To the theory of motion of bodies with variable mass.pdf В этой работе, так же, как и в предыдущих работах [1-5], благодаря предложенному в них методу, будут получены уравнения движения тел с переменной массой по брахистохроне. 2 Как было строго доказано, при выполнении равенства - = g cos а , где v скорость тела; R - радиус кривизны траектории (желоба) в данной точке; g - ускорение силы тяжести, а а- острый угол между касательной, проведенной в той же точке траектории и осью х, получается уравнение брахистохроны. При этом сила реакции, в общем случае определяемая как N = m ( v2 --+ g cos а V R У будет равна просто 2mg cos а. В том случае, если выполняется противоположное условие, а 2 именно, - = -g cos а, сила реакции N будет равна нулю. В результате получа-R ется, как и должно быть, траектория в виде обычной параболы, характерной для свободного движения тела в отсутствии сопротивлением со стороны внешней среды. Подобное гипотетическое предположение было главной идеей упомянутых чуть выше работ, которое позволило нам чисто аналитически описывать любое динамическое движение тел, перемещающихся по произвольной в общем случае форме желоба, обойдясь при этом без так называемого управляющего параметра, который применялся и применяется до сих пор во множестве работ других авторов. Следует отметить, что предложенный нами подход при решении определенного класса задач из области теоретической механики, относится к описанию динамики криволинейного движения и базируется на составлении соответствующих уравнений в единичном ортогональном подвижном базисе n, т, где n - единич- С. О. Гладков, С. Б. Богданова 84 ный вектор нормали, проведенный в данной точке траектории, а т - единичный вектор касательной, выбранный в направлении движения тела. Уравнение брахистохроны для тела переменной массы Задача, о которой пойдет сейчас речь, несмотря на ее, казалось бы, довольно абстрактное значение, тем не менее является важным примером из намеченного класса проблем, большим плюсом которого, на наш взгляд, является возможность ее точного чисто аналитического решения. Как это следует из названия статьи, речь пойдет о решении задачи, связанной с описанием динамики движения тел переменной массы с заданным законом изменения m (t). Заметим, что задачи подобного типа не новы, и в качестве примера можно привести, например, работы [6-8], в которых приводится решение задачи при движении тел переменной массы, а соответствующее решение в них ищется благодаря методу управляющего параметра, впервые предложенного Понтрягиным и подробно описанного им в монографии [9]. Наше существенное отличие от всех предыдущих работ различных авторов заключается в том, что при решении этой задачи мы не будем использовать метод управляющего параметра, а воспользуемся вполне апробированным подходом, который уже был намечен нами в работах [1-5]. Геометрию задачи иллюстрирует рис. 1. Рис. 1. Схематическое изображение геометрии задачи. Комментарии в тексте Fig. 1. Schematic representation of the problem geometry. The comments are in the paper К теории движения тел с переменной массой 85 В процессе решения мы будем использовать мгновенный базис n, т , в котором запишем систему интересующих нас динамических уравнений, и чтобы их получить, воспользуемся уравнениями Гамильтона [10]. Имеем p = -ѵн, (1) Р2 где p = mv - импульс тела; H = --+ U (r)- гамильтониан, U (r)- потенциаль- 2m ная энергия. Из уравнения (1) следует, что m v т + m v2 ^ v T +--П R = F . (2) Проекция уравнения (2) на ось n приведет в результате к первому соотношению \\ N = m f v2 --+ gcos a V R (3) А проекция на ось т с учетом сил трения дает (4) m V + m v = mg sin a - |jN - к v, где ц - коэффициент сухого трения, а к - коэффициент вязкого трения, пропорциональный динамической вязкости среды п. Условием того, что движение происходит по брахистохроне (см. пояснения, приведенные чуть выше, а также работы [1, 2]), служит равенство 2 (5) (6) (7) (8) v - = g cos a . R Поскольку же, в свою очередь, должно выполняться соотношение v = -Ra, уравнение (5) можно переписать в совсем простом виде как v a = -g cos a. Следовательно, полная система уравнений согласно (4) и (7) будет такой: {m v + m v = mg sin a-^N - к v, v a = -g