Restrictions on stress components and loads at the top of a four-corner pyramid with a rhombic base.pdf Особые точки деформируемых тел (вершины клиньев, конусов, многогранников, точки края поверхностей соединения элементов и т.п.) интересуют исследователей, так как вблизи таких точек реализуется концентрация напряжений, зарождается разрушение. Изучение параметров состояния в окрестности особых точек в настоящее время развивается по двум направлениям. Первое направление классическое (или асимптотическое). Классический подход предложен в работе [1] и затем развивался исследователями в публикациях [2-14 и др.]. Характерной особенностью классического подхода является исключение особой точки из области поиска решения. Как правило, в особую точку авторы классического подхода помещают полюс криволинейной системы координат (полярной, цилиндрической, сферической и т.п.). В полюсе нет однозначного соответствия между криволинейными координатами и точкой тела. Поэтому здесь не определены тензорные характеристики состояния (напряжения, деформации). Они не могут быть заданы в виде граничных условий и не могут быть найдены в виде решения. По этой причине классический подход рассматривает параметры состояния в особой точке в асимптотическом смысле. При этом подходе нельзя указать элементарный объем, в котором реализуется асимптотическое решение, а именно элементарный объем является носителем напряженно деформированного состояния в точке. Обычно авторы, использующие классический подход, ограничиваются изучением собственных значений характеристических уравнений соответствующих однородных задач. На основании анализа собственных значений формулируется критерий, при выполнении которого асимптотическое решение с приближением к особой точке неограниченно возрастает. Формулируемый критерий не исследуется авторами на условие достаточности. Но имеются примеры, когда критерий выполняется, а неограниченного роста асимптотического решения не происходит. Второе направление изучения параметров состояния в особой точке назовем неклассическим [15-20]. При этом подходе особая точка, как и любая другая точка деформируемого тела, рассматривается в виде точки континуума и связанного Ограничения на компоненты напряжений и нагрузки в вершине четырехугольной пирамиды 99 с ней элементарного объема. Точка континуума указывает местоположение особой точки, а элементарный объем является носителем материальных характеристик и параметров напряженно деформированного состояния (НДС). Представление об элементарном объеме, связанном с особой точкой, позволяет сформулировать в ней задаваемые ограничения на напряжения, деформации и корректно поставить задачу механики деформируемого твердого тела (МДТТ) [15]. Как правило, количество задаваемых ограничений на параметры состояния в особой точке превышает количество ограничений, задаваемых в обычных (не особых) граничных точках деформируемого тела. По этой причине задача механики для тела, содержащего особую точку, оказывается неклассической. Для линейно упругого тела неклассическая задача имеет единственное решение (при условии его существования). Такое решение может быть построено, например, численно-аналитическим итерационным методом [15]. В настоящей статье неклассический подход используется для изучения напряженного состояния в вершине четырехугольной пирамиды с ромбическим основанием. Рассматривается случай поверхностной нагрузки вблизи вершины и случай включения такой пирамиды в упругую среду. Приведенные в работе аналитические решения для параметров состояния в вершине пирамиды согласуются с решениями, получаемыми общепринятыми методами теории упругости. Результаты исследований могут использоваться, в частности, при анализе НДС в окрестности вершин инденторов Кнуппа. 