K(х, х') (х ф х') - ограниченные операторы в пространстве L2, определяемые равенствами: к(х,х')f = f g(х,х',т)e-pxU(т)f dт (f е L2), It g(х, х',т) = a1(r,т)b(х, х'), b(х, х') = дп(х) lnr-1. Здесь a1(r,т) =-rdra0(r,т), a0(r,т) = (4лт)-1ехр|^-r2Д4a2т)^, r = |х-х'|; дифференцирование дп(х) осуществляется по переменной х' в направлении п(х') -нормали к кривой dQ, проходящей через точку х ' и направленной внутрь области Q+ . Операторы U(т) образуют C0 -полугруппу правых сдвигов, порождаемую оператором B: (U(т) f )(t) = f (t -т) при т< t, (U(т) f )(t) = 0 при т> t, Bf = lim Q(f-U(т)f) (f еD(B)). Заметим, что ||U(т)|| = 1 при т Т (O - нулевой оператор). Имеют место равенства: BnU(т)f = U(т)Bnf (f е D(Bn), n е N = {1,2,...}). (3) Зададим параметрические уравнения кривой dQ: xl = 5с1 (s), x2 = x2 (s). Параметр s по модулю равен длине дуги, откладываемой от некоторой фиксированной точки и заканчивающейся в точке х(s) = (Xj(s),X2(s)), причем s > 0, если дуга откладывается по часовой стрелке, и s < 0, если против. Функции X1(s), X2(s), периодические с периодом 2S (S - половина длины dQ), осуществляют взаимнооднозначное отображение множества IS =[- S, S) на множество dQ. Условимся далее писать dQ е Ck , если существуют непрерывные на замкнутом множестве IS производные X()(s) (i = 1,2, l = 0,k ), причем xf )(-S + 0) = xf )(S-0). Введем в рассмотрение банаховы пространства Ck(dQ) (к е Z+ = {0,1,...} ) функций f е C(dQ), имеющих непрерывные на множестве dQ производные f(l): f(l)(s) = dl f (х(s))/ds1 (s е IS , I = 0,к ), с нормами \\f\\Ck (dQ) = maxsupll f(l )(s^ (C0(dQ) = C (dQ)). Обозначим через Hn (n е N) ( ) l=0,k sеIS L2 гильбертовы пространства функций f е L2: B mf е L2 (m = 1, n), с нормами Hn Vn ||b” -|1/2 (H0 = L2). Определим банаховы пространства Ck (dQ) Д.Ю. Иванов 34 (k е Z+ , n е N) функций f е Ck (dQ) : f (х) е Hn (х eдQ) и Bm f е Ck (dQ) (т = 1,n), с нормами \\\\f\\\\Ck(dQ) = maxsup|| f(IА)|| n (C0(dQ) = Ck(dQ)). Зададим n 1=0,k sei'S банаховы пространства Ckn m (dQ) = Ck (dQ) n Cn+m (dQ) (Cn (dQ) = C°(dQ)) с ноРмами Ilfl(SQ) (9Q) +1 fWa„+m(SQ) (k,n,m e Z+). Условимся оператор A, отображающий банахово пространство B в банахово пространство C, обозначать как A [ B ^ C ], а если C = B , то A [ B ]. В силу следствия 3 [19] имеет место утверждение: Теорема 1. Пусть dQe Ck+2. Тогда операторы G± [ Cknm (dQ) ] всюду определены, ограничены и ограниченно обратимы (k,n,m е Z+). Пусть ст = s' - s, где s, s' - значения параметра, соответствующие точкам х, х'edQ, и г = |X(s') - X(s)|. На множестве Ѳ={^, s'): сте/S