cos a. Для начала проанализируем эту систему уравнений при условии отсутствия диссипации энергии как со стороны среды, так и со стороны желоба. Полагая с этой целью, что ц = к = 0, найдем из (8) (9) {m v + m v = mg sin a, v a = -g cos a. Поделив верхнее уравнение на нижнее, будем иметь 1 d v d , ---1--ln m = - tg a . v d a d a С. О. Гладков, С. Б. Богданова 86 Интегрируя это уравнение, получаем (10) Ѵо Ш0 v = --11 cos а, где постоянную интегрирования мы выбрали в факторизованном виде как произведение v0 m0 , в котором m0 = m (0), v0 = v(0). Далее, поскольку x = vcos а, y = vsin а , с учетом решения (10), находим х = x0 + v0 m0 t 2 cos а m (t) dt, \\ sin а cos а , У = У0 + v0 m0 J---dt. (11) m (t) Чтобы система уравнений (11) была замкнутой, необходимо определить теперь зависимость а (t). С этой целью следует вернуться к уравнениям (9) и избавиться в них от переменной v. Эту простую операцию легко проделать, выразив скорость из нижнего уравнения и подставив ее в верхнее. В результате простых преобразований приходим к уравнению а m а m откуда сразу же следует искомое соотношение (12) где константу интегрирования следует выбрать в виде C = g. v0 Таким образом, зависимость угла наклона касательной от времени будет следующей t а() >0 v0 0 (13) m (t )dt Как видим, полученные решения (11) и (13) составляют полную замкнутую систему искомых соотношений, описывающих движение тел переменной массы по брахистохроне. Полагая константы интегрирования х0 и у0, фигурирующие в (11), равными нулю, приходим к окончательному неявному решению задачи t2 cos а х = v0 m0 I--dt. m (t) sin а cos а У = v0 m0 J-(t) 0 m (t) t а (t) = --- J m (t) dt. m0 v0 0 dt, (14) К теории движения тел с переменной массой 87 Уравнение брахистохроны для тела с заданным законом изменения массы Проанализировать общее решение (14) можно численно, если задать конкретные зависимости m (t). Действительно, если положить, например, что m (t) = m0e~Jt, (15) где у - некоторый коэффициент убывания массы, численное интегрирование системы уравнений (14) позволяет получить параметрические зависимости координат от времени, приводящие к неявной зависимости y (x), показанной на рис. 2 для случая у = 0.2 и m0 = 1. Рис. 2. Зависимость траектории движения от массы тела: кривая 1 - масса постоянная, кривая 2 построена для зависимости, меняющейся по закону (15) Fig. 2. Dependency of a moving particle trajectory on the body mass: curve 1 corresponds to the constant mass; curve 2 corresponds to the mass varying in accordance with law (15) В том случае, если зависимость массы от времени задана в виде растущей функции m (t) = m0eJt, (16) результат численного решения уравнений (14) приводит к траектории y (х), показанной на рис. 3 для случая у = 1 и m0 = 1. С. О. Гладков, С. Б. Богданова 88 Рис. 3. Траектория движения частицы с массой, меняющейся по закону (16) Fig. 3. Trajectory of the moving particle with the mass changing in accordance with law (16) Наконец, если мы зададим изменение массы в виде m (t) m0 (17) решения уравнений (14) легко находятся аналитически. В самом деле, в результате простого интегрирования получаем, что arcsin(-1 + 2пп +-л І1 -[ - (18) У = ML 2 Выражая отсюда x через у , приходим, следовательно, к искомой траектории, показанной на рис. 4: 2 arcsin V2My) + 2пп +J2y РЁ (19) ѵ ѵ0 У vn где 0 < у < -. 2 M К теории движения тел с переменной массой 89 Рис. 4. Зависимость (19) при различных значениях n Fig. 4. Functional dependence (19) at various values of n Решение задачи при учете сил сопротивления также довольно просто находится, но при этом следует решать систему уравнений вида I . m , . „ , v (20) j v+- v = g (sin a-2ц cos a)-, i m t jv a = -g cos a. где учтено, что N = 2mg cos a , а введенное время t =--соответствует времени к остановки тела в результате действия диссипативных сил со стороны континуума. В этом случае задача сводится к решению нелинейного интегрального уравнения vq m0 v = ---exp 1 2 2|ua +--1 -d a gtj cosa о n cos a . (21) Заключение Таким образом: 1. Дано описание движения тел переменной массы по брахистохроне. 2. Проведен анализ полученных уравнений, как при учете сил сопротивления, так и в пренебрежении ими.

Скачать электронную версию публикации