1. Четырехугольная пирамида с ромбическим основанием, нагруженная поверхностными силами вблизи вершины 1.1. Постановка задачи Рассматривается элемент конструкции, содержащий особенность в виде вершины четырехугольной пирамиды с ромбическим основанием (рис. 1). Пирамида определяется двумя независимыми параметрами - углом 2а при вершине ромба и углом у между высотой пирамиды и высотой треугольника, являющегося ее боковой гранью. C Рис. 1. Пирамида с ромбическим основанием Fig. 1. Rhombic pyramid С пирамидой связывается ортонормированная декартова система координат Ox1 x2 x3 с базисом ё], ё"2, e3. Оси x1, x2 направлены по диагоналям ромба, ось x3 -по высоте пирамиды. В.М. Пестренин, И.В. Пестренина, Л.В. Ландик 100 На боковых гранях пирамиды строятся тройки ортонормированных векторов. На грани GAB: n = e cos у cos a + e2 cos у sin a + e3 sin у, Cn = e sin у cos a+ e2 sin у sin a- e3 cos у, (1) Zn = e1 sin a- e2 cos a. На грани GBC: m = e cos у cos a - e2 cos у sin a + e3 sin у, Cm = el sin у cos a- e2 sin у sin a- e3 cos у , (2) Zm = -e1 sin a - e2 cos a. На грани GCD: l = -e1 cos у cos a- e2 cos у sin a + e3 sin у, C =-^sin у cos a- e2 sin у sin a- e3 cos у, (3) Z = -el sin a + e2 cos a. На грани GDA : k = -e1 cos у cos a + e2 cos у sin a + e3 sin у, Ck = -el sin у cos a + e2 sin у sin a- e3 cos у, (^) Zk = e sin a+ e2cos a. Первые векторы в приведенных тройках ортогональны соответствующим граням, два других принадлежат им. Векторы нагрузки вблизи вершины G на боковых гранях пирамиды, ориентированных ортами n, m, l, k представляются разложениями по базисам (1) - (4): Pn = Pnn + Tn Cn + fyn Zn, Pm = Pmm + Tm Cm + fym Cm , Pi = Pll + xl Cl + Cl, pk = Pkk + Tk Ck + fyk Ck. (5) В соответствии с принятой концепцией параметрами состояния в вершине пирамиды (в особой точке) являются параметры состояния, содержащего эту точку элементарного объема. Этот элементарный объем состоит из множества точек континуума, образующих окрестность вершины G. Линейный масштаб такой окрестности имеет порядок линейного масштаба представительного объема тела. Грани пирамиды являются касательными плоскостями к указанному объему. Поэтому в особой точке оказываются заданными следующие граничные условия: n Tn, ТС„ , ^ m Pm, %Cm %m, TCm ^m, 'Cl =xl, xCl = fy, Q II xCk =xk, xZk = fy. (6) В этих равенствах an, am, al, ak - нормальные напряжения на гранях пирамиды, ориентированных соответственно ортами n, m, l, k ; Тс , Тс , x^, x^ ; TZ , т^ , т^ , т^ - касательные напряжения в направлении соответствующих ортов, определенных равенствами (1) - (4). Компоненты тензора напряжений в элементарном объеме, примыкающем к вершине пирамиды (в особой точке) в коор- Ограничения на компоненты напряжений и нагрузки в вершине четырехугольной пирамиды 101 динатах x1 x2 x3 обозначаются через ст^. С использованием формулы Коши для вычисления векторов напряжений на поверхности тела условия (6) представляются системой двенадцати линейных неоднородных уравнений относительно шести компонент напряжений: стп cos2 у cos2 а + ст22 cos2 у sin2 а + ст33 sin2 у + ст 12 cos2 у sin 2а + +ст 13sin2y cos а+ст23 sin2y sin а = pn, ст11 cos у sin у cos2 а + ст22 cos у sin у sin2 а - ст33 sin у cos у +-ст 12 sin2y sin 2а --ст 13 cos2у cos а - ст23 cos 2у sin а = тп, -ст11 cos у sin2а --j ст22 cos у sin2а-ст 12 cos у cos 2а + + ст 13 sin у sin а-ст23 sin у cos а = Qn, ст11 cos2 у cos2 а + ст22 cos 2 у sin2 а + ст33 sin2 у-ст 12 cos2 у sin 2а + +ст 13sin2у cos а-ст23 sin2у sin а = pm, 1 ст11 sin 2у cos2 а+1 ст22 sin 2у sin2 а - 2 ст33 sin 2у- 2 ст 12 sin 2у sin 2а--ст 13 cos 2у cos а + ст23 cos 2у sin а = тт, (7) - 2 ст11 cos у sin2а + ст22 cos у sin 2а -ст 12 cos у cos 2а --ст13 sin у sin а-ст23 sin у cos а = &т, ст11 cos2 у cos2 а + ст22 cos 2 у sin2 а + ст33 sin2 у + ст 12 cos2 у sin 2а -ст ^ш2у cos а-ст23 sin2у sin а = pt, 1 2 1 2 1 1 2ст11sin2уcos а+ ст22sin2уsin а--ст33sin2у+ ст12sin2уsin2а + +ст 13 cos2у cos а + ст23 cos2у sin а = хг, 2 ст11 cos у sin2а - ст22 cos у sin2а-ст 12 cos у cos 2а --ст^іп уsin а + ст23 sin уcos а =9г, ст11 cos2 у cos2 а + ст22 cos2 у sin2 а + ст33 sin2 у-ст 12 cos2 у sin 2а --ст ^ш2у cos а+ст23 sin2у sin а = pk, 1 ст11 sin 2у cos2 а+ 1 ст22 sin 2у sin2 а - -2 ст33 sin 2у- -2 ст 12 sin 2у sin 2а + +ст 13cos2у cos а-ст23 cos2у sin а = тк, - 2 ст11 cos у sin2а + 2 ст22 cos у sin 2а -ст 12 cos у cos 2а + + ст 13 sin у sin а+ст23 sin у cos а = &k. В.М. Пестренин, И.В. Пестренина, Л.В. Ландик 102 Задача заключается в исследовании (в зависимости от геометрических параметров у, а и параметров нагрузки) условий существования решений системы уравнений (7 ) и их нахождения. Условия существования решений уравнений (7) обеспечивают корректность постановки задачи механики для рассматриваемого деформируемого твердого тела. Решение этих уравнений формирует задаваемые условия в вершине пирамиды. Если количество таких условий оказывается большим трех (большим количества условий, задаваемых в обычной (не особой) точке поверхности тела), задача механики для рассматриваемого тела становится неклассической. 1.2. Исследование системы уравнений (7) С использованием эквивалентных преобразований уравнения (7) преобразуются к двум автономным системам. Первая из них содержит шесть уравнений относительно четырех компонент напряжений стп, ст22, ст33, ст12: 2стп cos2 у cos2 а + 2ст22 cos 2 у sin2 а + 2ст33 sin2 у + 2ст 12 cos2 у sin 2а = pn + pt, стп sin2y cos2 а + ст22 sin 2у sin2 а - ст33 sin2y + a 12 sin2y sin2a = Tn +xt, стп cos у sin2а-ст22 cos у sin2а-2ст 12 cos у cos 2а =Sn +fy, (8) 2стП cos2 у cos2 а + 2ст22 cos 2 у sin2 а + 2ст33 sin2 у - 2ст 12 cos2 у sin 2а = pm + pk, стп sin2у cos2 а + ст22 sin 2у sin2 а - ст33 sin2у-ст 12 sin2у sin2а = тm + хк , -стП cos у sin 2а + ст22 cos у sin 2а- 2ст 12 cos у cos 2а=&т + Sk. Вторая система включает шесть уравнений относительно двух компонент напряжений ст13, ст23: 2ст 13 sin2у cos а + 2ст23 sin2у sin а = pn - pt, -2ст 13cos2у cos а-2ст23 cos2у sin а =тп -хг, 2ст 13sin у sin а-2a23sin у cos а =Qn -&г, (9) 2ст 13 sin2у cos а- 2ст23 sin2у sin а = pm - pk, -2ст 13 cos2у cos а + 2ст23 cos2у sin а = тт -тк, -2ст 13 sin у sin а- 2ст23 sin у cos а = Sm -&к . Определитель матрицы системы уравнений (8), соответствующий ее первым четырем строкам, записывается равенством Д = 16cos4 у sin у sin2 2а . (10) В пределах изменения параметров у, а 0

Скачать электронную версию публикации