s е IS} зададим функции yi (s,s') (i = 0,4): при s'Ф s равенствами уi =фг/ст2 (i = 0,2) и yi =фг/ ст (i = 3,4), где Ф0 (s,s ') = Г2 = [[ (s ') - X (s)]2 + [ (s ') - X2 (s)]2, Ф1 (s, s') = 2-1 d И( x )Ф0 = ^2 (s ') [X (s ') - X (s)] - X (s ') [ (s ') - ^2 (s)], Ф2 (s, s ') = 2-1 dИ(x)Ф0 = -X2 (s)[X (s’) - X (s)] + X (s)[2 (s ') - ^2 (s)], Ф3 (s, s ') = 2-1 d s - Ф0 = X (s ') [X (s ') - X (s)] + X2 (s ') [2 (s ') - ^2 (s)], Ф4 (s, s') = d s, Ф2 = - X2 (s) X (s' ) + X (s) X2 (s' ), а при s ’ = s равенствами у0(s,s) = y3(s,s) = 1, y1(s,s) = y2(s,s) = 2-1 [(s)X'2(s)-X'2(s)X(s)], у4 (s, s) = -X2 (s) X(s) + X (s) X2 (s). В силу леммы [19] при условии dQ е Cn+2 (n е Z+ ) существуют непрерывные на множестве Ѳ производные dJs,yi (j = 0, n, i = 0,4) (см. теорему 1 [19], теорему 2 [5], теорему 5 [14]). Обозначим через Л;я (z) и Лm (z) (z е[а,b], m = 0,2) интерполяционные многочлены Лагранжа: К(z) = П --J~, zj =z+qA (j=0,2); j=0 (j #m) Zm zj Л m (z) = П -3~ , Zj = z + qA ( j = 0,2). j=0(j*m) Zm - Zj Здесь hz = 2-1(b - a), z = 2-1(a + b); q0 =-1, qj = 0, q2 = 1; q0 = -V3/2, qt = 0, q2 = ^13/2 [20, с. 92]. Пусть f (z) - трижды непрерывно дифференцируемая на Уточнение ноллонационного метода граничных элементов вблизи границы двумерной области 35 промежутке [a, b] функция со значениями в произвольном банаховом пространстве B . Тогда для функций f; (z) - Е L f ( Zm ) Л m ( Z ) , Л( Z -Е L f ( Zm )Л m ( Z , а также первых и вторых производных функции f;(z) при z e[a, b] имеют место оценки: ;(z)- f (z)|в < с» Иf (3)(z)\\l У, I|Л - f I|в zs[a ,b] < c. ■ 7b] lf(3)(z)ll z&[a,b] B c CO - 2V3/9, 0; p = -r , если ст< 0. Теорема 2. Пусть 5Qe С”+2 (n е Z+), 50(s, s')-(dsp)-; = i/40/43, 5;(s, s') - b(x(s), x(s')) = -y;/40 . Тогда на множестве Ѳ существуют непрерывные производные дj,5; (j = 0,n). Кроме того, для любого M > 1 существует число £ : 0 0) подобно Gn имеют вид скалярных квадратных матриц порядка 2L + 2: ((T)/= = S gkJ (T) f (k = -L -1, L , / е Hl ), l=-L-1 gk,2l (т) - J1,k,2l-1 (t) + J1,k,2l (t) , gk,2l-1 (t) - J2,k,2l-3 (t) + J2,k,2l-2 (t) + J0,k,2l-1 (t) + J0,k,2l (t) ( l = - Ll2, Ll2 ), JmMll (T) - J’mXl (T) + J'm ,k ,l (t) ( l =-L , m = 0,2). В свою очередь, функции J'mki (т) и J”mki (т) (т> 0) определяются равенствами: fit (sl+1) л _ _ J'm,k,l (т) - I т) 81,m,k (Р) dP ( m = 0,2, k, l =~L-1, L х Pk (sl) 81,m,k (P) - SYm,k (Pk,l + qmh’k,l )Am' (P) ( Pe [Pk (sl'), Pk (sl'+1)] X m =0 hk,l - 2 [Pk (sl+1) - Pk (sl )] , Pk,l - 2 [Pk (sl) + Pk (sl+1)] , 81,m,k (P) - 81 (sk, P)Am (sk + ctk(P)) ; Jm,k,l (t) - hl S W jgm,k (sl + hl zj, t) , sl - 2 (sl + sl+1 = , hl - 2 (sl+1 sl = j=1 (m = 0,2, k,l = -L-1,L ). Здесь p, (ct) - p(sk, sk + ct); ak (p) - функция, обратная к функции pk (a); Am (s) - кусочно-квадратичная функция, определенная на множестве IS : Уточнение ноллонационного метода граничных элементов вблизи границы двумерной области 37 Лт (s ) = Лт (s) (s е[ s2l _j, s2l+l ], l = -Ц 2,L/ 2); z;. - корни многочлена ^) = [y!/(2y)!](dVdzy)(z2 -1) на промежутке [- 1; 1], wj - весовые коэффициенты ПКФГ с у узлами (wj = 2 , wj > 0) [20, с. 255]; gmk (a,t) - - g(sk,sk +a,t)Лm (sk +a), g(s,s',t) - g(x(s),x(s'),t) . Кроме того, здесь s't= min{st, E), s'l = max{st, E}, если sl > 0, и s't= max{st,-E}, s'J = min{st,-E), если st < 0, при этом число E> 0 выбрано в соответствии с теоремой 2. В пространстве HL зададим операторы G± [ HL ]: G± - ±2-1 + G. Определено Nmin е N , такое, что при N/2 е Nmin - {Nmin, Nmin +1, ...} операторы G± ограниченно обратимы в алгебре полиномов, образованных N степенями оператора U (hT) (см. формулу (15) [5]). Определение. Будем говорить, что ограниченные операторы An [ C ^ D ] (n е N) сходятся при n ^да по операторной норме к соответствующим ограниченным операторам Bn [ C ^ D ], если ||An f - Bn f\\|D ^ 0 при n ^да равномерно в шаре I|f IC < 1. Доказаны следующие утверждения (см. теорему 6 и следствие 3 [5]): Теорема 3. Пусть 5Q е C2. Тогда операторы (G±) [ HL ] (L/2 е N , N/2 е Nmin ) совокупно ограничены. Теорема 4. Пусть 5Q е C2у+1 и у > 2. Тогда операторы (G±) PL [C03(9Q) ^ HL ] (L/2 е N , N/2 е Nmin ) сходятся при L , N ^ да по операторной норме к соответствующим операторам PL (g±) [C03(9Q) ^ HL ] с порядком аппроксимации O (h^ + h). Сеточные аппроксимации решений краевых задач Контур 5Q е C2 не имеет точек самопересечения, поэтому существует постоянная cr = inf -у/^0 > 0. Справедлива оценка: S< cK |a| < c'Kc- V , где S - ост- (s,s ' )еѲ рый угол между нормалями, проходящими через точки x(s) и x(s') (s, s' е I'S); c’K = sup K(s, s '), K(s, s' ) -|d2 ф2|; cK = sup K(s, s), K(s, s) - кривизна кривой в (s,s' )еѲ sеГs точке x(s). Отложим на нормали к кривой 5Q в каждой точке x(s) (s е IS) отрезок одной и той же длины d е Id -(0,D] (D - cr/(3cK )) внутрь области Q± . Величина 3D может быть взята в качестве радиуса круга Ляпунова, поэтому согласно [21, с. 313] концы таких отрезков x± (s) eQ± образуют замкнутую линию 9Q± е C1, параллельную кривой 5Q, т.е. соответствие между точками x± (s) и x(s) взаимно однозначное. Д.