Analysis of interaction between solids of revolution and a beam corresponding to the Kelvin model.pdf Современная техника и технология предъявляют высокие требования к реологической модели твёрдого тела. Необходимо, чтобы модель реально отражала поведение тела при статическом и динамическом нагружениях. В связи с этим в практику расчёта конструкций и технологических процессов всё чаще внедряются математические модели, такие, как модель Максвелла, физическая модель вязкопластичного тела, модель Фойгта, Бернулли, которые учитывают свойства конструкционных материалов. Во многом этому способствует бурное развитие вычислительной техники и вычислительной математики, которые позволяют доводить решение сложных нелинейных динамических задач до конечного численного результата [1-8]. Постановка задачи Проведем анализ влияния силового взаимодействия движущегося однородного диска по балке, наделенной реологическими свойствами в соответствие с моделью Кельвина [9-13]. ф(0 Рис. 1. Система однородного диска и балки Fig. 1. Uniform disk and beam system 2020 ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика № 65 Анализ взаимодействия тел вращения с балкой, соответствующей модели Кельвина 93 Напряженно-деформируемое состояние балки в интегральном релаксационном виде выражается равенством где ^(t - т) - ядро релаксации силы; Ег - длительный модуль упругости на растяжение; е(x,t) - относительное удлинение; Н(t) - активная сила. Интегродифференциальное уравнение запишем в следующем виде: Здесь 5 - функция Дирака, а также зададимся начальными и граничными условиями, описывающими продольные колебания консольной балки в случае жесткого закрепления левого конца балки: (3) (4) Решение интегродифференциального уравнения (2) с начальными и граничными условиями найдем в виде суммы двух функций u( x, t) = v( x, t) + w( x, t). Функция v(x, t) удовлетворяет однородному уравнению, соответствующему уравнению (2) и заданным граничным и начальным условиям, а функция w(x, t) должна удовлетворять неоднородному уравнению (2). Найдем решение однородного уравнения. Применяя метод Фурье к соответствующему уравнению (2) приходим к следующим выражениям: 2 (5) X "+-- X = 0; с2 T +-2(Т - |^(t-т)Т(T)dт) = 0 . (6) 0 Уравнение (5) имеет решение X = С sin-x + D cos-x . с с Учитывая специфику закрепления концов балки, находим D = 0 , С-cos - = 0 c c Частотное уравнение принимает вид - cos- = 0. c М.А. Кальмова, О.В. Ратманова 94 Корни этого уравнения (7) ®l ,27 Л\\ П /7 Л г* \\ - = (2k +1)- , ( k = 1, 2... ). c 2 Для решения интегродифференциального уравнения (6) применим интегральное преобразование Лапласса T(s) T(t), L {T(t)} = T(s), L {T(t)} = s2T(s) - [sT(0) + T(0)], L j(-t)T(x)dxL T(s)T(s). (8) Учитывая, что nE, 1 1 - + s - E - e2 T (s) = 1 2 n найдем изображающую функцию T (s) = - [ sT (0) + T (0)]f - + s 3 1 2 2 E2 Ю s + - s +Ю 2 s +-n E n (9) Здесь T(0) - начальная координата, T(0) - начальная скорость. Для численного анализа принято T(0) = 3s, T(0) = 0. Для нахождения оригинала используем вторую теорему разложения, предварительно, определив корни знаменателя p>j, p2, p3 выражения: Р =-0,015, p2 =-0,00249 - 9,9i, p3 =-0,00249 + 9,9i. eP2t = e-°,°0249t (cos 9,99t - i sin 9,99t), ep3t = e-°,°0249t (cos 9,99t + i sin 9,99t). Общим решением однородного уравнения (6) будет функция (10) і = h. ep\\t + epit + ep3t (11) T (t) = - er 1 +-er 2 +-e v1 T>2 T>3 Окончательное решение однородного уравнения, соответствующее уравне нию, определяющему свободные колебания балки (2), представим в виде ряда . . ^ . (2k + 1)nx v( X, t) = X Tk (t )sink=0 2l (12) Найдем решение функции w( x, t). Функцию будем разыскивать в виде ряда по собственным функциям . (2k + 1)пх sin-;-однородной задачи 2l ^ . (2k + 1)пх w( x, t) = ^Y k (t )sink=1 2l (13) Анализ взаимодействия тел вращения с балкой, соответствующей модели Кельвина Заменяя функцию w( x, t) рядом (13), запишем уравнение (2) в виде 95 где Е У k(t) + k=1 (2k +1)2 п2 2l2 Y к (t) ~\\^(t -t)y k (t) d t sin(2t-2k = G(xx (i4) ^ . (2k + 1)nx G( x, t) = E 4k (t )sink=1 2l (15) qk (t) = 21 G( x, t) . (2k + 1)nx Sin- 2l dx. (16) Приравнивая в разложениях (15) и (16) коэффициенты при собственных функциях, получим уравнение для функции ук (t) с нулевыми начальными условиями ук (0) = 0, у к (0) = 0: Y к (t) + Q2 Y к (t) - j^(t -t) Y(T)d t = qk(t). (17) Решение интегродифференциального уравнения (16) будем находить с применением преобразования Лапласа. Составим изображающее уравнение: 5 2 у( s) + Q2 y (s) [1 - ^(s)] = (1 - e~sT )-1, (18) E1 - E2 1 где ^(s) = n Лапласова трансформанта уравнения (18) принимает вид Y (s) = - Eft (^ + s) n (s3 +1 s2 + Q2 s + E2 - )(1 - e“sT) n E1 n (19) Начальную функцию найдем, применяя вторую теорему разложения: ( t \\ Yk (t) = H S'n° ,Q) (E - E2)Q2 Q 10 e nn + -nQcos(t,Q) + sin(t,Q) Ej (1 + n2Q2) Ej (1 + n2Q2) ~E_2 2Т2 _2 C0S (k 7 Qt|. - _2 7,2 2 k=1 t k t1 (20) Заключение Проведя численный анализ, можно считать, что имеет место автоколебательный режим движения балки, источником которого являются периодические импульсы, порождаемые дельта-функцией и воспринимаемые вязкоупругим материалом балки.

Скачать электронную версию публикации