Ю. Иванов 38 Введем в рассмотрение местную систему декартовых координат (|s, ns) с началом в точке x(s) и осью ординат, направленной по нормали внутрь области О- . Координаты (|s,ns) точек x± (s) и x(s') равны соответственно (0, +d) и (-2-15sФо,2-1 dn(x(s))Фо), поэтому г2 -|x(s')-x±d (s) -ф± + d2, где ф± =ф0 ±2dф2 . Зададим на множестве Y = Id х Ѳ функцию р (d, s, s). р - ^/Ф0, если g ' о Р±=-'ІФ± , если ст0 на множестве Y [14]) и ф± =ф3 ± dф4 . Пусть Es - связный участок кривой дО между двумя параллельными прямыми, находящимися на расстоянии D от прямой x(s) x± (s), причем x(s) e Es. Соответствующие значения ст обозначим через Hs, левую и правую границу отрезка Hs - через E's и ~E"s соответственно. Введем в рассмотрение множество Y ' = {(d,s,s') . GeHs, s e I’S , d e Id }. Теорема 5 [14]. Пусть дО e C”+2 (n e Z+). Тогда на множестве Y' существует положительная, ограниченная сверху функция 5± = (дs,р±) ^ >/Ф±/Ф± и непрерывные производные д Js, 5± (j - 0, n). Следствие 2 [14]. Пусть dOe Cn+2 (n e Z+). Тогда функция р±!1 (ст) = = р± (d, s, s + ст) при любых фиксированных s e I’S, d e Id диффеоморфно с гладкостью Cn+l отображает множество Hs на множество р^ (Hs). Функция 5±(d,s,р) = 5±(d,s,s + g±,s(р)) (g±,s(р) - функция, обратная к функции р±^(ст)) имеет непрерывные на множестве Y' = {(d,s, р). рeр^ds(Hs), s e IS , d e Id } производные др5± (j - 0, n). Следствие 3. Пусть дOe Cn+2 (n e Z+ ). Тогда функции 5± (d,s,р) = = 5±5±( d, s, s + ct±,s (р)) и 5± (d, s, р) = ±d 5±ф5 (s, s + g±,s (р)), где 5± (d, s, s ') = = -ф1/ф± и ф5(s,s') = -дп(,^(/))ф2 - -г1 (s)x1(s') + *2(s).r2(s'), имеют непрерывные на множестве Y' производные др5± (j - 0,n, i -1,2). Операторы G (x) [ C (дО) ^ L2] (x eO± ) представим в следующем виде. G(x)f - f A(x,t)(t)f dx (f e С(дО)). Здесь A(x,т) [С(дО) ^L2 ] J Ij (т>0) - ограниченные операторы. A(x,x)f = I g(x,x',x)f (x')ds'. Замкнутую область, ограниченную кривыми дО и дOD, обозначим через OD . На основании следствия 2 и равенств r2b(x±(s),x(s')) - -ф1 ±d ф5, вытекающих из равенств r2 - |jc(s') - x± (s)| - ф0 ± 2d ф2 + d2 (d e Id , s, s' e IS), представим операторы Уточнение ноллонационного метода граничных элементов вблизи границы двумерной области 39 A( х, т) ( т> 0) в виде суммы: А( х, т) = Y, 3=14 (х, т), где кЪ к) 4 (х, T)f = j a (d, p, т) Sd (d, s, p)f (x (s + a±ds (p)))dp (x = x± (s) e QD ), Pd.s (2S) 4 (x, 4f = 0 (x eDd \\ Q±d ) (i = 1,2); 4(x,т)f = J g(x,x',т)f(x')ds' dQ\\Es (x = xd (s) eQD ), A3(x,4 f = J g(x, x', т) f (x') ds' (x eDd \\ QD ), 3Q a1 (d,p,т) = -pdpa0(yjp2 + d2,т), a2(d,p,т) = p-2a1 (d,p,т). Заметим, что если (x, x') e Dd \\ Q±D x dD или x e Qd , x' e dD \\ Es, то r > D (см. доказательство формулы (9) [14]). Учитывая также следствие 3, получаем оценки: ІІ4(x,т)||0); У = т-^2 , y = dт-3/2 exp[-d2j(4a2т)], (7) ci0 = max І5d| (i = 1,2); c =a(л/Л) , i,0 (d ,s,p)eT 'I ' 1 V / C2 =(a>/n) ; C30 = sup |g (x, x (s'), т)|. |x - x ( s' )| >D, т>0 В силу оценок (7) имеем равномерную на множестве Qd ограниченность операторов G (x) [ C (dD) ^ L2]: ||G(x)|| < cG = 2>/T"c10 С1 + 2ay[%С20 С2 + 2STC30 (x eDd ). (8) Пусть N/2 e N, N/2 e N . Зададим ограниченные операторы G(x) [ C(dD) ^ L2] (x e Qd ): G(x) f = J A(x, т) е(т) U(т) f dт (f e C(dQ)), IT U(т) = £ U(т2„+1 + дткт )Лт (т) ( т e [т2п, т2п+2 ] , n = 0, N/2 - 1). т=0 Так как ||U(т)||< 1, |е~^^|< 1 (т>0), то ||U(т)||0) в виде сумм: J sl Jm,l = Y3=1 Ji,m,l . ЗДеCЬ, в сЛУЧае x = x±d (s) 6^D ( s 6 4 ) Pd,s (a s, l +1) Ji,m,l (d, S, T) = J a (d, P, T) 8±.m (d, s, P) dP ( i = 1,2), pd ,s (as ,l) J3,m,l (x T) = f!s,l+1 gm (x s', T) ds' . JPs,l ПРи этом bjm (d, S, P) Л m (s +4±,s (P)) ; as,l = тІП {sl - s, Es } , Ps,l = max{sl,s+Es}, если sl >s; as,l = max{sl- ^Es}, Ps,l = min{sl,s+Es}, ес ли sl < s . В случае x eQd \\ QrD J\\,m,l = J2,m,l = 0 , J3,m,l = Jm,l ( Ps,l = sl X Введем в рассмотрение интегралы Jimi, аппроксимирующие интегралы Jiml: P±,s (а s, l +1) Ji,m,l (d, S, T) = J a (d, P, T) S±,m (d, S, P) dP ( i = \\,2), R±, s (a s ,l ) 2 _ S±m = Y 5±m (d, S, Pdds,l + qm'h'd,S,l )^m' (P) ( P6^ (as,l), Pd.s (as,l+1)] X m =0 hd,s,l = 2 [Pd,s (as,l+1) - Pd ,s (as,l ) ] , Pd ,s,l = 2 [Pd,s (as,l ) +Pd,s (a s,l+1 ) ] ; _ Y _ _ J3,m,l (x T) = K,l Y W jgm (^ Ps ,l + K,lZj , T) , Ps,l = 2-1 (Ps ,l +Ps ,l+1) , j=1 hs,l = 2 (Ps,l+1 -Ps,l ) . Операторы A(x, t), в которых интегралы Jml заменены выражениями Jiml и Jimi, обозначим через Ai(x,т) и 4(x,т) соответственно, а операторы G(x), в которых интегралы Jml заменены выражениями Jimi, обозначим через Gi(x) (i = 1,3 ). Пусть G(x) = Y(x). В силу оценок (5) справедливы соотношения Д.Ю. Иванов 42 ||Л(х,т) А\\L l=L/2 2 О Z ZZ Ji,m,2l+l f2l-1+m l=-L/2 m=0 l'=-l < СЛ СЛ ci,0 (d, T L 2 (f e HL , d e ID , s e IS , т> 0 , i = l, 2); ||-4з( х, т) А L l=L2 2 О Z ZZ J3,m,2l+l' ( X т) f2 l-l+m l =-L/2 m=01'=-1 < 2 S^ c3,J f \\H L 2 (f e HL , x eQ± , т> 0). Следствием этих соотношений являются неравенства ||G(X) AL < 2СЛ СЛ СЛ C1,0 c1 + СЛ c2,0 C2 + TS c3,0 ) IIf IIhl ( f 6 HL X на основании которых получаем утверждение: Теорема 8. Пусть dQe С2. Тогда операторы G(х) [ HL ^ L2 ] (L/2 e N , N/2 e N) ограничены в совокупности на множестве Q± . В силу следствия 3 и неравенства r > D, имеющего место, если (х, х') e Q± \\ QD х dQ или х = X± (s) e QD , х' e dQ \\ E(s), при указанной гладкости кривой dQ могут быть определены константы: с,,j _ sup Idpj5± I (i = 02 , dQ e Сп+2 ), (d ,s,p)eT' C3,j _ sup |djg(х, х(s'),т)| (dQe С”+1) (j = 0,n, n e Z+ ). |х - х (s')| >D, т>0 Используя неравенства (4)-(6) и h'd sl < 2-1 chks (ch _ sup |ds-p±), при условиях (d ,s,s')eT' оценки: dQ e С5, f e С2 (dQ) для любых d e ID, s e IS , т>0 получаем II д(x, т)f - д(x, т)aL < < 8l h c3 сш SuP (d ,s,p)eT l=L 2 Pd,s (as ,2l +i) J^pff(s+CTd,s(p))]|^ Z I a(dp,t)dP< 2 l=-L2 p(±,s (as,2;-1) < ^sJi (d, T С2(3Q) • (11a) c _ 8 1 c3 CB [с,-,3 СЛ + (3ci,2 C0,0 + 3ci,1 C0,1 + Ci,0 C0,2 )СЛ + 3 (Сг,1 C02,0 + Сг,0 C0,1 C0,0 ) СЛ ] (i = 1,2, f _ Pl f, f _ pPl f ). Если dQ e С2y+', f e С2 (dQ), то для любых х e Q± , т> 0 имеем оценку: |Д(х,т) f - A3(х,т) AL < 2SC3 h2y+11|f IІС2(ЭО), (11b) 2 _ (у!)4 [с3,2 у СЛ +2Y 0,2 у-1 СЛ +Y(2Y- 1)с3,2у-2СЛЛ ] с3 _ 3 [(2y)!]3 (2y + 1) Уточнение ноллонационного метода граничных элементов вблизи границы двумерной области 43 [20, с. 259]. На основании оценок (5), (11) получаем при условиях dDe C21+1 и Y > 2 неравенства ||ОД Pl f - G(x) PL f\\ L < 2 сЛ ck [(q>/T + C2 пІЛ) h] + Сз STh2 y+1] \\\\f\\\\c f Q) (x eDr , f e C2(5D)), из которых вытекает утверждение: Теорема 9. Пусть dD e C2y+1 и y > 2. Тогда операторы G(x)PL [ C2 (dD) ^ L2] (Lf 2 e N , N/2 e N) сходятся при L по операторной норме к соответствующим операторам G(x)PL [ C2 (dD) ^ L2 ] равномерно по N и x e D± с порядком аппроксимации O (h2). При вычислении операторов Gi (x) (i = 1,2) интегрирование по т осуществляется точно и интегралы выражаются через показательные функции exp(-zn) и интегральные показательные функции Ei(-zn) (zn =(р2 + d2 )Д 4а2т и), n = 1, NN). Затем вычисляются интегралы по р, но не все они вычисляются аналитически. В таких случаях для точного интегрирования функции exp(-zn) и Ei(-zn) заменяются многочленами, образованными первыми членами разложения этих функций в ряды Тейлора, а именно: K +1 членом со степенями (zn)к (к = 0, K ), а также логарифмическим членом ln (zn) в случае Ei(-zn). На основании теорем 6, 7, 9 делаем следующий вывод: Следствие 4. Пусть dDe C2Y+1 и y > 2. Тогда операторы G( x) PL [ C0 3 (3D) ^ L2 ] (L/2 e N , N/2 e N) сходятся при L, N по операторной норме к соответствующим операторам G(x) [ C03(dD) ^ L2] равномерно по x eD± с порядком аппроксимации O (h2 + h3). Зададим операторы R± (x) = G(x) (G±) , вычисляемые в алгебре полиномов, образованных N степенями оператора U(hT). С учетом теорем 1, 4, 8 и следствия 4 получаем следующее утверждение: Следствие 5. Пусть dDe C21+1 и і> 2. Тогда операторы R± (x) PL [ C03(dD) ^ L2] (L/2 e N , N/2 e Nmin ) сходятся при L,N по операторной норме к соответствующим операторам R± (x) = G(x) (g±) [ C 3 (dD) ^ L2 ] рав номерно по x e D± с порядком аппроксимации O (hT + h3). Введем в рассмотрение банахово пространство C(IT) классов функций f e L2, эквивалентных непрерывным на отрезке Іт функциям f (t), с нормой ||f IC = sup f (t)|. Имеет место вложение H1 с C(Іт). т teIT Д.Ю. Иванов 44 Пусть N/2 е N . Зададим операторы PN [H1 - C(IT) ]: (n f )) f(4n+m ) Л m (t) ( f е H, t е[х2„, X2„+2 ], n = 0N2-1). m=0 В работе [14] доказаны оценки: ||Pn|| - сл ^, р f -f\\c(M - c^WfH h3 (f. H 4). (12) На основании теорем 1, 3, 8, следствия 5, оценок (8), (12), Цр. || -1 и равенств (3) с учетом замкнутости оператора B приходим к окончательным утверждениям: Следствие 6. Пусть дQе C2у+1 и у > 2. Тогда операторы PN R± (x) PL [Cj33(5Q) - C(IT)] (L/2 е N , N/2 е Nmin ) сходятся при L , N - ж по операторной норме к соответствующим операторам R± (x) [ Cj33(5Q) - C(IT) ] равномерно по x е Q± с порядком аппроксимации O (hT + h3). Следствие 7. Пусть dQ е C2у+' и у > 2. Тогда, если w± е Cj33 (dQ), то функции и± (x, t): й± (x) - PN R± (x) PLw± (L/2 е N , N/2 е Nmin ) сходятся при L,N - ж к соответствующим решениям краевых задач (1) и± (x, t) равномерно по (x, t) е Q± х IT (при почти всех t) с порядком аппроксимации O (hT + h3). Кроме того, |и±[5](x,t)-и±(x,t)| -0 равномерно по (x,t) еО±хIT (при почти всех t) при L, N -- ж, 5-0 (й±[5] (x) = R ± (x) PL w±[5], w±[5] е C1 (dQ): ||w±[5] - w± || - 5). II 1 1 IIc1( sq) ' Приближенные решения и± (x, t) вычисляются в произвольной точке (x, t) еQ±х IT с помощью значений w± (x(st), xn) (l = -L, L-1, n = 0, N -1) по аналогии с решениями и± (x, t) [14]. Квадратурные аппроксимации как причина отсутствия равномерной сходимости в области Вычислительные эксперименты показали, что скорость сходимости приближенных решений существенно снижается вблизи границы dQ, если для аппроксимации всех интегралов Jml (x, т) использовать ПКФГ или КФНК. Покажем отсутствие равномерной по d е ID сходимости аппроксимаций ПДС в случае, когда аппроксимируется (с помощью квадратурной формулы) только интеграл на ближайшем к точке x ГЭ при т = 0, а интегралы на остальных ГЭ вычисляются точно. Также с целью упрощения будем полагать p = 0 и вместо кусочно -квадратичной рассматривать кусочно-постоянную интерполяцию: N-1 L G (x) f-X X zn,i (x) U(Tn) f (s) (f е C(SQ), L, N е N ), n=0 l=-L-1 Уточнение ноллонационного метода граничных элементов вблизи границы двумерной области 45 Sl+l/2 Tn+1/2 ZH,1 (*) - j Чн (x, s') ds', 4n (x, s') - J g (x, x(s'), t) dт , sl-l/2 Tn-l/2 Tn±l/2 - (n ± 2-1) hT ( g - 0 ПРИ т - 0 X si±1/2 =(l ± 2-1) hs . Обозначим через G(x± (s)) операторы G(x± (s)) (s e I'S, d e ID), в которых интеграл z0l, (xd (s)) (s e(sr_y2, sl,+y2 ]) заменен квадратурной аппроксимацией z0l, (x± (s)) достаточно высокого порядка. Можно убедиться, что для любого d0 e ID операторы G (x± (s)) [Cl2(dQ) ^ L2] сходятся при L, N по опера торной норме к соответствующим операторам G(x±(s)) [О^дО) ^L2] с порядком аппроксимации O(h2 + h2) равномерно по (d,s)e[d0,D]x I'S (см. теоремы 6, 7 [22]). Лемма. Пусть остаточный член квадратурной формулы, используемой для аппроксимации интегралов z0l,(x±(s)) (s e(sl,_y2,sl,+y2] , d e 1D ), имеет вид Rm[ f] = cm (b _ a )2m+1 f (2m)(|) (|e[a, b]), где cm зависит только от m e Z+ . Пусть dQ e C2m+2. Тогда существуют постоянные Km e N , d±e ID и c±> 0, такие, что для любого фиксированного s e IS последовательность чисел R^M^o] - zo,l'(xd(s))_?o,l'(xd(s)) (M =M',M' +1,...), где N = (M +1)2, L +1 = Km (M +1), d = S/(M +1) - dm при M > M’, ограничена по модулю снизу d числом cm . Доказательство. Пусть ст_^2 - sl,_^2 _ s , ст^2 - sl,+^2 _ s . Интеграл z01, (x± (s)) и подынтегральная функция q0 (x± (s), s' ) (d e ID, s, s ' e (sl,_y2, sl,+y2 ]) могут быть записаны в виде g1/2 zo,l' (x± (s)) = J qo(x± (s), s + ct) dct , ct_1/2 Чо (x± (s), s ') = (2n)-1 exp[_(ctV± + d2 )/(2a2hT)] (_ct2^1 d dф5 )/(ctV± + d2). Пусть a - ct/hs , N = (M +1)2 , L +1 = (M +1)K , d = S/(M +1) (K,M e N ). Будем рассматривать остаточные члены Rmм [q0] (M = 1,2,...) как значения некоторой функции m (K, d, a, s), определенной при K e N , d e ID, aeIa , s e IS (Ia-(a_^2,a^2 ], a_^2 - h_1CT_^2, ay2 - й_'ст^2). Так как y± > 0 на множестве Y, [a^l - 1 и существуют непрерывные производные д]s,ф± и д]s,у1, д]s 0 . Лемма доказана. Следствие 8. Пусть Ят(f) = ст (b - а)2т+1 f(2m)(|) (§е[а,b]) и 5^е С2т+2 (т е Z+). Тогда при L, N ^да отсутствует равномерная по d е(0, d0 ] сходимость в сильной операторной топологии операторов G(xd (5)) [ CI()J (5Q) ^ L2 ] к соответствующим операторам G(xd (5)) [ C0)J (5Q) ^ L2 ] для любых I, J е N, 5 е AS , d0 е ID . Доказательство. Согласно лемме, существуют постоянные Кт е N , dm е ID , Ст> ^ что при 5 е (5/'-Ѵ2,5Г+1/2 ] , N = (M + 1)2, L + 1 = Кт(М + 1) , d = S/ (M +1)< dm имеют место оценки [?0]| - (M = M', M' +1,... ; S/(M' +1)

Скачать электронную версию публикации